分類討論思想在側(cè)重教學(xué)中的應(yīng)用策略探討

張進(jìn)華 朱樹方

摘 要：在初中數(shù)學(xué)的教學(xué)中，解決問題的方法往往不止一種，例如，數(shù)學(xué)歸納法、建立數(shù)學(xué)模型法、數(shù)形結(jié)合、分類討論，等等，而分類討論的方法是一種解決數(shù)學(xué)問題上一種常用的方法，是一種重要的數(shù)學(xué)思想。學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中往往會(huì)因?yàn)殡s亂的知識點(diǎn)，就認(rèn)為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)起來很困難，而分類討論思想可以將遇到的知識點(diǎn)分類，還可以解決一些問題，例如數(shù)字，可以將它細(xì)分為“自然數(shù)”“無限循環(huán)小數(shù)”“復(fù)數(shù)”等等。還有很多例如將代數(shù)式進(jìn)行分類，分類討論思想可以將數(shù)學(xué)中的復(fù)雜問題簡單化，從而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，同時(shí)能夠提高教師的教學(xué)有效性。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué);分類討論的思想;分類討論的應(yīng)用

一、 引言

分類討論的思想就是，將一個(gè)復(fù)雜的難以解決的問題按照一定的規(guī)律拆成很多小問題，將這些小問題逐一分類，拆解的小問題肯定要比最開始的那個(gè)大問題簡單，學(xué)生解決了每一個(gè)小問題，然后不管多難的問題學(xué)習(xí)都能夠解決，而有一些問題，可能會(huì)有多種解決辦法，教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生盡可能地考慮周到一點(diǎn)。在教學(xué)初中數(shù)學(xué)時(shí)，分類討論的思想的應(yīng)用特別廣泛，在平常的課后作業(yè)、考試試卷上都存在，教師應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用分類討論的思想，將復(fù)雜的問題簡單化，教師應(yīng)該閱讀足夠的書籍，掌握在這一方面的知識，并結(jié)合自身的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，將生活中的一些分類實(shí)例帶到課堂上去，多樣化豐富自己的初中數(shù)學(xué)教學(xué)過程，讓學(xué)生在解決問題的同時(shí)獲得喜悅感和成就感，從而提高對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，能夠都積極主動(dòng)地參與到老師安排的教學(xué)活動(dòng)中去。讓學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中進(jìn)行分類討論思想的培養(yǎng)，教師應(yīng)該將書本上枯燥的例子轉(zhuǎn)變出一個(gè)個(gè)生動(dòng)的場景，好好把握培養(yǎng)學(xué)生分類討論的思想的機(jī)會(huì)。

二、 教師培養(yǎng)學(xué)生分類討論思想的策略

首先，對于一個(gè)學(xué)生從來沒有接觸過的題型，教師可以引導(dǎo)學(xué)生將這個(gè)陌生的題，拆成學(xué)生熟悉的題，而又應(yīng)該怎么做呢？

（一）對比自己熟悉的題，充分發(fā)揮自己的聯(lián)想能力

在解決陌生的題之前，學(xué)生應(yīng)該對比自己做過的題目，充分發(fā)揮自己的聯(lián)想能力，回憶做題用的知識點(diǎn)和方法，還有結(jié)論，解決現(xiàn)在能夠解決的簡單問題，在復(fù)雜問題中多解決一點(diǎn)自己能夠解決的小問題，原來的復(fù)雜問題不就簡單了。

（二）充分理解題給條件，多考慮幾個(gè)方面

在數(shù)學(xué)中解決同一個(gè)問題的方法往往不止一個(gè)，可以通過很多種方法做出來。學(xué)生可以充分運(yùn)用自己所學(xué)習(xí)過的知識和自己做題的經(jīng)驗(yàn)，有助于學(xué)生更加了解這道題的題意，這樣更有利于學(xué)生尋找適合這道題的分析和解決方法，從而更快地解決問題。

（三）適當(dāng)設(shè)置輔助參數(shù)，降低題目難度

在初中數(shù)學(xué)題目中，同一種題目可以有很多種表現(xiàn)形式;而在題目條件和已知結(jié)論或問題之間，其實(shí)存在很多的聯(lián)系。所以適當(dāng)設(shè)置輔助參數(shù)，可以降低題目難度，建立問題、條件、已知結(jié)論的聯(lián)系橋梁，將學(xué)生不熟悉的復(fù)雜題，轉(zhuǎn)換為學(xué)生明白的簡單題。

在學(xué)生將題目條件和問題從多個(gè)方面分析清楚后，教師可以引導(dǎo)學(xué)習(xí)進(jìn)行獨(dú)立解題，讓學(xué)生尋找問題簡單化的多條路徑，告訴學(xué)生簡單化的一種好辦法是“尋找中間環(huán)節(jié)”，在解題過程中學(xué)生可以去尋找一個(gè)復(fù)雜過程中的簡單的中間過程，教師可以引導(dǎo)學(xué)生多去尋找題目的中間過程，去分類討論中間過程。

三、 分類討論法在實(shí)際教學(xué)的應(yīng)用

（一）在求解方程系數(shù)時(shí)，運(yùn)用分類討論思想

（二）在求解代數(shù)式時(shí)，運(yùn)用分類討論思想

代數(shù)式在初中數(shù)學(xué)的教學(xué)中是一大難點(diǎn)，代數(shù)式比解方程、幾何圖形、函數(shù)都難，是因?yàn)榇鷶?shù)式的靈活性，學(xué)生不僅僅需要將代數(shù)式的性質(zhì)、概念、變換法則、公式弄懂，還要懂得靈活運(yùn)用，所以在解決問題的時(shí)候需要學(xué)生能夠合理分析題目的所給條件，靈活應(yīng)用分類討論思想，將分類討論思想變成打開這道題答案大門的鑰匙。

點(diǎn)評：這道題目考查了學(xué)生對于絕對值的理解、分析和運(yùn)用，當(dāng)絕對值符號中的值大于零，拆掉絕對值符號后，正常帶入其中的值，當(dāng)絕對值符號中的值小于零，拆掉絕對值符號后，將其中的值改為負(fù)值。

（三）在求解點(diǎn)坐標(biāo)位置題目時(shí)，運(yùn)用分類討論思維

一些題目中的條件不夠明確，導(dǎo)致圖形題目的點(diǎn)坐標(biāo)求出來不止一個(gè)，如果學(xué)生沒有考慮全面，會(huì)時(shí)常發(fā)生有的答案沒有解出，將會(huì)導(dǎo)致題目不能完全正確。

分析：通過題目所給的條件，可以知道交坐標(biāo)的兩點(diǎn)分別是（2，0）、（0，-2），由于題目沒有明確指出A、B兩點(diǎn)那個(gè)點(diǎn)在x軸，那個(gè)點(diǎn)在y軸，就可以分別將（2，0）、（0，-2）設(shè)為A點(diǎn)、B點(diǎn)，可以明確知道的是AB是三角形的一條邊，但是不知道究竟是哪一條邊，同時(shí)也不知道C點(diǎn)的位置，這時(shí)應(yīng)該運(yùn)用分類討論法。

解：（1）當(dāng)AB為三角形的底邊時(shí)，點(diǎn)C它一定在AB邊的中垂線上，而且一定與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，即（0，0）;

（2）當(dāng)AB為三角形的直角邊時(shí)，因?yàn)镃點(diǎn)一定在坐標(biāo)軸上，所以這時(shí)又分為兩種情況：

①點(diǎn)C在x軸上，可以找到（-2，0）這個(gè)點(diǎn);

②點(diǎn)C在y軸上，可以找到（0，2）這個(gè)點(diǎn)。

綜上所述，滿足題給條件的C點(diǎn)有3個(gè)，分別是（0，0）、（-2，0）、（0，2）所以應(yīng)該選擇B答案。

點(diǎn)評：學(xué)生應(yīng)該充分挖掘題意，理解出題者的意圖，從多個(gè)角度分析題目條件，弄清楚滿足題目各種可能情況，圖形題目學(xué)生可以通過畫草圖的形式來加強(qiáng)對題目的理解，最好考慮方向時(shí)能夠按照一定的順序來，否則會(huì)有的答案沒有考慮到。

（四）在求函數(shù)題目時(shí)，運(yùn)用分類討論思維

例4 為增強(qiáng)公民節(jié)水意識，合理利用水資源，某市采用“階梯收費(fèi)”，標(biāo)準(zhǔn)如下表：

如果該用戶5、6月份共用水20m3（6月份用水量超過5月份用水量），共交水費(fèi)64元，則該戶居民5、6月份各用水多少立方米？

分析：由于題目沒有指明用戶，這5月用了多少水，在6月用了多少水，但是交的水費(fèi)是知道的，所以可以通過固定的水費(fèi)來分類討論5月、6月各自的水費(fèi)。應(yīng)分情況討論：5月份不超過6m3，6月份10立方米以上;或5月份超過6m3，在6-10立方米之間;以及5月份在10m3以上分別分析即可得出答案。

解：（3）①當(dāng)5月份用水不超過6m3時(shí)，設(shè)5月份用水xm2，則6月份用水（20-x）m3，

根據(jù)題意得出：

2x+2×6+4×4+8（20-x-10）=64，

解得：x=22/3>6，不符合題意舍去。

②當(dāng)5月份用水超過6m3時(shí)，但不超過10m3時(shí)，設(shè)5月份用水xm3，

則2×6+4（x-6）+2×6+4×4+8x（20-10-x）=64，

解得：x=8<10符合題意。

③當(dāng)5月份用水超過10m3時(shí)，根據(jù)6月份用水量超過5月份用水量，

故不合題意。

所以5月份用水8m3，6月份用水量為12m3。

點(diǎn)評：這道題主要考查的是學(xué)生理解題意、列方程的能力，在初中數(shù)學(xué)中函數(shù)是應(yīng)該讓學(xué)生頭痛的類型，主要是因?yàn)楹瘮?shù)需要考慮的角度實(shí)在是太多，一不注意就可能少一到兩點(diǎn)，教師應(yīng)該加強(qiáng)學(xué)生對于解函數(shù)題目的能力。

四、 結(jié)語

綜上所述，教師應(yīng)該先弄懂分類討論思想的作用，再通過專項(xiàng)訓(xùn)練，來培養(yǎng)學(xué)生的分類討論思想，引導(dǎo)學(xué)生對于陌生的題目，對比自己熟悉的題，充分發(fā)揮自己的聯(lián)想能力，充分理解題給條件，多考慮幾個(gè)方面適當(dāng)設(shè)置輔助參數(shù)，降低題目難度，引導(dǎo)學(xué)生尋找中間環(huán)節(jié)，實(shí)現(xiàn)復(fù)雜問題簡單化，使用分類思想，簡化已知條件，這樣解決陌生復(fù)雜的題目速度更快。讓學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中進(jìn)行分類討論思想的培養(yǎng)，教師應(yīng)該將書本上枯燥的例子轉(zhuǎn)變出一個(gè)個(gè)生動(dòng)的場景，好好把握培養(yǎng)學(xué)生分類討論的思想的機(jī)會(huì)。

參考文獻(xiàn)：

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作者簡介：張進(jìn)華，湖北省仙桃市，仙桃市彭場挖溝小學(xué);朱樹方，湖北省仙桃市，仙桃市彭場中學(xué)。