材料中含記憶項(xiàng)的非自治分?jǐn)?shù)階隨機(jī)熱方程的漸近行為

李林妍， 舒 級(jí)， 李 輝， 白欠欠

（四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 可視化計(jì)算與虛擬現(xiàn)實(shí)四川省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川 成都610066）

近十多年來(lái)，分?jǐn)?shù)階微積分理論受到國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注，特別是從實(shí)際問(wèn)題抽象出來(lái)的分?jǐn)?shù)階偏微分方程成為大家的研究熱點(diǎn)，在化學(xué)、物理、生物、人口動(dòng)力學(xué)和金融等領(lǐng)域都有涉及，一些含有分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的經(jīng)典數(shù)學(xué)物理方程能更好地描述復(fù)雜現(xiàn)象和復(fù)雜系統(tǒng)，包括分?jǐn)?shù)階Schr?dinger方程［1-3］、分 數(shù) 階Landau-Lifshitz方 程［4］、分 數(shù) 階Landau-Lifshitz-Maxwell 方 程［5］、分 數(shù) 階Ginzburg-Landau方程［6-11］和分?jǐn)?shù)階隨機(jī)反應(yīng)擴(kuò)散方程［12-13］.

研究如下帶記憶項(xiàng)的分?jǐn)?shù)階隨機(jī)反應(yīng)擴(kuò)散方程

其初邊值條件分別為

其中，O為R3上帶有光滑邊界?O的有界區(qū)域，α∈（0，1），ε為正常數(shù)，u（x，t）是未知函數(shù)，μ是一個(gè)非負(fù)記憶核，f是非線性項(xiàng)，k（·）∈L2loc（R，L2（O）），h（·）∈H2α，W是概率空間上的雙邊實(shí)值Winner過(guò)程.在本文中，u的動(dòng)力學(xué)行為依賴于擴(kuò)散項(xiàng)過(guò)去的歷史，即

當(dāng)α∈（0，1）時(shí)，稱（-Δ）α為分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子.在有界區(qū)域O上，分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子有不同的定義，包括積分分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子和譜分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子兩種定義.當(dāng)α＝1時(shí)，-Δ是標(biāo)準(zhǔn)的拉普拉斯算子.文獻(xiàn)［14-19］提出拉回隨機(jī)吸引子的概念，是確定系統(tǒng)的整體吸引子的推廣［20-23］，很好地刻畫了隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)的長(zhǎng)時(shí)間行為.近年來(lái)，許多學(xué)者已深入研究帶有標(biāo)準(zhǔn)拉普拉斯算子的隨機(jī)方程的隨機(jī)吸引子，比如自治方程［19，22，24-44］和非自治方程［12，38，45-50］.特別地，文獻(xiàn)［51］證明了（1）式的隨機(jī)吸引子的存在性.當(dāng)α∈（0，1）時(shí)，目前只有幾篇文獻(xiàn)討論了隨機(jī)分?jǐn)?shù)階偏微分方程解的漸近行為［7，12，52］.注意到，當(dāng)?shù)龋?3］用譜分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子定義證明了方程（1）隨機(jī)吸引子的存在性.受文獻(xiàn)［12，53］的啟發(fā)，本文將用積分分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子定義來(lái)研究方程（1）在時(shí)的隨機(jī)吸引子的存在性和上半連續(xù)性.另外，當(dāng)有記憶項(xiàng)時(shí)，由于包含現(xiàn)象過(guò)去的全部歷史，不能證明方程（1）產(chǎn)生的隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)的緊性，但是，可以通過(guò)分解方法證明其漸近緊性，從而得到緊隨機(jī)吸收集的存在性.

1 預(yù)備知識(shí)

最后，為了方便起見，全文用c或者C表示正常數(shù)，特別地，用c（·）或C（·）表示與·有關(guān)的正常數(shù)，這些常數(shù)可能不同.

2 隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)

方程（10）-（12）能產(chǎn)生一個(gè)連續(xù)的隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng).

由于（4）式給出的分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子（-Δ）α是非局部算子，類似于文獻(xiàn)［51］，可將（2）式中條件x∈?O換為x∈R3＼O，即對(duì)α∈（0，1），有

其中非線性函數(shù)f滿足

3 隨機(jī)吸引子

對(duì)（46）式右邊第一項(xiàng)，由于φτ-t∈D（τ-t，θ-tω）（∈D）及z（ω）是緩增的，于是存在T（τ，ω，D，ε）＞0使得對(duì)所有t＞T（τ，ω，D，ε），有

對(duì)（46）式右邊第二項(xiàng)，由（34）式知

接下來(lái)證kε是緩增的，即kε∈D.由（50）式可得

由（35）式可知

又r（ω）及z（ω）均是緩增的，則根據(jù)（52）式可得Rε是緩增的，即

4 上半連續(xù)性

由（8）及（88）式得

證明 由文獻(xiàn)［39］中的定理3.2、（82）和（86）式及引理4.1，結(jié)論成立.

致謝 四川師范大學(xué)2019年研究生優(yōu)秀論文培育基金項(xiàng)目（201903-12）和四川省可視化計(jì)算與虛擬現(xiàn)實(shí)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室對(duì)本文予以資助，謹(jǐn)致謝意！