高等數(shù)學(xué)的思維方式在統(tǒng)計(jì)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

曹襄雅 陳蘭花 李澤疆 楊鈺含

摘 ?要：統(tǒng)計(jì)學(xué)與高等數(shù)學(xué)是目前高校數(shù)學(xué)教學(xué)的兩項(xiàng)重要組成部分，高等數(shù)學(xué)中存在著多種思維方式，運(yùn)用到統(tǒng)計(jì)學(xué)教學(xué)中都是十分適合的。本文通過分析高等數(shù)學(xué)中的幾種常用思維，進(jìn)一步分析了統(tǒng)計(jì)學(xué)教學(xué)中高等數(shù)學(xué)思維的具體應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：統(tǒng)計(jì)學(xué);思維方式;高等數(shù)學(xué)

引言：統(tǒng)計(jì)學(xué)是數(shù)學(xué)領(lǐng)域的重要分支，在實(shí)際學(xué)習(xí)的過程中，需注意思維的合理運(yùn)用，基于此，本文就統(tǒng)計(jì)學(xué)中運(yùn)用幾種高等數(shù)學(xué)思維的路徑進(jìn)行了簡(jiǎn)要分析，希望可以對(duì)實(shí)際教學(xué)有所幫助。

一、統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)科教學(xué)現(xiàn)狀

統(tǒng)計(jì)學(xué)是一門具有繁雜性特點(diǎn)的學(xué)科，因而在教學(xué)方面具有著較高難度，尤其是目前面臨著部分學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)差、數(shù)學(xué)邏輯思維缺乏的情況，致使統(tǒng)計(jì)學(xué)教學(xué)開展更加不易，學(xué)生對(duì)統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)的理解難以透徹。統(tǒng)計(jì)學(xué)教師也認(rèn)識(shí)到當(dāng)下教學(xué)存在的問題，因此著重于培養(yǎng)學(xué)生的高等數(shù)學(xué)思維以及分析能力，將數(shù)學(xué)思維作為統(tǒng)計(jì)學(xué)教學(xué)的基礎(chǔ)思想，進(jìn)而提升學(xué)生的解題能力，為此，還需要引導(dǎo)學(xué)生將高等數(shù)學(xué)思維方式合理運(yùn)用到統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)中[1]。

二、統(tǒng)計(jì)學(xué)教學(xué)與高等數(shù)學(xué)之間的聯(lián)系

在許多高校當(dāng)中，統(tǒng)計(jì)學(xué)與高等數(shù)學(xué)都是理科專業(yè)學(xué)生的必修內(nèi)容，兩者都屬于數(shù)學(xué)體系，缺少了任意一門課程的學(xué)習(xí)都不能夠系統(tǒng)化學(xué)習(xí)高校數(shù)學(xué)，因此，統(tǒng)計(jì)學(xué)與高等數(shù)學(xué)之間具有著緊密關(guān)系，站在統(tǒng)計(jì)學(xué)教學(xué)的角度來說，也離不開對(duì)高等數(shù)學(xué)內(nèi)容的運(yùn)用。從本質(zhì)上來分析，統(tǒng)計(jì)學(xué)與高等數(shù)學(xué)都包含著大量的數(shù)學(xué)知識(shí)，其知識(shí)的特點(diǎn)是具有邏輯性和抽象性，其中高等數(shù)學(xué)課程屬于高校的一門公共基礎(chǔ)課，許多理科課程都可能用到高等數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)，統(tǒng)計(jì)學(xué)課程也不例外。統(tǒng)計(jì)學(xué)與高等數(shù)學(xué)在教學(xué)的過程中，都需以問題為出發(fā)點(diǎn)，通過深入分析問題、全方位思考問題，最后落到解決問題上，同時(shí)，兩者都是對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行研究，且數(shù)據(jù)都具有變化的特點(diǎn)。例如，在統(tǒng)計(jì)學(xué)當(dāng)中，可能性分析和隨機(jī)情況的研究都具有變化性，而高等數(shù)學(xué)中的函數(shù)研究與線性變量同樣具有可變性，在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)和統(tǒng)計(jì)學(xué)時(shí)，學(xué)生也都是基于已知條件和分析、觀察獲得的內(nèi)容，再經(jīng)過精細(xì)地推斷、計(jì)算以及驗(yàn)證檢查，最終得出結(jié)果，這種結(jié)果可能是一種數(shù)學(xué)現(xiàn)象或規(guī)律，借助于該結(jié)果也可以解決相應(yīng)問題。需要注意的是，高等數(shù)學(xué)在計(jì)算方面比統(tǒng)計(jì)學(xué)更為復(fù)雜化，且計(jì)算量也更大，而學(xué)生往往是在學(xué)習(xí)了高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)上再學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)學(xué)，這樣也會(huì)更為得心應(yīng)手，高等數(shù)學(xué)中的許多思維也被有效運(yùn)用到統(tǒng)計(jì)學(xué)教學(xué)當(dāng)中[2]。

三、高等數(shù)學(xué)中的幾種常見思維方式

（一）數(shù)形結(jié)合思維方式

數(shù)形結(jié)合在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中是一種常見思維方式，也是高等數(shù)學(xué)中的重要思想，簡(jiǎn)單來說數(shù)形結(jié)合就是數(shù)字和圖形進(jìn)行有機(jī)結(jié)合，數(shù)與形本身是可以在一定條件下相互轉(zhuǎn)換的，兩者都是高等數(shù)學(xué)中的重要研究對(duì)象，通過有機(jī)結(jié)合，可以將原本相對(duì)獨(dú)立的線性代數(shù)學(xué)習(xí)與幾何圖形學(xué)習(xí)關(guān)聯(lián)起來。從數(shù)形結(jié)合思想的實(shí)際運(yùn)用來看，大多可分為兩種情況，其一是借助于代數(shù)的精確特點(diǎn)來進(jìn)一步詳細(xì)闡述幾何圖形的一些屬性，其二可以運(yùn)用幾何圖形的直觀特點(diǎn)來詳細(xì)闡明代數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，即將數(shù)形結(jié)合思想分為兩種，分別為“以形助數(shù)”和“以數(shù)解形”，例如，在以數(shù)解形應(yīng)用當(dāng)中，若是某類幾何圖形過于簡(jiǎn)單，無法通過觀看圖形詳細(xì)描述屬性，也難以觀察出什么數(shù)學(xué)規(guī)律，而這時(shí)就可以利用代數(shù)為幾何圖形賦值，比如增加圖形某個(gè)角度數(shù)值，或是增加邊長(zhǎng)數(shù)值。代數(shù)與幾何反映著事物的兩方面特點(diǎn)，但也具有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，在數(shù)形結(jié)合的思維下，直觀的幾何圖形與抽象的數(shù)字語言結(jié)合反映出來，這也是一種形象思維和抽象思維的融合，可以進(jìn)一步簡(jiǎn)化原本復(fù)雜的概念，從而達(dá)到解決數(shù)學(xué)問題的目的。數(shù)形結(jié)合思維中水平較高的方式還有數(shù)學(xué)家笛卡爾提出的坐標(biāo)系概念，坐標(biāo)系中可以構(gòu)建相應(yīng)幾何圖形，也具有著對(duì)應(yīng)數(shù)字，兩者結(jié)合緊密，更加開拓學(xué)生思維，降低學(xué)習(xí)難度，像是高等數(shù)學(xué)中的二重積分問題解決，若是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思維，就可簡(jiǎn)單將曲邊梯形面積進(jìn)行數(shù)字轉(zhuǎn)化。

（二）因果關(guān)系思維方式

在高等數(shù)學(xué)當(dāng)中，因果關(guān)系思維也是十分常見的，“因”與“果”之間的關(guān)系緊密，正所謂“有因必有果、有果必有因”，通俗來說，就是只有詳細(xì)了解的事物原因，才能夠依據(jù)化推導(dǎo)出事物結(jié)果，而若是事物具有某種結(jié)果，那么也一定存在某種原因。例如，在高等數(shù)學(xué)當(dāng)中，因果思維存在于函數(shù)的各項(xiàng)條件，包括必要條件、充分條件以及充分不必要條件等等，而已知條件事實(shí)上就是某種“因”，分析這些條件之間的聯(lián)系就可以推導(dǎo)出一些概念性結(jié)論。除此之外，在因果關(guān)系思維不斷深入研究后，還衍生研究出一種新的思維，即反證思維，也就是上述提到的“有果必有因”，通過實(shí)際存在的結(jié)果反向推導(dǎo)出內(nèi)因，在反證的過程中，要先假設(shè)結(jié)果是成立的，進(jìn)而推導(dǎo)原因，若是無法推導(dǎo)出來，那么結(jié)果就是錯(cuò)誤的[3]。

（三）類比思維方式

在數(shù)學(xué)領(lǐng)域當(dāng)中，存在著各種各樣的要素，而這些要素之間卻始終存在著某種聯(lián)系，這種聯(lián)系可能是千絲萬縷中存在，但正因如此，要素之間也會(huì)存在相似性，類比思維就是在要素相似性特點(diǎn)基礎(chǔ)上產(chǎn)生的，即對(duì)各項(xiàng)數(shù)學(xué)要素進(jìn)行類比。在類比思維當(dāng)中，進(jìn)行類比的對(duì)象可以是內(nèi)部屬性相似的兩個(gè)或是多個(gè)要素，通過一些相似點(diǎn)的類比，可以推導(dǎo)出其他內(nèi)容相似的規(guī)律，比如說學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)中的多元函數(shù)積分學(xué)與微分學(xué)時(shí)，就可通過函數(shù)之間的相似性來類比分析多元函數(shù)與之前學(xué)習(xí)過的一元函數(shù)微積分理論、概念等等，從而總結(jié)出不同函數(shù)之間的規(guī)律。再如將定積分概念、方法與不定積分進(jìn)行類比分析，兩者都是積分學(xué)，其基礎(chǔ)上有著共同點(diǎn)，通過深入分析類比之后也能夠得出異同點(diǎn)，從而運(yùn)用于相應(yīng)的數(shù)學(xué)難題當(dāng)中。此外，在解析平面和空間幾何的過程中，也可利用類比思維方式，像是通過平面圖形圓的方程式（x-a）2+（y-b）2=R2類比后，可以得到空間球面的相應(yīng)方程式（x-a）2+（y-b）2+（z-c）2=R2。類比思維方式的實(shí)踐運(yùn)用，優(yōu)點(diǎn)就在于可以將新內(nèi)容與已經(jīng)學(xué)習(xí)的知識(shí)內(nèi)容進(jìn)行類比，使新的知識(shí)更容易理解和接收，也能夠提升創(chuàng)造力。

（四）條件轉(zhuǎn)化思維

條件轉(zhuǎn)化是高等數(shù)學(xué)中的一種化簡(jiǎn)為繁思維，針對(duì)于復(fù)雜的條件和問題進(jìn)行簡(jiǎn)化處理，這樣可以有效解決一些難題。在數(shù)學(xué)解題的過程中，有時(shí)往往已知條件中沒有解題所需要的，那么就需要將已知條件轉(zhuǎn)化為可以利用的條件，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)解題的目的。例如，在進(jìn)行極限運(yùn)算求解過程中，一般會(huì)結(jié)合積分法或是換元法倆解決問題，而為了盡可能降低解題難度，就會(huì)運(yùn)用到條件轉(zhuǎn)化思維，將其中復(fù)雜的數(shù)學(xué)內(nèi)容轉(zhuǎn)化為更容易理解的內(nèi)容，或是將不熟悉的內(nèi)容分解為熟悉的數(shù)學(xué)內(nèi)容，變不利條件為有利條件，這也是高等數(shù)學(xué)條件轉(zhuǎn)化思維的內(nèi)涵。

（五）極限思維方式

高等數(shù)學(xué)中的極限思維方式一般是用于求函數(shù)極限方面，其是利用極限概念解決問題的重要思想，極限思維也被運(yùn)用在微分幾何、積分方程以及微分方程等數(shù)學(xué)領(lǐng)域。例如，函數(shù)問題中極限思維方式的運(yùn)用，通常是先預(yù)設(shè)出與要求數(shù)量相關(guān)聯(lián)的變量數(shù)值，然后在導(dǎo)函數(shù)當(dāng)中重復(fù)代入進(jìn)數(shù)量值開展驗(yàn)算，最后會(huì)獲得較為極限的數(shù)學(xué)結(jié)果，這一結(jié)果與真實(shí)情況十分貼近，運(yùn)用極限思維的計(jì)算還可以研究函數(shù)的連續(xù)性問題，具有著較高的數(shù)學(xué)價(jià)值。極限思維方式一致貫徹于整個(gè)數(shù)學(xué)體系當(dāng)中，其可以有效簡(jiǎn)化處理難題，對(duì)于教學(xué)工作有著重要意義。

四、統(tǒng)計(jì)學(xué)教學(xué)過程中高等數(shù)學(xué)思維方式的有效應(yīng)用

結(jié)合所分析的統(tǒng)計(jì)學(xué)教學(xué)與高等數(shù)學(xué)之間的聯(lián)系，可以將高等數(shù)學(xué)思維方式運(yùn)用與統(tǒng)計(jì)學(xué)的教學(xué)過程中，通過教學(xué)提升學(xué)生的思維水平，也可以簡(jiǎn)化學(xué)生解決統(tǒng)計(jì)學(xué)問題的難度，具有著一定的現(xiàn)實(shí)意義，具體的應(yīng)用形式包含以下幾種。

（一）因果關(guān)系思維在推斷統(tǒng)計(jì)中的應(yīng)用

統(tǒng)計(jì)學(xué)是一門復(fù)雜的學(xué)科，涉及到許多專業(yè)內(nèi)容，而其中有一種十分常用的統(tǒng)計(jì)方法叫作推斷統(tǒng)計(jì)。推斷統(tǒng)計(jì)的原理為收集需要的樣本數(shù)據(jù)信息，再經(jīng)過深入分析和研究，最后推斷出某種結(jié)果或是特性。由這種原理可以看出，推斷統(tǒng)計(jì)與高等數(shù)學(xué)思維方式中的因果關(guān)系思維有著通性，都是對(duì)已知數(shù)據(jù)或是條件進(jìn)行分析與判斷，進(jìn)而推導(dǎo)出某種結(jié)果。例如，統(tǒng)計(jì)學(xué)利用因果關(guān)系思維實(shí)現(xiàn)因果推斷統(tǒng)計(jì)，具體可運(yùn)用于潛在結(jié)果模型、觀察性研究與可忽略性研究、未觀測(cè)的混雜因素等幾個(gè)方面。此外，在統(tǒng)計(jì)學(xué)當(dāng)中，與數(shù)學(xué)一樣存在變量這一要素概念，因而也可以將統(tǒng)計(jì)學(xué)變量定義與高等數(shù)學(xué)變量定義進(jìn)行類比，分析兩項(xiàng)學(xué)科的相同點(diǎn)和異同點(diǎn)，這也有利于開展統(tǒng)計(jì)學(xué)教學(xué)，提升學(xué)生對(duì)統(tǒng)計(jì)學(xué)概念的理解水平。

（二）統(tǒng)計(jì)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想應(yīng)用

在統(tǒng)計(jì)學(xué)當(dāng)中，轉(zhuǎn)化思想是十分常見的，其意義在于將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)換為簡(jiǎn)單問題，這也與高等數(shù)學(xué)中的條件轉(zhuǎn)化思維方式一脈相承，其是站在方法論角度，將條件轉(zhuǎn)化思維延伸利用。例如，貫穿于統(tǒng)計(jì)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想之一為一般與特殊之間的轉(zhuǎn)化，進(jìn)而利用抽樣的信息推導(dǎo)出總體的數(shù)量特征，比方說分析線性回歸問題時(shí)，通過已知樣本資料來進(jìn)一步構(gòu)建回歸模型，從而呈現(xiàn)出兩項(xiàng)變量之間相互依存的關(guān)系，最后進(jìn)行估算與預(yù)測(cè)即可，這屬于轉(zhuǎn)化思維中特殊到一般的轉(zhuǎn)化。還有一種是映射轉(zhuǎn)換，是一種將問題化繁為簡(jiǎn)的方法，需構(gòu)建適當(dāng)?shù)挠成?，是一種重要的轉(zhuǎn)化方法，在目前的統(tǒng)計(jì)學(xué)當(dāng)中具有著較高應(yīng)用價(jià)值。例如，映射轉(zhuǎn)換可以將一般正態(tài)分布轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，還可以在估計(jì)區(qū)間以及檢驗(yàn)假設(shè)問題中運(yùn)用，對(duì)于非線性回歸模型，在映射轉(zhuǎn)換方法下也可以轉(zhuǎn)換為線性回歸模型，除此之外，映射轉(zhuǎn)換思維方法也運(yùn)用于構(gòu)造各種統(tǒng)計(jì)量。

（三）數(shù)形結(jié)合思維在統(tǒng)計(jì)學(xué)中的運(yùn)用

根據(jù)數(shù)形結(jié)合思維方法原理可知，其能夠讓代數(shù)借助于幾何圖形來直觀呈現(xiàn)，對(duì)于統(tǒng)計(jì)學(xué)教學(xué)而言，這種方式的運(yùn)用可以更加方便學(xué)生對(duì)統(tǒng)計(jì)的結(jié)果進(jìn)行理解，從而解決統(tǒng)計(jì)問題。例如，在統(tǒng)計(jì)學(xué)教學(xué)當(dāng)中，概率學(xué)內(nèi)容是較為重要的學(xué)習(xí)部分，其中概率學(xué)中具有排列組合的概念，排列組合簡(jiǎn)單來說是將數(shù)據(jù)按照一定規(guī)律來排列或組合，生成一組新的數(shù)據(jù)，且排列和組合的不同也能獲得不同結(jié)果，在以往的統(tǒng)計(jì)學(xué)教學(xué)當(dāng)中，有關(guān)排列組合內(nèi)容，教師也只是簡(jiǎn)單陳述幾種排列情況以及對(duì)應(yīng)的生成結(jié)果，而若是實(shí)際排列情況比較復(fù)雜，且生成的排列組合結(jié)果較多時(shí)，教師在講解中就會(huì)比較困難，像是出現(xiàn)表述不清晰情況，學(xué)生的理解效果也不佳，為此，統(tǒng)計(jì)學(xué)教師就可以運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思維方式，將排列組合問題中的所有情況與結(jié)果利用樹狀圖來呈現(xiàn)出來，樹狀圖既可以直觀地呈現(xiàn)出結(jié)果，也可以呈現(xiàn)出排列方式與結(jié)果之間的聯(lián)系，使得整體問題生動(dòng)化且一目了然，方便學(xué)生理解并學(xué)習(xí)排列組合概念，避免出現(xiàn)邏輯混亂或記憶重復(fù)的情況。再比如，統(tǒng)計(jì)學(xué)問題中也有求數(shù)據(jù)平均數(shù)與眾數(shù)的相關(guān)問題，同時(shí)在這些數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，還會(huì)做出相應(yīng)統(tǒng)計(jì)，而在以往的統(tǒng)計(jì)學(xué)當(dāng)中，若是數(shù)據(jù)量較為龐大時(shí)就會(huì)較為困難，降低實(shí)際統(tǒng)計(jì)計(jì)算的效率，若是采用傳統(tǒng)教學(xué)方式，讓學(xué)生就數(shù)據(jù)一個(gè)個(gè)計(jì)算，那么很容易產(chǎn)生厭煩心理，基于此，可以采用數(shù)形結(jié)合方法，將所有數(shù)據(jù)繪制成柱形圖或是曲線圖，進(jìn)而解算出這些數(shù)據(jù)的平均數(shù)和眾數(shù)，以繪制數(shù)據(jù)柱形圖方法為例，柱形圖可以清晰呈現(xiàn)出一組數(shù)據(jù)中的最高數(shù)，這就是該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)，省去了計(jì)算分析環(huán)節(jié)。通過數(shù)形結(jié)合思維方式的有效運(yùn)用，學(xué)生在統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)習(xí)中進(jìn)一步簡(jiǎn)化了計(jì)算過程，提升了學(xué)習(xí)成效，這也體現(xiàn)出高等數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合思維的重要教學(xué)價(jià)值[4]。

結(jié)論：綜上所述，在統(tǒng)計(jì)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用高等數(shù)學(xué)的各項(xiàng)思維方式，不僅可以降低教學(xué)難度，也有助于學(xué)生邏輯思維能力、分析能力以及解決問題能力的培養(yǎng)，促使其全面發(fā)展。由本文分析可知，高等數(shù)學(xué)思維在統(tǒng)計(jì)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用形式主要包括數(shù)形結(jié)合思維運(yùn)用、類別思維運(yùn)用、條件轉(zhuǎn)化思維應(yīng)用以及因果思維應(yīng)用等。

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