活用教材，厘清數(shù)學(xué)核心概念

張義瑛

在概念教學(xué)中，教師要以典型、豐富的實(shí)例為載體，引導(dǎo)學(xué)生展開觀察、分析，抽象概括出概念的本質(zhì)屬性，歸納得出數(shù)學(xué)概念。概念教學(xué)不能只是走過場(chǎng)，要給予學(xué)生充分概括數(shù)學(xué)概念的機(jī)會(huì)。數(shù)列概念的內(nèi)涵很小，而其概念的外延很大，學(xué)生對(duì)數(shù)列概念掌握的難點(diǎn)在概念的外延上。

【教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)】

重點(diǎn)：數(shù)列及其有關(guān)概念，感受數(shù)列是刻畫自然規(guī)律的數(shù)學(xué)模型及其廣泛應(yīng)用;理解數(shù)列通項(xiàng)公式的意義。

難點(diǎn)：會(huì)根據(jù)前幾項(xiàng)寫出它的一個(gè)通項(xiàng)公式，理解數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系。

【教學(xué)目標(biāo)】

1.理解數(shù)列通項(xiàng)公式的意義，對(duì)于比較簡(jiǎn)單的數(shù)列，會(huì)根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)，寫出它的一個(gè)通項(xiàng)公式，培養(yǎng)觀察、歸納能力。

2.通過實(shí)例體會(huì)序號(hào)與項(xiàng)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，理解數(shù)列是一種特殊函數(shù)，培養(yǎng)聯(lián)想、類比學(xué)習(xí)能力，為下節(jié)課研究數(shù)列的函數(shù)特性做好鋪墊。

3.培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理能力。

【教學(xué)過程】

一、創(chuàng)設(shè)情境，理解概念

師：今天我們將進(jìn)入新一章的學(xué)習(xí)，首先讓我們從一段密碼開始，這是電影《達(dá)·芬奇密碼》中館長(zhǎng)索尼埃留下的密碼提示（圖略），這顯然不是他最終要傳遞的信息。接下來，我們通過影片來看探長(zhǎng)是如何破譯密碼的。

（教師播放《達(dá)·芬奇密碼》電影探長(zhǎng)破譯密碼片段）

師：電影《達(dá)·芬奇密碼》中有這樣一段情節(jié)：盧浮宮館長(zhǎng)索尼埃被殺時(shí)留下了一段密碼和信息，你能從短片中看出探長(zhǎng)破譯后的明文和原來的密碼之間有什么關(guān)聯(lián)嗎？

生：數(shù)字相同，順序不同。

師：探長(zhǎng)發(fā)現(xiàn)索尼埃留下的密碼其實(shí)就是打亂了順序的斐波拉契數(shù)列，從而得到啟示，將英文字母重新進(jìn)行組合找到了謎底。這個(gè)破譯密碼的過程又告訴我們什么呢？

生：它告訴我們，相同的數(shù)字按照不同順序排列也會(huì)有不同的意義。

師：很好！這正是我們本節(jié)課要研究的主題：數(shù)列。

【設(shè)計(jì)意圖】教師通過電影情節(jié)引入新課，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生理解數(shù)列概念，辨析數(shù)列概念，同時(shí)結(jié)合課本封面出現(xiàn)的斐波拉契數(shù)列，引出本節(jié)課要研究的主題：數(shù)列。但更深層次的用意是讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到，即使數(shù)字相同，但排列順序不同，也會(huì)產(chǎn)生不同信息，這是我們研究數(shù)列的本質(zhì)原因。

（教師出示數(shù)列的定義：按照一定次序排列著的一列數(shù)叫作數(shù)列）

師：請(qǐng)大家繼續(xù)對(duì)比這兩組數(shù)，斐波拉契數(shù)列是世界上著名的數(shù)列，你能觀察出它的規(guī)律嗎？

生：從第三項(xiàng)起，后一項(xiàng)是前兩項(xiàng)的和。

師：那么索尼埃的密碼有類似規(guī)律嗎？索尼埃的密碼是數(shù)列嗎？

生：沒有類似規(guī)律，索尼埃的密碼是數(shù)列。

師：為什么索尼埃的密碼是數(shù)列？

生：因?yàn)樗髂岚５拿艽a也是有順序的。

師：這兩個(gè)數(shù)列是同一個(gè)數(shù)列嗎？

生：不是。

師：說明什么？

生：數(shù)列具有有序性。

【設(shè)計(jì)意圖】概念教學(xué)的核心是：在學(xué)生最近發(fā)展區(qū)激發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，讓學(xué)生的思維和教材內(nèi)容彼此碰撞，學(xué)生對(duì)所學(xué)內(nèi)容產(chǎn)生強(qiáng)烈的興趣和求知欲望。在教學(xué)中教師充分發(fā)揮引導(dǎo)作用，讓學(xué)生進(jìn)一步理解數(shù)列概念，將數(shù)列概念幾個(gè)易混點(diǎn)解釋清楚。

二、感受數(shù)列，構(gòu)建概念

教師從不同領(lǐng)域給出教學(xué)情境，讓學(xué)生充分感受數(shù)列的廣泛存在。

1.拉面在對(duì)折過程中的根數(shù)：2，4，8，16，32，64，128，256，…

2.婚禮上的酒塔由頂層到底層的酒杯數(shù)：1，3，5，7，9。

3.“一尺之棰，日取其半，萬世不竭?！? ， 1/2 ，1/4 ，1/8 ，?1/16 ， …

4.1988年到2016年中國(guó)奧運(yùn)金牌數(shù)：5，16，16，28，32，51，38，26。

師：你還能舉出我們?nèi)粘Ｉ钪械臄?shù)列嗎？

......

師：請(qǐng)問數(shù)列1的通項(xiàng)是什么？

生：是[2n]。

師：你是如何得到的呢？

生：因?yàn)榈谝豁?xiàng)可以寫成[21]，第二項(xiàng)可以寫成[22]，第三項(xiàng)可以寫成[23]，所以第[n]項(xiàng)就是[2n]。

師：請(qǐng)問這里的指數(shù)[1，2，3，…，n]是數(shù)列的什么？

生：是數(shù)列的序號(hào)或者項(xiàng)數(shù)。

師：所以我們找數(shù)列的通項(xiàng)實(shí)質(zhì)上是找什么？

生：數(shù)列的序號(hào)與數(shù)列項(xiàng)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

師：如果數(shù)列[an]的第[n]項(xiàng)[an]與序號(hào)[n]之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子表示成[an=fn]，那么這個(gè)式子就叫作這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式。

【設(shè)計(jì)意圖】本教學(xué)環(huán)節(jié)中，教師從不同的領(lǐng)域讓學(xué)生感受到數(shù)列在生活中大量存在，體會(huì)數(shù)列是刻畫事物發(fā)生、發(fā)展規(guī)律的數(shù)學(xué)模型（有序性），教師運(yùn)用幾個(gè)實(shí)例引入數(shù)列相關(guān)概念，幾個(gè)數(shù)列都有背景：數(shù)列1是等比數(shù)列，數(shù)列2是等差數(shù)列，兩者都是遞增數(shù)列。數(shù)列3是等比數(shù)列也是遞減數(shù)列，數(shù)列4用來說明不是所有的數(shù)列都有通項(xiàng)公式。學(xué)生通過實(shí)例抽象概括數(shù)列相關(guān)概念，培養(yǎng)了數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理能力。學(xué)生切身體會(huì)數(shù)列的項(xiàng)與序號(hào)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，寫出一些簡(jiǎn)單數(shù)列的通項(xiàng)公式，為突破本節(jié)課的難點(diǎn)做準(zhǔn)備。

三、辨析概念，學(xué)以致用

教師出示1988年到2016年中國(guó)奧運(yùn)金牌數(shù)：5，16，16，28，32，51，38，26。

師：你能根據(jù)這些金牌數(shù)，得出下屆奧運(yùn)會(huì)中國(guó)獲得的金牌數(shù)嗎？為什么？

生：不能，因?yàn)樵摂?shù)列沒有規(guī)律，所以不能寫出該數(shù)列的通項(xiàng)公式。

師：有了通項(xiàng)公式，只要依次用[1，2，3，…]代替公式中的[n]，就可以求出這個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)，也就是說每個(gè)序號(hào)都對(duì)應(yīng)著一個(gè)數(shù)（項(xiàng)），我們把例1換種形式寫出來。

師：大家通過該數(shù)列序號(hào)與項(xiàng)的這種對(duì)應(yīng)關(guān)系聯(lián)想到什么？

生：映射。

師：很好，再觀察序號(hào)與項(xiàng)這種數(shù)與數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，我們會(huì)進(jìn)一步聯(lián)想到什么？

生：函數(shù)。

師：從函數(shù)的觀點(diǎn)看，發(fā)現(xiàn)了什么？

生：數(shù)列項(xiàng)是序號(hào)的函數(shù)。

師：數(shù)列也是函數(shù)，請(qǐng)問這個(gè)函數(shù)的定義域是什么？

生：正整數(shù)集[N+]。

師：數(shù)列可以看成以正整數(shù)集[N+]為定義域的函數(shù)，當(dāng)自變量從小到大的順序依次取值時(shí)，所對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值就是這個(gè)數(shù)列。

師：這個(gè)函數(shù)的解析式是什么？

生：數(shù)列的通項(xiàng)公式就是該函數(shù)的解析式。

師：數(shù)列也是函數(shù)，那和我們學(xué)過的一些基本函數(shù)有什么區(qū)別嗎？

生：數(shù)列的定義域?yàn)檎麛?shù)集[N+]。

師：所以數(shù)列的圖像是什么？

生：是一群孤立的點(diǎn)。

……

【設(shè)計(jì)意圖】本教學(xué)環(huán)節(jié)中，教師運(yùn)用實(shí)例說明通項(xiàng)公式的作用：已知通項(xiàng)公式可以求出數(shù)列中的任意項(xiàng)。教師通過求數(shù)列中的項(xiàng)，讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)序號(hào)與項(xiàng)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，由對(duì)應(yīng)關(guān)系聯(lián)想到所學(xué)的函數(shù)。學(xué)生通過類比分析，找到數(shù)列與函數(shù)之間的關(guān)系：數(shù)列是特殊的函數(shù)。教學(xué)中，教師注重知識(shí)的生成過程，培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力。

【教學(xué)反思】

一、活用教材，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境是幫助學(xué)生理解概念的關(guān)鍵

教學(xué)的關(guān)鍵在于教師依據(jù)教材，理解教材的意圖，把握數(shù)學(xué)概念本質(zhì)，進(jìn)而創(chuàng)造性地使用教材。在教學(xué)中，教師關(guān)注知識(shí)的整體構(gòu)架，挖掘日常生活素材，在數(shù)學(xué)抽象的過程中落實(shí)數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

首先，挖掘生活中的數(shù)列（拉面在制作過程中的根數(shù)）、文化中的數(shù)列（一尺之棰，日取其半，萬世不竭）、體育中的數(shù)列（中國(guó)奧運(yùn)健兒從1988年奧運(yùn)會(huì)到2016年奧運(yùn)會(huì)所獲得的金牌數(shù)），這些數(shù)列均能刻畫客觀事物的發(fā)生發(fā)展過程（有序性），把現(xiàn)實(shí)生活中的一些數(shù)量與圖形有關(guān)的東西引入數(shù)學(xué)教學(xué)，這就是第一次“感性抽象”，抽象出數(shù)列的有序性。

其次，圍繞主題“如何用函數(shù)刻畫數(shù)列的有序性”，做如下處理：根據(jù)[an=nn+2]的通項(xiàng)公式，分別寫出數(shù)列的前5項(xiàng)。在寫出數(shù)列前5項(xiàng)的過程中，學(xué)生概括出數(shù)列是自然數(shù)集到實(shí)數(shù)集的映射，進(jìn)而抽象出數(shù)列可以看成以正整數(shù)集或它的有限子集{1，2，…，n}為定義域的函數(shù)，當(dāng)自變量按從小到大的順序依次取值時(shí)，所對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值就是這個(gè)數(shù)列（從數(shù)學(xué)的角度刻畫了數(shù)列的有序性），這就是第二次“符號(hào)抽象”，用抽象的數(shù)學(xué)符號(hào)刻畫數(shù)列，其特征是符號(hào)表達(dá)，這樣有利于學(xué)生深刻理解數(shù)列概念。

二、設(shè)計(jì)課例“明暗結(jié)合”，遵循概念學(xué)習(xí)的規(guī)律

我們根據(jù)兩條線索設(shè)計(jì)這節(jié)課。一條是數(shù)列及其相關(guān)概念、數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系這一知識(shí)技能的“明線”，一條是從典型事例中抽象出新的數(shù)學(xué)概念的“暗線”。

數(shù)列概念的獲得應(yīng)該符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，讓學(xué)生在教學(xué)情境中認(rèn)識(shí)到研究數(shù)列及其相關(guān)概念的必要性，在探究過程中，歸納概括出數(shù)列的特征、性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。教師遵循概念教學(xué)的規(guī)律，設(shè)計(jì)了“感知概念—形成概念—辨析概念—應(yīng)用概念”的教學(xué)過程。課例從引入斐波那契數(shù)列開始，到鼓勵(lì)學(xué)生課外探究斐波那契數(shù)列的通項(xiàng)公式結(jié)束，整個(gè)教學(xué)過程浸潤(rùn)數(shù)學(xué)文化，滲透數(shù)學(xué)思想，達(dá)到了提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目的。

（作者單位：江西省九江市第一中學(xué)）