2020年昆明市初中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平考試試題分析與評價(jià)

王學(xué)先 吳禹杰

一、試卷的總體情況

2020年昆明市初中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平考試試題功能性明確，堅(jiān)持能力立意的命題原則，試題注重對學(xué)生數(shù)學(xué)“核心素養(yǎng)”的考查，滲透數(shù)學(xué)文化，強(qiáng)調(diào)通性通法，重視數(shù)學(xué)知識的靈活應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值和理性價(jià)值.題目設(shè)計(jì)樸實(shí)巧妙，重點(diǎn)關(guān)注數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用，涉及了學(xué)生生活中許多熱點(diǎn)問題，在全面考查課程標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)核心內(nèi)容、核心知識的基礎(chǔ)上，注重對基礎(chǔ)知識、基本能力和基本思想方法的考查，關(guān)注對數(shù)學(xué)活動(dòng)過程和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的考查，加強(qiáng)了探究性問題的設(shè)計(jì)與應(yīng)用，重視思想方法的體現(xiàn)和綜合能力的運(yùn)用.

2020年昆明市初中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平考試試題與往年相比，區(qū)別在創(chuàng)新幅度大，如第6題考查數(shù)字規(guī)律;第9題考查計(jì)算器的使用及實(shí)數(shù)大小的估計(jì);第14題考查推理與操作;第19題考查函數(shù)圖象與實(shí)際問題;第20題考查尺規(guī)作圖;第21題引入了數(shù)學(xué)文化與實(shí)際問題;第23題是以折疊為背景的幾何綜合探究問題，主要考查了利用矩形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)、勾股定理的性質(zhì)，綜合考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).整套試題體現(xiàn)“把握基礎(chǔ)、穩(wěn)中求變、變中有新、關(guān)注應(yīng)用、突出能力”的命題特點(diǎn)，有利于高級中學(xué)選拔優(yōu)秀人才，有利于引導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué).

二、試卷的內(nèi)容分布情況

昆明市初中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平考試試題內(nèi)容比例

如上表，試題覆蓋面廣，考查到數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計(jì)與概率三個(gè)領(lǐng)域的內(nèi)容分值分別是53分、49分和18分，占比約為44%、41%和15%.這與整個(gè)初中階段數(shù)學(xué)知識在三個(gè)領(lǐng)域的課時(shí)比例吻合度極高，如解答題中沒有對實(shí)數(shù)運(yùn)算、平移旋轉(zhuǎn)軸對稱作圖題進(jìn)行獨(dú)立設(shè)題考查;引入了數(shù)學(xué)文化試題并與數(shù)學(xué)知識考查結(jié)合緊密（第5題）;對二次函數(shù)的考查要求也相對較低（第22題）;解直角三角形知識注重對學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的考查（第21題）;壓軸題以教材中的數(shù)學(xué)活動(dòng)為素材，以四邊形為背景，體現(xiàn)了很強(qiáng)的探究性（第23題）.

三、試題評價(jià)與分析

1.考查能力的要求

知識技能：能熟練掌握基礎(chǔ)知識，能準(zhǔn)確、清晰地把握各個(gè)知識點(diǎn)之間的聯(lián)系，注重知識之間的靈活應(yīng)用（如第14、23題）.

數(shù)學(xué)思考：能運(yùn)用相關(guān)數(shù)學(xué)知識、對具體問題中的關(guān)系、變化規(guī)律有積極的思考，并及時(shí)給出相關(guān)解決方法和策略，對相應(yīng)問題進(jìn)行探究，給出合理的解釋（如第20、23題）.

問題解決：會(huì)運(yùn)用已有的知識經(jīng)驗(yàn)，解決新情境中的數(shù)學(xué)問題（如第19、21題）.

情感態(tài)度：對于來自生活的、科技及社會(huì)領(lǐng)域中的簡單實(shí)際問題，能靈活運(yùn)用基本的數(shù)學(xué)模型，熟練使用有關(guān)方法解決相關(guān)問題.同時(shí)，在閱讀材料中了解我國國情，增強(qiáng)愛國意識和民族自豪感（如第9、19、21題）.

2.知識覆蓋率：87%左右

（1）數(shù)與代數(shù)：考點(diǎn)70個(gè)左右

涉及考點(diǎn)數(shù)量：64個(gè).其中未涉及的考點(diǎn)有6個(gè)：①運(yùn)用有理數(shù)解決簡單問題;②無理數(shù)、實(shí)數(shù)的概念，實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)的一一對應(yīng)關(guān)系;③乘法公式（a+b）（a-b）=a2-b2，（a±b）2=a2±2ab+b2的推導(dǎo);④乘法公式（a+b）（a-b）=a2-b2，（a±b）2=a2±2ab+b2的幾何背景;⑤一次函數(shù)與二元一次方程的關(guān)系;⑥二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用.

（2）圖形與幾何：考點(diǎn)105個(gè)左右

涉及考點(diǎn)數(shù)量：89個(gè).其中未涉及的考點(diǎn)有16個(gè)：①兩點(diǎn)之間線段最短;②角的單位換算;③過直線外一點(diǎn)有且僅有一條直線平行于已知直線;④平行于同一條直線的兩條直線平行;⑤三角形的穩(wěn)定性;⑥四邊形的不穩(wěn)定性;⑦等圓、等弧;⑧圓錐的側(cè)面積和全面積;⑨反證法;⑩認(rèn)識并欣賞自然界和現(xiàn)實(shí)生活中的中心對稱圖形; [1][1]平移的基本性質(zhì)：一個(gè)圖形和它經(jīng)過平移所得的圖形中，兩組對應(yīng)點(diǎn)的連線平行（或在同一條直線上）且相等; [1][2]認(rèn)識并欣賞平移在自然界和現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用; [1][3]黃金分割; [1][4]直棱柱、圓錐的側(cè)面展開圖; [1][5]基本幾何體與其三視圖、展開圖在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用; [1][6]建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系描述物體的位置.

（3）統(tǒng)計(jì)與概率：考點(diǎn)20個(gè)左右

涉及考點(diǎn)數(shù)量：16個(gè).其中未涉及的考點(diǎn)有4個(gè)：①扇形統(tǒng)計(jì)圖;②平均數(shù)的意義;③通過表格、折線圖、趨勢圖等，感受隨機(jī)現(xiàn)象的變化趨勢;④知道通過大量的重復(fù)試驗(yàn)時(shí)的頻率可以作為事件發(fā)生概率的估計(jì)值.

（4）綜合與實(shí)踐：考點(diǎn)5個(gè)左右

3.核心知識點(diǎn)覆蓋率：92.7%左右

《云南省初中學(xué)業(yè)水平標(biāo)準(zhǔn)與考試說明》的層次有四個(gè)知識技能要求，分別是了解、理解、掌握、運(yùn)用;過程性要求有三個(gè)分別是：經(jīng)歷、體驗(yàn)、探索.其中知識技能要求理解、掌握的知識點(diǎn)總計(jì)110個(gè)，考查到的為102個(gè)，占比92.7%左右（分布如下圖），未涉及的考點(diǎn)有以下幾個(gè)：①二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用;②過直線外一點(diǎn)有且僅有一條直線平行于已知直線;③直角三角形的判定;④圓錐的側(cè)面積和全面積;⑤利用基本作圖方法作三角形;⑥扇形統(tǒng)計(jì)圖;⑦建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系描述物體的位置;⑧兩點(diǎn)之間線段最短.

4.難易程度、區(qū)分度、梯度的設(shè)計(jì)

試題難度按照《云南省初中學(xué)業(yè)水平標(biāo)準(zhǔn)與考試說明》要求進(jìn)行設(shè)置.

5.亮點(diǎn)解讀

（1）源于教材，回歸生活

試卷中的第23題由《數(shù)學(xué)》人教版八年級下冊第64頁數(shù)學(xué)活動(dòng)中的活動(dòng)1改編而來.通過折紙的過程，引發(fā)學(xué)生思考，并研究折痕所在的位置不同，尋求新的探究方向，從而得到一些源于教材，卻升華教材的活動(dòng)體驗(yàn).

試卷中的第5題由《數(shù)學(xué)》人教版九年級上冊第108頁綜合運(yùn)用第5題改編而來.通過求一個(gè)正六邊形螺帽擰動(dòng)后扳手尾部所走過的路徑長，充分考查了圓與正多邊形的知識（基礎(chǔ)知識），旋轉(zhuǎn)的作圖（基本技能）、旋轉(zhuǎn)路徑對學(xué)生空間想象力的培養(yǎng)（基本思想），以及生活中扳手的正確使用方法（基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)）.

（2）重動(dòng)手，善用數(shù)學(xué)工具

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中明確指出要充分考慮信息技術(shù)對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容和方式的影響，注重實(shí)效.如第9題考查學(xué)生用計(jì)算器計(jì)算特殊三角函數(shù)值，引導(dǎo)學(xué)生正確使用計(jì)算器;第20題看似簡單，但認(rèn)真做下來學(xué)生卻發(fā)現(xiàn)其涵蓋知識點(diǎn)豐富，注重考查動(dòng)手能力，還考查了尺規(guī)作圖、幾何演繹推理、一題多解、運(yùn)算能力等.

（3）閱讀新聞熱點(diǎn)，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，增強(qiáng)民族自豪感

試卷中第21題講述了中國登山隊(duì)用中國科技定義世界新高度——時(shí)隔60年再次測量珠峰高度的新聞.通過對測量方法的介紹，給出實(shí)際生活中的例子，從中抽取數(shù)學(xué)模型，并用閱讀得到的信息，進(jìn)行加工處理，從而得到正確解答.這個(gè)解答的過程不但有助于培養(yǎng)學(xué)生初步形成模型思想，還能進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和民族自豪感，提高學(xué)生的應(yīng)用意識.

（4）網(wǎng)格作圖似有限，探究創(chuàng)新真無限

試卷中第14題要求學(xué)生在一個(gè)有限的6×6網(wǎng)格中作相似三角形.三角形較特殊，為等腰三角形.這道題，首先看似有限地考查了學(xué)生的畫圖能力，可細(xì)看會(huì)發(fā)現(xiàn)，較容易畫出的圖形只有4個(gè)，實(shí)則6個(gè)，看似簡約卻不簡單.教師應(yīng)該反思，剩下的2個(gè)圖形在哪里？應(yīng)該怎么畫？原理是什么？把網(wǎng)格擴(kuò)大，還會(huì)有幾個(gè)？是否可以把等腰三角形換成等邊三角形、直角三角形……我們應(yīng)該如何引導(dǎo)學(xué)生去做此類題？這些問題都是值得教師深入探究的.

四、教學(xué)建議和教學(xué)策略探索

云南省初中學(xué)業(yè)水平考試命題要求設(shè)置易、中、難題目分值比例為7∶2∶1.也就是說初中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)學(xué)科有分值為70%的題目是基礎(chǔ)題，20%的題目是中等題，10%的題目是較難題.在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師要面向全體學(xué)生，踏實(shí)做好基礎(chǔ)知識的教學(xué)工作，切實(shí)抓好基本概念、基本性質(zhì)、基本技能和基本思想方法的教學(xué)工作.在這里筆者特別提出如下建議.

（一）重視基礎(chǔ)知識、基本技能的教學(xué)

“知識技能”既是學(xué)生發(fā)展的基礎(chǔ)性目標(biāo)，又是落實(shí)“數(shù)學(xué)思考”“問題解決”“情感態(tài)度”目標(biāo)的載體.學(xué)生應(yīng)全面掌握數(shù)學(xué)知識點(diǎn).在2021年起取消學(xué)業(yè)水平考試說明后，中考數(shù)學(xué)更要全面考核學(xué)生對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和基本技能的理解和掌握程度，所以建議教師教學(xué)時(shí)要注重概念教學(xué)，注意數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，運(yùn)用數(shù)學(xué)分析解決生活中的問題，特別是引導(dǎo)學(xué)生多關(guān)注生活中的數(shù)學(xué)問題，注重學(xué)生對所學(xué)知識的理解，體會(huì)數(shù)學(xué)知識之間的關(guān)聯(lián)，重視夯實(shí)學(xué)生的基礎(chǔ)知識和基本技能.在基本技能的教學(xué)中，教師不僅要使學(xué)生掌握技能操作的程序和步驟，還要使學(xué)生理解程序和步驟的道理.同時(shí)，也建議學(xué)生要做好筆記累積，定時(shí)回頭復(fù)習(xí)，不留知識缺陷.

（二）落實(shí)課程標(biāo)準(zhǔn)的能力要求，強(qiáng)化數(shù)學(xué)問題過程方法的教學(xué)

從今年昆明市初中學(xué)業(yè)水平考試試題來看，有些題目特別注重對學(xué)生探究能力的考查，對學(xué)生“作圖、讀圖、用圖”的能力有更高的要求.教師在重視對學(xué)生基礎(chǔ)知識、基本技能和常用的數(shù)學(xué)思想方法培養(yǎng)的同時(shí)，要更加關(guān)注對學(xué)生一般能力和數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng).從命題的趨勢看，試題不僅考查了觀察、分析、歸納、類比，以及算法算理、推理證明等能力，還強(qiáng)化考查了學(xué)生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力.因此，教師要重視對數(shù)學(xué)知識形成過程的教學(xué)，尤其要注重對學(xué)生探索性思維能力和創(chuàng)新意識的培養(yǎng)，提高知識遷移能力、綜合運(yùn)用能力，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).在中考數(shù)學(xué)命題中，區(qū)分度大的題目往往綜合性較強(qiáng)，需要考生在充分掌握各類基礎(chǔ)知識的前提下，靈活運(yùn)用多個(gè)知識點(diǎn)和多種方法解決數(shù)學(xué)問題.教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)，注重結(jié)合具體的學(xué)習(xí)內(nèi)容，設(shè)計(jì)有效的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，使學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)的發(fā)生、發(fā)展過程，體驗(yàn)各種數(shù)學(xué)活動(dòng)過程的結(jié)果，注重學(xué)生動(dòng)手能力的培養(yǎng).所以，教師在教學(xué)過程中要強(qiáng)化數(shù)學(xué)問題過程方法的教學(xué).

（三）尊重學(xué)生的學(xué)習(xí)風(fēng)格，讓數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)落地

教學(xué)中，教師應(yīng)努力給學(xué)生創(chuàng)造多元、開放，適合探索、思考和表現(xiàn)自己的機(jī)會(huì)和空間，所設(shè)計(jì)的問題應(yīng)關(guān)注學(xué)生各自的數(shù)學(xué)認(rèn)知心理特征，關(guān)注學(xué)生已有的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，尊重各種不同的解答問題的方法，尊重學(xué)生的意見和表達(dá)方式，鼓勵(lì)學(xué)生的創(chuàng)新欲望.在此基礎(chǔ)上，以學(xué)科核心素養(yǎng)為統(tǒng)領(lǐng)，核心內(nèi)容為載體，思想方法為主線，能力培養(yǎng)為目的，將核心素養(yǎng)落實(shí)在學(xué)科教學(xué)中是關(guān)鍵，也是一項(xiàng)長期而艱巨的任務(wù).發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題是培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的關(guān)鍵.教師需要“提出好問題”和“提好每個(gè)問題”，通過問題引導(dǎo)教學(xué)落實(shí)學(xué)生的核心素養(yǎng)，以教學(xué)設(shè)計(jì)為切入點(diǎn)，以單元（板塊）為整體，從學(xué)科核心內(nèi)容出發(fā)，用能突出學(xué)科核心素養(yǎng)的幾個(gè)大問題（或活動(dòng)、材料等）貫穿整個(gè)單元（板塊）的教學(xué)，形成總體呈上坡態(tài)勢的“大問題串”.教師再針對每個(gè)大問題，用若干個(gè)小問題逐步啟發(fā)學(xué)生思考，形成總體呈下坡態(tài)勢的“小問題串”，以保持思考力水平不下降，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程，找到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的方法，悟到數(shù)學(xué)的思想，并使其內(nèi)化成一種數(shù)學(xué)的智慧.

（四）教學(xué)策略探索

例1 （2020年·昆明市·15）計(jì)算：12021-+（π-3.14）0-（-）-1.

分析：本題綜合了1的奇數(shù)次冪、立方根、零指數(shù)、負(fù)整數(shù)指數(shù)，以及有理數(shù)的運(yùn)算方面的知識.教材中盡管沒有出現(xiàn)過這樣的題目原型（將該題目分解幾個(gè)小部分后，在教材中就可以找到原型），但在以前的學(xué)業(yè)水平考試試卷和考試說明中此類題目隨處可見.在備考復(fù)習(xí)時(shí)，教師可以將知識分成求絕對值、乘方運(yùn)算、求算術(shù)平方根、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算等部分專題訓(xùn)練學(xué)生，尤其要讓學(xué)困生做到過關(guān).教師要做到面批面改，及時(shí)輔導(dǎo).同時(shí)，教師也可以充分借助小組互助的形式，讓一些學(xué)習(xí)好的學(xué)生輔導(dǎo)學(xué)習(xí)較差的學(xué)生，讓學(xué)生建立錯(cuò)題本，及時(shí)糾正錯(cuò)誤.教師要重點(diǎn)講解學(xué)生犯的典型錯(cuò)誤，講解后要及時(shí)檢測學(xué)生的學(xué)習(xí)效果，這需要教師能夠針對性出題，以達(dá)到學(xué)生準(zhǔn)確快速計(jì)算的效果，增強(qiáng)學(xué)生的成功體驗(yàn).這需要教師構(gòu)建以學(xué)定教，以學(xué)生為主體，以教師為主導(dǎo)，以訓(xùn)練為主線的高效課堂.

例2 （2020年·昆明市·16）如圖，AC是∠BAE的平分線，點(diǎn)D是線段AC上的一點(diǎn)，∠C=∠E，AB=AD.

求證：BC=DE.

分析：教師在復(fù)習(xí)“三角形全等的性質(zhì)和判定”時(shí)，可以用“一題一課”的方式進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，利用一個(gè)背景將這部分知識貫穿其中，設(shè)計(jì)一題多解、多解一題、開放問題、變式問題等，有意識地引導(dǎo)學(xué)生從“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì)，從“不變”的實(shí)質(zhì)中探求“變”的規(guī)律.深刻地講透一道題，可以教學(xué)生學(xué)會(huì)從多角度思考問題，靈活地找到問題的突破口，由一題橫縱聯(lián)系各章節(jié)的知識與方法，完善知識方法體系，達(dá)到“知一題會(huì)一類”的效果，使知識生成合理自然，達(dá)到找準(zhǔn)核心，回歸本質(zhì)，形成邏輯鏈的目標(biāo).如本題可用“AAS”或“ASA”證明.教師可以通過變換條件將本題設(shè)計(jì)為利用“SAS”“SSS”，以及“HL”進(jìn)行證明的試題，還可以利用平移、旋轉(zhuǎn)等變換，將試題求解結(jié)論跟圖形的位置、數(shù)量建立聯(lián)系，從而綜合復(fù)習(xí)三角形的相關(guān)知識，形成知識間的橫縱聯(lián)系.

五、需要進(jìn)一步商榷的問題

1.同類題型設(shè)計(jì)不盡合理，如選擇題中第8、10、13題，每個(gè)題四個(gè)選項(xiàng)均代表了不同的知識點(diǎn)，屬于多結(jié)論問題，增加了學(xué)生的思考時(shí)間，出現(xiàn)用時(shí)過長的狀況.

2.個(gè)別選擇題選項(xiàng)設(shè)置不合理，第14題是操作探索題，能找出6種情況實(shí)屬不易，但有一個(gè)選項(xiàng)為“7種”，讓找對結(jié)果的優(yōu)秀學(xué)生不放心所做的結(jié)果，繼續(xù)思考，不敢輕易作答.此題選項(xiàng)設(shè)置不利于優(yōu)秀學(xué)生的選拔，從考試結(jié)果看也體現(xiàn)效度太差.

3.整卷試卷運(yùn)算量較大，如第12、14、21、22、23題，出現(xiàn)一部分考生沒完成答卷的情況.

◇責(zé)任編輯 邱 艷◇