指向數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的教材分析框架與案例剖析

陳亮

【摘要】高中是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要階段，這個階段的學(xué)習(xí)既是對學(xué)生前期所學(xué)知識的檢驗(yàn)，又為學(xué)生大學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)奠定了良好的基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析六大部分。數(shù)學(xué)抽象反映了數(shù)學(xué)的本質(zhì)特點(diǎn)，是數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的基礎(chǔ)部分。數(shù)學(xué)教材是數(shù)學(xué)課程開展的載體，是發(fā)展學(xué)生抽象素養(yǎng)的橋梁和紐帶。數(shù)學(xué)教材中包含很多抽象的內(nèi)容，如果教師能夠更好地挖掘和利用教材，就能培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。基于此，教師應(yīng)立足當(dāng)前的數(shù)學(xué)教材深入探究學(xué)生數(shù)學(xué)抽象思維的培養(yǎng)策略。本文以指向數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的教材分析框架和案例剖析為主要內(nèi)容進(jìn)行了探究和分析。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)抽象思維;分析框架;案例剖析;函數(shù)單調(diào)性

數(shù)學(xué)抽象性的具體體現(xiàn)就是數(shù)學(xué)學(xué)科的定義和概念。依照抽象程度的差別，數(shù)學(xué)抽象的具體過程可細(xì)分為三個階段。第一是簡單階段，把握好事物的內(nèi)涵和本質(zhì)，把復(fù)雜的問題簡單化、清晰化。第二是符號階段，利用一些符號和關(guān)系語言表示教學(xué)知識。第三是普適階段。通過具體的假設(shè)和推理建立模型。數(shù)學(xué)抽象的一個非常重要的環(huán)節(jié)就是數(shù)學(xué)命題和數(shù)學(xué)模型的提出和建立。數(shù)學(xué)抽象的重要產(chǎn)物就是數(shù)學(xué)方法及數(shù)學(xué)思想，其更高水平就是數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)和數(shù)學(xué)體系的形成和發(fā)展。

一、數(shù)學(xué)抽象思維發(fā)展存在的問題

（一）學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展限制其抽象思維發(fā)展

這個階段的學(xué)生認(rèn)知還不是很全面，他們的分析能力和理解能力也不是很強(qiáng)，不能很好地對數(shù)學(xué)的具體概念進(jìn)行分析和理解。他們對自身的認(rèn)知存在明顯的不足，很難對自身的發(fā)展進(jìn)行具體的規(guī)劃。在學(xué)習(xí)時，學(xué)生不能正確地把握自己的學(xué)習(xí)情況，缺乏邏輯思維能力。受應(yīng)試教育的影響，學(xué)生不具備相應(yīng)的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，這也使數(shù)學(xué)抽象思維的培養(yǎng)更有難度[1]。

（二）課堂的教學(xué)設(shè)計(jì)不完善

以往的物理課堂教學(xué)采用灌輸式教學(xué)模式，學(xué)生被動地接受知識，不注重對物理知識的深入分析和探究。在新課程改革背景下，教師雖然對課堂教學(xué)策略進(jìn)行了一些修改和完善，但是并沒有全方位、全面、綜合地進(jìn)行整改和創(chuàng)新。比如，教師的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)工作方向錯誤，培育學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)主要就是為后續(xù)的學(xué)習(xí)打好堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，培育學(xué)生的數(shù)學(xué)思維、分析能力，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律，并進(jìn)行歸納和總結(jié)，以此來提升學(xué)生的數(shù)學(xué)技能和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，而不是單純地進(jìn)行大量的思維訓(xùn)練。一些教師過分追求數(shù)學(xué)技能、方式的訓(xùn)練，而輕視數(shù)學(xué)概念的探究和運(yùn)用，而且對數(shù)學(xué)概念教學(xué)產(chǎn)生錯誤理解，如對數(shù)學(xué)概念的講述不清晰、不完整。為了完成教學(xué)目標(biāo)，追趕教學(xué)進(jìn)度，教師在課堂教學(xué)中設(shè)置了很多不必要的環(huán)節(jié)，限制了學(xué)生思維能力的發(fā)展和進(jìn)步[2]。

二、數(shù)學(xué)抽象思維對數(shù)學(xué)教學(xué)的意義

高中數(shù)學(xué)知識較為抽象，為確保學(xué)生能夠更有效地掌握數(shù)學(xué)知識，教師必須提升學(xué)生的思維靈敏度，幫助其形成數(shù)學(xué)抽象思維。

數(shù)學(xué)抽象思維有利于培養(yǎng)學(xué)生正確的數(shù)學(xué)觀念。很多學(xué)生在解答數(shù)學(xué)問題的過程中沒有形成正確的解題思路，看到一道數(shù)學(xué)題，有時會直接根據(jù)題目所給的表面信息著手做題，這會造成出錯率較高。學(xué)生在看到題目時應(yīng)將問題讀三遍，然后勾出題目中的重要信息，之后按照題目要求進(jìn)行計(jì)算和解答。這樣，學(xué)生在審題的過程中也會逐漸建立數(shù)學(xué)思維體系，當(dāng)遇到抽象知識時會投入更多的思考。

三、以“函數(shù)單調(diào)性”為案例做出的分析

函數(shù)的單調(diào)性一直是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，學(xué)生在初中階段對基本初等函數(shù)相關(guān)知識進(jìn)行了學(xué)習(xí)，進(jìn)而也了解了它們的一些單調(diào)性及性質(zhì)，對圖象的變化、增減性等也積累了一定的知識基礎(chǔ)。而在高中學(xué)習(xí)函數(shù)單調(diào)性時，學(xué)生不僅要掌握那些基本初等函數(shù)的單調(diào)性，還要學(xué)會運(yùn)用函數(shù)去探究、推導(dǎo)出其他一些函數(shù)的特點(diǎn)。對于函數(shù)單調(diào)性這個概念的學(xué)習(xí)和理解，學(xué)生需要了解其本質(zhì)和內(nèi)涵，對其進(jìn)行深入的分析和思考。第一，教師要讓學(xué)生簡單地觀察圖象，直觀感受圖象的變化規(guī)律，然后總結(jié)出抽象函數(shù)的具體性質(zhì)。第二，教師要讓學(xué)生使用符號去表述函數(shù)圖象的增減定義，并且利用函數(shù)單調(diào)性的具體性質(zhì)去解決問題。第三，教師要引導(dǎo)學(xué)生完善函數(shù)單調(diào)性的知識體系，鼓勵其使用單調(diào)性的定義去解決問題，從而提升學(xué)生的問題處理能力和抽象思維能力[3]。

圖象之間的單調(diào)性存在一定的關(guān)聯(lián)，學(xué)生可以利用基本初等函數(shù)的圖象總結(jié)出與之相似的復(fù)雜函數(shù)的單調(diào)性。另外，教師要規(guī)范學(xué)生的數(shù)學(xué)語言，讓學(xué)生準(zhǔn)確地使用數(shù)學(xué)語言描述函數(shù)的增減性。

在教學(xué)“函數(shù)單調(diào)性”這一節(jié)時，教師可以將學(xué)生分成若干小組，使其合作探究函數(shù)的單調(diào)性。學(xué)生之間相互合作，最終探討出單調(diào)性的定義及函數(shù)單調(diào)性研究策略。教師可根據(jù)學(xué)生的探究情況，再結(jié)合教材內(nèi)容對單調(diào)性進(jìn)行深入解析。

（一）抓住教材內(nèi)容是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的關(guān)鍵

數(shù)學(xué)教材是開展數(shù)學(xué)教學(xué)的有效工具。教師只有深入挖掘教材知識，有效引導(dǎo)學(xué)生，才能培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。首先，教師應(yīng)根據(jù)數(shù)學(xué)知識間的邏輯關(guān)系把數(shù)學(xué)知識從抽象、混亂的形式逐步轉(zhuǎn)變成脈絡(luò)清晰的形式，讓學(xué)生能夠準(zhǔn)確把握函數(shù)單調(diào)性的核心內(nèi)容。第二，教師應(yīng)提升對函數(shù)單調(diào)性教材內(nèi)容的解讀能力。教師要想讓學(xué)生深入掌握函數(shù)的單調(diào)性這部分知識，就要重點(diǎn)把握好這部分知識的前后關(guān)系、整體結(jié)構(gòu)及編排特點(diǎn)，精準(zhǔn)掌握函數(shù)單調(diào)性的內(nèi)涵，并進(jìn)行拓展、延伸。教師只有深刻認(rèn)識到這部分內(nèi)容的內(nèi)涵和本質(zhì)，才能更有效地培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維和素養(yǎng)。

（二）開展數(shù)學(xué)探究活動

數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的培育需要在一定的探究和操作活動中來進(jìn)行。教師應(yīng)以教材中的數(shù)學(xué)探究活動為基礎(chǔ)來培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。在教學(xué)中，教師應(yīng)給學(xué)生創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)情境，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)探究活動中積累學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，內(nèi)化數(shù)學(xué)知識，提升自身的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。數(shù)學(xué)探究活動應(yīng)依照數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn)和學(xué)生的思維水平進(jìn)行設(shè)計(jì)，教師應(yīng)帶領(lǐng)學(xué)生從簡到難、由淺入深地開展探究活動，這樣才能讓教學(xué)更具有探究意義和價值。教師在探究活動中應(yīng)依照學(xué)生的心理特點(diǎn)和學(xué)習(xí)情況進(jìn)行引導(dǎo)，讓學(xué)生深刻理解和掌握抽象的數(shù)學(xué)知識，提升他們的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。在教學(xué)“函數(shù)單調(diào)性”的過程中，教師就可以開展一些探究活動，讓學(xué)生通過實(shí)際生活中的例子去感受其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識[4]。

例如，教師給學(xué)生展示一個函數(shù)圖象，然后讓學(xué)生以小組合作的形式，觀察和討論這個圖象有什么特點(diǎn)，以及函數(shù)的單調(diào)性主要指的是什么，以促使學(xué)生去思考和探究。接著，教師提出更高難度的問題：怎樣判斷函數(shù)的單調(diào)性？學(xué)生緊跟教師的思路不斷拓展思維，積極思考。這樣的探究環(huán)節(jié)能發(fā)散學(xué)生的思維，提高學(xué)生的思考能力，由此提升他們的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。

（三）給學(xué)生展示函數(shù)單調(diào)性中的數(shù)學(xué)抽象知識

數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的培育主要以教材為基礎(chǔ)。教師通過對數(shù)學(xué)抽象之美的展示，能夠轉(zhuǎn)變學(xué)生對數(shù)學(xué)抽象知識的刻板印象，使其認(rèn)識到數(shù)學(xué)抽象知識并不都是復(fù)雜和枯燥的，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。因此，教師應(yīng)從數(shù)學(xué)抽象知識的結(jié)構(gòu)體系著手。通過創(chuàng)設(shè)相應(yīng)的問題情境讓學(xué)生了解一些數(shù)學(xué)概念，深入掌握數(shù)學(xué)定律。在日常教學(xué)中，教師應(yīng)帶領(lǐng)學(xué)生梳理數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)，了解知識的形成過程，讓學(xué)生形成系統(tǒng)的知識體系，從而幫助學(xué)生在理解數(shù)學(xué)抽象知識的基礎(chǔ)上對數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)有一個整體的把握。開展“函數(shù)單調(diào)性”這部分教學(xué)時，教師在授課完畢后，應(yīng)和學(xué)生一起回顧所講的知識，對課堂內(nèi)容進(jìn)行總結(jié)，如判斷函數(shù)的單調(diào)性主要有哪幾種方法，每種方法具體指什么。

在開展數(shù)學(xué)教學(xué)活動時，教師應(yīng)以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為最終目標(biāo)，并對教材內(nèi)容及學(xué)生現(xiàn)有知識水平及能力進(jìn)行分析，設(shè)計(jì)相關(guān)數(shù)學(xué)探究活動，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，幫助學(xué)生找到適合自己的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率;還要適當(dāng)?shù)貫閷W(xué)生展示數(shù)學(xué)所具有的抽象美，讓學(xué)生在感受數(shù)學(xué)抽象美的同時體會到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣，最終使學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)得到有效提升。

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