關(guān)于負(fù)超幾何分布期望與方差算法的注記

王炳章

(煙臺(tái)大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，山東 煙臺(tái)264005)

1 引 言

超幾何分布是概率論中的一種典型的離散型分布，文獻(xiàn)中有較多的討論[1-3].本文將要研究的是教材中極少涉及的負(fù)超幾何分布.在無(wú)放回抽樣模型中，設(shè)n為產(chǎn)品總數(shù)而m為其中的次品數(shù)，則取到第r個(gè)次品時(shí)的抽取次數(shù)Xr的分布為

(1)

其中分布參數(shù)r;m，n都是正整數(shù)且滿足1≤r≤m

于是，在有放回抽樣中，取到第r個(gè)次品時(shí)的抽取次數(shù)即服從上述的帕斯卡分布(此時(shí)參數(shù)p=m/n).

文[6]中討論的分布是本文(1)式當(dāng)r=m時(shí)的特殊情況.

與帕斯卡分布類似，負(fù)超幾何隨機(jī)變量顯然有一種通常的逐段分解方法.文[7]中利用負(fù)超幾何隨機(jī)變量的一種特殊的伯努利變量(0-1變量)分解法，算出了負(fù)超幾何分布的期望與方差.但文[7]中給出的負(fù)超幾何分布的形式比較復(fù)雜，不便導(dǎo)出其多維聯(lián)合分布.本文首先討論多個(gè)負(fù)超幾何分布變量的聯(lián)合分布及若干推論，最后利用聯(lián)合分布的這些推論結(jié)合負(fù)超幾何隨機(jī)變量的通常的分解方法計(jì)算了負(fù)超幾何分布的期望和方差.

2 負(fù)超幾何變量的聯(lián)合分布及若干推論

設(shè)X1，X2，…，Xr分別為第1次、第2次、…、第r次取到次品時(shí)的抽取次數(shù).

定理1設(shè)1≤i

(2)

證利用文[8]中的不盡相異元素的排列模式，來(lái)確定m個(gè)次品的位置.

類似可以得到任意有限維的多維分布，從略.

推論1隨機(jī)向量(X1，X2，…，Xr)的聯(lián)合分布為

進(jìn)一步，令

Y1=X1，Y2=X2-X1，Y3=X3-X2，…，Yr=Xr-Xr-1，

(3)

從而得到負(fù)超幾何變量Xr的通常的逐段分解式:

Xr=Y1+Y2+…+Yr.

(4)

每一段的變量Yi(1≤i≤r)是等待一個(gè)新的次品出現(xiàn)所需要進(jìn)行的抽取次數(shù)，即是從第i-1個(gè)次品出現(xiàn)后到第i個(gè)次品出現(xiàn)所需要進(jìn)行的抽取次數(shù).

推論2隨機(jī)向量(Y1，Y2，…，Yr)的聯(lián)合分布為

證因?yàn)镻(Y1=l1，Y2=l2，…，Yr=lr)=P(X1=l1，X2=l1+l2，…，Xr=l1+l2+…+lr)， 由此根據(jù)推論1可看出欲證之式的正確性.

可以看出隨機(jī)向量(Y1，Y2，…，Yr)的多維分布形式上是對(duì)稱的.

推論3隨機(jī)向量(Y1，Y2，…，Yr)的每個(gè)分量Yi(1≤i≤r)的分布為

(5)

即Y1，Y2，…，Yr服從相同的負(fù)超幾何分布NH(1;m，n).

證利用引理1，根據(jù)求邊緣分布的公式得

類似地，取r=2可得如下推論4.

推論4隨機(jī)向量(Y1，Y2，…，Yr)的任何兩個(gè)分量Yi，Yj(1≤i，j≤r)的聯(lián)合分布為

(6)

3 負(fù)超幾何分布的期望與方差

定理2設(shè)隨機(jī)變量Y服從負(fù)超幾何分布NH(1;m，n)， 則

證由Y～NH(1;m，n)得

有

故

進(jìn)而有

E[(n+1-Y)(n+2-Y)]

即

于是有

因此

上式化簡(jiǎn)即可得到定理中D(Y)的表達(dá)式.定理2證畢.

結(jié)合推論3，對(duì)于i=1，2，…r， 有

(7)

定理3隨機(jī)向量(Y1，Y2，…，Yr)的任何兩個(gè)分量Yi，Yj(1≤i

(8)

證利用推論4中Yi，Yj的聯(lián)合分布，有

將(7)中第一式E(Yj)=E(Y)=(n+1)/(m+1)代入得

于是有

進(jìn)而可求得

定理4對(duì)于(1)式中服從負(fù)超幾何分布NH(r，m，n)的隨機(jī)變量Xr，其數(shù)學(xué)期望和方差分別為

(9)

證利用負(fù)超幾何變量Xr的分解式(4)，有

例1某工廠的7件產(chǎn)品中有4件廢品.作不放回抽樣，設(shè)X為抽到第3件廢品時(shí)的抽取次數(shù).求X的數(shù)學(xué)期望和方差.

解 法一由(1)式得X的概率分布如下

P(X=3)=8/70， P(X=4)=18/70， P(X=5)=24/70， P(X=6)=20/70，

故

EX=(3·8+4·18+5·24+6·20)/70=4.8，
DX=(32·8+42·18+52·24+62·20)/70-4.82=0.96.

法二由題意知X～NH(r，m，n)， 取n=7，m=4，r=3，代入(9)式得EX=4.8，D(X)=0.96. 直接計(jì)算的結(jié)果與本文理論結(jié)果完全一致.

注1 在總數(shù)為n而廢品數(shù)為m的箱中作不放回抽樣.抽取次數(shù)為r時(shí)抽到的廢品數(shù)服從超幾何分布H(r，m，n); 而取得r個(gè)廢品時(shí)的抽取次數(shù)服從負(fù)超幾何分布NH(r，m，n).

4 結(jié) 論

負(fù)超幾何分布是不放回抽樣模型中的一種等待時(shí)間分布，對(duì)其性質(zhì)和數(shù)字特征的研究理論上具有重要意義，同時(shí)在統(tǒng)計(jì)推斷中也具有一定的應(yīng)用價(jià)值.本文首先給出了負(fù)超幾何變量的聯(lián)合分布，然后結(jié)合負(fù)超幾何變量的一種自然的分解法，計(jì)算得出了負(fù)超幾何分布的數(shù)學(xué)期望和方差.在教學(xué)過(guò)程中，適當(dāng)?shù)拇┎孱愃七@樣的素材，對(duì)提高學(xué)生的創(chuàng)新能力有著積極的作用.

致謝感謝相關(guān)文獻(xiàn)對(duì)本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見(jiàn).