非奇異H-矩陣的一組判定條件*

魏盈盈，羅 彪，莫宏敏

(吉首大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖南 吉首 416000)

1 基礎(chǔ)知識(shí)

設(shè)Cn×n表示n×n階復(fù)矩陣的集合.對(duì)于A=(aij)∈Cn×n,N+={1,…,n},α∈(0,1],記

定義1[1]設(shè)A=(aij)∈Cn×n.若對(duì)于?i∈N+,有|aii|>Ri,則稱A為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣,記A∈D;若存在正對(duì)角矩陣X,使得AX∈D,則稱A為廣義嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣(也稱A為非奇異H-矩陣),記A∈D*.

引理1[2]設(shè)A∈Cn×n,若存在正對(duì)角矩陣X,使得AX∈D*,則A∈D*.

引理2[3]設(shè)A∈Cn×n且A為α-鏈對(duì)角占優(yōu)矩陣,α∈(0,1],若A滿足下列條件之一:

(1)A為嚴(yán)格α-鏈對(duì)角占優(yōu)矩陣;

則A為非奇異H-矩陣,即A∈D*.

引理3[4]設(shè)σ,γ為任意的2個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù),α∈[0,1],則有αγ+(1-α)σ≥γασ1-α.

2 主要結(jié)果及其證明

引入如下符號(hào)：

(1)

因此0<βi≤r<1(i∈N2).

由(1)式可得

取充分小的正數(shù)ε,使其滿足

(2)

構(gòu)造正對(duì)角矩陣D=diag(d1,d2,…,dn),記B=AD=(bij),其中

又由σi的表達(dá)式可知

(3)

因此

(ⅲ)對(duì)于?i∈N2,由βi的表達(dá)式可得

因此，公共英語(yǔ)課教師可根據(jù)學(xué)生所在院系和近期所學(xué)醫(yī)學(xué)課程，進(jìn)行針對(duì)性備課，給予更多課外知識(shí)補(bǔ)充，為今后專業(yè)英語(yǔ)教學(xué)打下基礎(chǔ)。而對(duì)于公共英語(yǔ)課內(nèi)容，可變換多種教學(xué)和考核形式，鼓勵(lì)并教會(huì)學(xué)生自學(xué)其中較簡(jiǎn)單的內(nèi)容，在課堂上討論學(xué)生不懂的問(wèn)題，學(xué)生之間也可相互解答，教師階段性地給予總結(jié)，表?yè)P(yáng)提問(wèn)積極的學(xué)生，激發(fā)其對(duì)英語(yǔ)的內(nèi)在興趣。此外，根據(jù)學(xué)生要求開(kāi)設(shè)基礎(chǔ)英語(yǔ)興趣班、日常英語(yǔ)興趣班等，充分利用校內(nèi)優(yōu)秀留學(xué)生資源，互幫互助，亦可形成良性循環(huán)。

因此

(4)

且(4)式至少有1個(gè)嚴(yán)格的不等式成立,則A∈D*.

證明構(gòu)造正對(duì)角矩陣D=diag(d1,d2,…,dn),記B=AD=(bij),其中

(ⅲ)對(duì)于?i∈N2,0<βi≤r<1,由βi的表達(dá)式可得

類似于定理2的證明,利用引理1和引理2可得如下結(jié)論：

3 數(shù)值算例

例1 設(shè)

|a11|=6.1<α(|a12|+|a13|δ3+|a14|+|a15|δ5)+(1-α)S1=6.4,

|a22|=6<α(|a21|+|a23|δ3+|a24|+|a25|δ5)+(1-α)S2=6.2,

|a44|=3.8>α(|a41|+|a42|δ3+|a43|+|a45|δ5)+(1-α)S4=3.7.

所以此算例不滿足文獻(xiàn)[5]中定理1的條件.

(ⅱ)對(duì)于本研究,N1={1,2,4},N2={3,5},求得r=0.8,β3=0.24,β5=0.768,此時(shí)

所以此算例滿足定理1的條件,即A為非奇異H-矩陣.

例2設(shè)

|a33|=4<α(|a31|δ1+|a32|δ2+|a34|+|a35|)+(1-α)S3=5.25,

|a44|=3<α(|a41|δ1+|a42|δ2+|a43|+|a45|)+(1-α)S4=3.125,

|a55|=4.7>α(|a51|δ1+|a52|δ2+|a53|+|a54|)+(1-α)S5=4.575.

所以此算例不滿足文獻(xiàn)[5]中定理1的條件.

(ⅱ)對(duì)于本研究,N1={3,4,5},N2={1,2},求得r=0.56,β1=0.56,β2=0.329 6,此時(shí)

所以此算例滿足定理1的條件,即A為非奇異H-矩陣.