立足基本模型 突破函數(shù)綜合

楊昆華

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)內(nèi)容的主干知識(shí)，是高考考查的重點(diǎn).函數(shù)問(wèn)題多與導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、不等式相結(jié)合，側(cè)重考查理解和應(yīng)用，突出考查函數(shù)與方程的思想、數(shù)形結(jié)合的思想、分類討論的思想等數(shù)學(xué)思想方法，體現(xiàn)能力立意的高考命題原則.

由于函數(shù)考查的綜合性強(qiáng)，方法靈活，數(shù)學(xué)能力要求高，所以在歷年的高考中函數(shù)的綜合問(wèn)題均以壓軸題的形式出現(xiàn)，其中函數(shù)與不等式的證明是高考數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn).如何突破這一難點(diǎn)？一個(gè)重要的辦法是立足基本模型，挖掘模型背后的數(shù)學(xué)本質(zhì)，把復(fù)雜的問(wèn)題分解為幾個(gè)小的簡(jiǎn)單問(wèn)題，以達(dá)到轉(zhuǎn)化問(wèn)題、解決問(wèn)題的目的.

一、源于教材，挖掘基本模型的數(shù)學(xué)本質(zhì)

人民教育出版社高中新課程教材理科《數(shù)學(xué)》（選修2-2）第32頁(yè)，文科《數(shù)學(xué)》（選修1-1）第99頁(yè)，都有這樣的問(wèn)題：利用函數(shù)的單調(diào)性，證明下列不等式：

（1）ex>x+1（x≠0）;（2）lnx0）.

看似簡(jiǎn)單的練習(xí)，其實(shí)背后隱藏著深刻的數(shù)學(xué)本質(zhì).首先，我們來(lái)看第一個(gè)不等式ex>x+1（x≠0）.不等式的右邊表示直線y=x+1，而該直線就是函數(shù)f（x）=ex在x=0處的切線，當(dāng)x=0時(shí)取“=”號(hào).從圖象的直觀性來(lái)看，直線y=x+1位于f（x）=ex的圖象的下方，在x=0處相切，如圖1.

同理，另一個(gè)不等式lnx

綜合不等式ex≥x+1和lnx≤x-1可得：涉及指數(shù)函數(shù)f（x）=ex與對(duì)數(shù)函數(shù)f（x）=lnx相關(guān)綜合的不等式，可借助一次函數(shù)y=x±1及夾在兩直線y=x±1間與之平行的直線過(guò)渡，從而達(dá)到轉(zhuǎn)化的目的，如圖3.

其實(shí)，兩個(gè)重要的不等式ex≥x+1和lnx≤x-1更可追溯到高等數(shù)學(xué)的泰勒展開(kāi)式ex=1+x++……，ln（x+1）=x-+…….泰勒展開(kāi)式很好地把超越函數(shù)與中學(xué)的初等函數(shù)聯(lián)系起來(lái)，而找到超越函數(shù)與初等函數(shù)的聯(lián)系，往往是導(dǎo)數(shù)命題的重要形式.截取泰勒展開(kāi)式的片段，可得不等式ex≥x+1，lnx≤x-1（x≥0）.所以，我們可把不等式ex≥x+1，lnx≤x-1（x≥0）作為轉(zhuǎn)化與劃歸的基本模型.

二、應(yīng)用基本模型，巧妙破解函數(shù)綜合問(wèn)題

例1（2018年全國(guó)卷Ⅰ文科·21）已知函數(shù)f（x）=aex-lnx-1.

（Ⅰ）x=2是f（x）的極值點(diǎn)，求a，并求f（x）的單調(diào)區(qū)間;

（Ⅱ）證明：當(dāng)a≥，f（x）≥0.

分析：重點(diǎn)分析第（Ⅱ）問(wèn)，因?yàn)閍≥，所以aex-lnx-1≥ex-1-lnx-1.如果能證明ex-1-lnx-1≥0，則f（x）≥0.從要證明的不等式ex-1-lnx-1≥0的結(jié)構(gòu)來(lái)看，含有指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的形式，再聯(lián)想基本模型ex≥x+1，lnx≤x-1（x≥0），由ex≥x+1得ex-1≥x①，由lnx≤x-1得-lnx≥1-x②，所以①②相加得ex-1-lnx≥1，所以ex-1-lnx-1≥0成立，所以f（x）=aex-lnx-1≥ex-1-lnx-1≥0，即f（x）≥0.

例2（2018年全國(guó)卷Ⅲ文科·21）已知函數(shù)f（x）=.

（Ⅰ）求曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，-1）處的切線方程;

（Ⅱ）證明：當(dāng)a≥1時(shí)，f（x）+e≥0.

分析：重點(diǎn)分析第（Ⅱ）問(wèn)，要證明f（x）+e≥0，即證明ex+1

+ax2+x-1≥0，不等式的左邊含有指數(shù)型和二次函數(shù)型，再聯(lián)想基本模型ex≥x+1，由ex≥x+1得ex+1≥x+2.所以，若能證明（x+2）+ax2+x-1≥0，即證明ax2+2x+1≥0成立，那么f（x）+e≥0成立.由于ax2+2x+1=a（x+）+（1-），而a≥1，所以ax2+2x+1≥1-≥0.這樣，f（x）+e≥0就得到了證明.

從2018年全國(guó)卷Ⅰ和Ⅲ文科最后的函數(shù)綜合壓軸題的命題特點(diǎn)來(lái)看，函數(shù)模型立足指（對(duì)）數(shù)函數(shù)與多項(xiàng)式函數(shù)間的聯(lián)系.把復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的基本問(wèn)題是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，而兩個(gè)基本模型ex≥x+1，lnx≤x-1（x≥0）起到了構(gòu)造函數(shù)及不等式的重要作用.

三、強(qiáng)化模型意識(shí)，研究函數(shù)綜合問(wèn)題的命題思路

函數(shù)與不等式的綜合，尤其是復(fù)雜不等式的證明，構(gòu)造函數(shù)轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵.兩個(gè)基本模型ex≥x+1，lnx≤x-1（x≥0）是基礎(chǔ)，但基本模型往往在問(wèn)題中比較隱蔽.這就需要我們有構(gòu)造模型的意識(shí)，牢牢抓住轉(zhuǎn)化與劃歸的思想方法，把復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為我們熟悉的基本問(wèn)題來(lái)處理.在平時(shí)的訓(xùn)練中，教師以高考真題做變式可起到強(qiáng)化學(xué)生模型意識(shí)的作用.

例3 已知函數(shù)f（x）=.

（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間;

（Ⅱ）設(shè)g（x）=x（x+1）f ′（x）（其中f ′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)），證明：對(duì)任意x>0，g（x）<1+e-2.

分析：重點(diǎn)分析第（Ⅱ）問(wèn)，由g（x）=x（x+1）=，不等式的左邊含有指（對(duì)）數(shù)型，觀察到形式，聯(lián)想基本模型ex≥x+1，由ex≥x+1得<1，所以可以考慮放縮;又關(guān)注到1-x-xlnx的正負(fù)，所以需要分類討論.①當(dāng)x≥1時(shí)，1-x≤0，lnx≥0，x+1>0，ex>0，所以g（x）≤0<1+e-2.②當(dāng)00;當(dāng)x∈（e-2，1）時(shí)，p′（x）<0.所以，當(dāng)00，g（x）<1+e-2恒成立.

例4 （2017年全國(guó)卷Ⅲ理科·21）已知函數(shù)f（x）=x-1-alnx.

（Ⅰ）若f（x）≥0，求a的值;

（Ⅱ）設(shè)m為整數(shù)，且對(duì)于任意正整數(shù)（

1+）（

1+）…（1+）

分析：第（Ⅰ）問(wèn)的本質(zhì)就是基本模型lnx≤x-1（x≥0），而第（Ⅱ）問(wèn)體現(xiàn)了基本模型在構(gòu)造函數(shù)、賦值比較大小上的重要作用，體現(xiàn)了高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)所需要的數(shù)學(xué)思想.從中我們可以看到lim（

1+）=e這一高等數(shù)學(xué)中的重要極限的影子.

◇責(zé)任編輯 邱 艷◇