基于球坐標(biāo)計算第一型曲面積分注記

潘 寧， 曲智林

(東北林業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，哈爾濱150040)

1 引 言

在高等數(shù)學(xué)或數(shù)學(xué)分析教材中，關(guān)于第一型曲面積分的計算都是在直角坐標(biāo)系下進(jìn)行的，例如設(shè)空間曲面S的方程為

z=z(x，y)， (x，y)∈σxy，

其中σxy為曲面S在xOy平面上的投影域，且z(x，y)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，見圖1.函數(shù)f(x，y，z)在曲面S上連續(xù)，則對面積的曲面積分(第一型曲面積分)可化為二重積分計算[1-2]

(1)

圖1 直角坐標(biāo)系下空間曲面

(i) 球面坐標(biāo)情況：

(ii) 柱面坐標(biāo)情況：

2 理論推導(dǎo)與實例分析

圖2 球(面)坐標(biāo)

點P的直角坐標(biāo)(x，y，z)與球坐標(biāo)(ρ，φ，θ)之間的關(guān)系為

若空間曲面S的球坐標(biāo)方程為ρ=ρ(φ，θ)(α1≤φ≤α2，β1≤θ≤β2)，其中ρ(φ，θ)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù).這時空間曲面S上點的直角坐標(biāo)與球坐標(biāo)的關(guān)系為

且有

即

解方程組得

又有

則有

所以第一型曲面積分將化為變量是φ，θ的二重積分

(2)

注 此方法本質(zhì)上是利用曲面的參數(shù)方程來計算第一類曲面積分，這方面已經(jīng)有結(jié)果[4]，只不過這里的參數(shù)有明顯的幾何意義：

圖3 球面

ρ=常數(shù)，以原點為心的球面；

φ=常數(shù)，以原點為頂點、z軸為軸的圓錐面；

θ=常數(shù)，過z軸的半平面.

解方法1 如圖3，利用公式(1)計算，將S分為

且投影區(qū)域均為σxy∶x2+y2≤R2，則

從例1中可以驗證了方法的可行性，同時說明有些第一型曲面積分的計算，用球坐標(biāo)計算由于直角坐標(biāo)的計算.

在計算中如果球坐標(biāo)系下曲面方程ρ=R，其中R為常數(shù)(即曲面是球面或球面的一部分)，有

說明球面的曲面面積微元為dS=R2sinφdφdθ，該內(nèi)容對于學(xué)生理解三維波動方程的球平均法[5]是有益的.

解取極軸為正z軸，則r，θ相當(dāng)于球坐標(biāo)中的ρ，φ.所以球坐標(biāo)系下旋轉(zhuǎn)面的方程是

圖4 對數(shù)螺線

如圖4.故

從例3中可以看出，有些第一型曲面積分利用球坐標(biāo)系計算是非常方便的.

3 結(jié) 論

對于第一型曲面積分的積分區(qū)域是一般的情況，利用直角坐標(biāo)和球坐標(biāo)之間的關(guān)系，得到第一型曲面積分轉(zhuǎn)化為二重積分的計算表達(dá)式，實例表明利用球坐標(biāo)系計算第一型曲面積分是可行的，豐富了第一型曲面積分的解法.

致謝作者非常感謝相關(guān)文獻(xiàn)對本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見.