積分因子的一種直接求解方法

韓偉棟， 沈建和

(福建師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息學(xué)院，福州350007)

1 引 言

可積性是微分方程和動力系統(tǒng)領(lǐng)域古老而重要的研究課題.微分方程的可積性，可用于揭示動力系統(tǒng)的軌道族及其分類，與物理的能量守恒、幾何的等能量曲面和曲線等課題緊密相關(guān).

積分因子和逆積分因子是可積性研究中的重要概念.歐拉曾試圖用積分因子完全解決一階常微分方程的求解問題[1].實(shí)際上，有關(guān)積分因子和逆積分因子的計(jì)算，至今仍是一個十分困難的問題.其原因眾所周知：積分因子和逆積分因子的控制方程為偏微分方程，難以求解.所以，有關(guān)積分因子和逆積分因子的計(jì)算，通常要么針對具有特殊結(jié)構(gòu)的微分方程，要么是求某些特殊形式的積分因子和逆積分因子.Cairó和Llibre[2]針對二維Lotka-Volterra(多項(xiàng)式)系統(tǒng)

研究了該系統(tǒng)的多項(xiàng)式首次積分和多項(xiàng)式逆積分因子的存在和計(jì)算問題.文獻(xiàn)[3]針對形式如下的擬多項(xiàng)式常微分方程

研究了逆積分因子存在的充要條件，這里an(x)和bn(x)為連續(xù)可微函數(shù).針對二維常微分方程組，文獻(xiàn)[4]考慮具有更高維數(shù)的常微分方程組，給出了用于確定積分因子的偏微分方程組.文獻(xiàn)[5-6]研究高階線性常系數(shù)微分方程，給出了基于積分因子的求解方法，并與通常的特征值解法比較.文獻(xiàn)[7]針對可分離變量的微分方程，分積分因子只與x或只與y有關(guān)兩種的情況，討論了積分因子的求解問題.

本文的目的是：通過有限次的變量替換并利用求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t，提出一種基于可分離變量微分方程的積分因子的直接求解方法.本方法的優(yōu)點(diǎn)是：積分因子的求解，有直接計(jì)算的流程.具體而言，對于一階常微分方程，只要其可以經(jīng)過有限次的變量變換化為可分離變量的微分方程，那么它的積分因子和通積分，均可直接計(jì)算求出.

本文結(jié)構(gòu)安排如下：第一節(jié)為引言；第二節(jié)給出可積性、積分因子、逆積分因子和變量分離微分方程等基本概念；第三節(jié)是本文的主要結(jié)論及其證明；最后一節(jié)是本文的結(jié)論.

2 基本概念

考慮一階常微分方程

A(x，y)dx-B(x，y)dy=0，

(1)

或與之等價的二維向量場

(2)

定義1[9]稱方程(1)、(2)為可積，如果存在區(qū)域D?×上的連續(xù)可微函數(shù)H(x，y)使得

DH(x，y)=Hx(x，y)B(x，y)+Hy(x，y)A(x，y)=0，

并稱H(x，y)≡C為方程(1)、(2)的首次積分(通積分).

定義2[9]考慮區(qū)域D?×上的連續(xù)可微函數(shù)U(x，y)和H(x，y)，使得

DH(x，y)=U(x，y)A(x，y)dx-U(x，y)B(x，y)dy，

則稱U(x，y)為積分因子，H(x，y)≡C為方程(1)、(2)的首次積分(通積分).

顯然，積分因子U(x，y)滿足如下偏微分方程：

(U(x，y)B(x，y))x=-(U(x，y)A(x，y))y，

即

U(Ay+Bx)+UyA+UxB=0.

定義3[8]考慮區(qū)域D?×上的連續(xù)可微函數(shù)V(x，y)(非零)和H(x，y)，使得

則稱V(x，y)為逆積分因子，H(x，y)≡C為方程(1)、(2)的首次積分(通積分).

顯然，逆積分因子V(x，y)滿足如下偏微分方程：

V-1(Bx+Ay)=VxB+VyA.

定義4[9]形如

(3)

這里，f(x)和φ(y)分別是x和y的連續(xù)函數(shù)，稱方程(3)為變量分離方程.

3 主要結(jié)果

定理1變量分離方程必然是恰當(dāng)方程.

定理2若一階常微分方程(1)可經(jīng)非線性變量替換u=T(x，y)，化為變量分離方程

f(x)dx+g(u)du=0，

那么，積分因子U(x，y)可由下式確定

(4)

進(jìn)而通積分同樣可得.

證乘上非零的積分因子U(x，y)后，一階常微分方程(1)變?yōu)?/p>

U(x，y)A(x，y)dx-U(x，y)B(x，y)dy=0，

(5)

此時，方程(5)已為恰當(dāng)方程.

設(shè)引入如下的變量替換

u=T(x，y)，

(6)

將方程(1)化為變量分離微分方程

f(x)dx+g(u)du=0.

(7)

記方程(5)和(7)的首次積分(通積分)分別為H(x，y)和H(x，u)，那么有

Hy(x，y)=-U(x，y)B(x，y)，Hu(x，u)=g(u).

進(jìn)一步地，利用求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t有

Hy(x，y)=Hu(x，u)uy|u=T(x，y)，

從而根據(jù)下式

可以求出積分因子U(x，y)，證畢.

注1 定理2的結(jié)果及其證明，均只涉及一次的變量替換；實(shí)際上，有限次的變量替換同樣可得.

例1設(shè)函數(shù)f(u)和g(u)連續(xù)可微且f(u)≠g(u)，證明方程

yf(xy)dx+xg(xy)dy=0

(8)

有積分因子

證由定理2，記積分因子為U(x，y)，那么

yU(x，y)f(xy)dx+xU(x，y)g(xy)dy=0

已為恰當(dāng)方程.

令u=T(x，y)=xy，在該變換之下，方程(8)可以化為

根據(jù)定理2的公式(4)知

即可得積分因子

例2當(dāng)xM+yN≠0時，求齊次微分方程M(x，y)dx+N(x，y)dy=0的積分因子U(x，y).

證記積分因子為U(x，y)，那么

U(x，y)M(x，y)dx+U(x，y)N(x，y)dy=0

已為恰當(dāng)方程.

另一方面，因?yàn)?/p>

令

則原方程可以化為

即

從而

根據(jù)定理2的公式(4)知

從而積分因子可直接計(jì)算得

例3如果M，N是m次齊次函數(shù)，則方程M(x，y)dx+N(x，y)dy=0的積分因子為

證記積分因子為U(x，y)，那么

U(x，y)M(x，y)dx+U(x，y)N(x，y)dy=0

已為恰當(dāng)方程.

令

從而，原方程化為

M(x，ux)dx+N(x，ux)[udx+xdu]=[xmM(1，u)+uxmN(1，u)]dx+xm+1N(1，u)du=0.

兩邊同乘上

則方程可進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為變量分離方程

因此

進(jìn)而如下的積分因子可得

例4求解方程M(x)N(y)dx+P(x)Q(y)dy=0的積分因子U(x，y).

解設(shè)積分因子為U(x，y)，那么

U(x，y)M(x)N(y)dx+U(x，y)P(x)Q(y)dy=0

已為恰當(dāng)方程.

另一方面，原方程可以化為

可得其通解

進(jìn)而

從而積分因子為

例5求解方程x2y3dx+x4y3dy=0的積分因子U(x，y).

解設(shè)積分因子為U(x，y)，那么

U(x，y)x2y3dx+U(x，y)x4y3dy=0

已為恰當(dāng)方程.

另一方面，令u=xy，從而原方程化為

此時，上述方程的通積分為

根據(jù)定理2的公式(4)知

從而積分因子為

4 結(jié) 論

(i) 本文針對一階常微分方程，只要其通過有限次的變量替換可化為變量分離微分方程，筆者的方法均可以直接計(jì)算出積分因子，進(jìn)而計(jì)算得到首次積分(通積分)；

(ii) 本文的方法，可以部分解決既跟x有關(guān)、又跟y有關(guān)的積分因子的求解問題(只要方程可通過有限次變量替換，化為變量分離微分方程)；

(iii) 最后指出的是：本文的方法具有可以直接計(jì)算的屬性，非大量文獻(xiàn)中的驗(yàn)證性的結(jié)果.

致謝作者非常感謝相關(guān)文獻(xiàn)對本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見.