基于時間反演技術(shù)的電磁器件端口場與內(nèi)部場轉(zhuǎn)換方法*

陳傳升 王秉中 王任

(電子科技大學應用物理研究所, 成都 611731)

隨著電磁器件的集成化, 器件搭載的模塊、實現(xiàn)的功能愈發(fā)多樣.各模塊間的耦合難以忽略, 設計難度陡然增加, 傳統(tǒng)設計方法逐漸力不從心, 迫切需要尋找一種新的電磁綜合設計方法.本文利用時間反演電磁波的時空同步聚焦特性, 探索了將時間反演技術(shù)應用于器件設計的可能性.首先, 基于通用的器件逆設計流程, 利用時間反演技術(shù)、并矢格林函數(shù)及電磁學的基本原理, 提出了將器件端口場分布轉(zhuǎn)換為內(nèi)部場分布的方法, 并證明由端口期望場的時間反演場在空間某一位置獲得的連續(xù)等效源的共軛分布可在端口處產(chǎn)生與期望場接近的場分布.且在單點頻逆設計過程中, 只需知道端口電場或磁場的切向分量即可完成端口場與內(nèi)部場的轉(zhuǎn)換.同時, 借助格林函數(shù)的互易性對本文所提理論做適當變換后, 進行數(shù)值仿真驗證, 分析討論了不同初始信息條件下該方法的適用性.仿真結(jié)果與理論相符, 證明了理論的正確性, 為將時間反演技術(shù)應用于電磁器件的逆設計提供了可能.

1 引 言

隨著器件向多功能、高集成度發(fā)展, 各功能模塊之間耦合數(shù)量的增多導致傳統(tǒng)模塊設計方法的設計復雜度、設計難度陡然增加.尋找一種非模塊化的新型設計方法勢在必行, 正因如此逆設計問題在諸多領(lǐng)域都受到了國內(nèi)外學者的廣泛關(guān)注[1?3].在納米光學領(lǐng)域中有學者利用逆向方法設計了單入雙出的分頻器[4], 該分頻器與應用傳統(tǒng)半解析方法設計的器件相比, 在結(jié)構(gòu)上截然不同.通過將結(jié)構(gòu)的介電常數(shù)參數(shù)化至二維圖像, 結(jié)合拓撲優(yōu)化[5]通過梯度下降法求出局部最優(yōu)值, 再利用伴隨方法[6]完成設計.該課題組利用相同的方法也實現(xiàn)了一分三的分頻器[7], 證實了該方法的可移植性[8].拓撲優(yōu)化方法在微波波段同樣得到了應用并取得了不錯的效果[9?11].隨著拓撲優(yōu)化這類不依賴以及其他部分依賴先驗知識的設計方法的提出[12], 學者們在逆設計的道路上邁出了第一步.這些方法擺脫先驗知識約束的同時, 在優(yōu)化過程中卻不可避免地引入了大量迭代操作.為了提高效率, 學者們針對逆設計問題中應用的優(yōu)化算法也做出了諸多改進[13,14].誠然, 算法效率的提高是降低迭代次數(shù)的有效的手段, 但只能實現(xiàn)量的減少, 若能脫離迭代的桎梏, 不借助迭代優(yōu)化而實現(xiàn)器件設計, 那么設計效率就可以有質(zhì)的提高[2,15].

時間反演技術(shù), 是指對接收到的電磁波信號先進行時間反轉(zhuǎn)處理, 再發(fā)射出去, 形成波矢方向反轉(zhuǎn)的時間反演電磁波.時間反演電磁波并非時間倒流[16], 但是卻伴有很多有趣的現(xiàn)象[17], 其中波的自適應空時同步聚焦特性[18]更是被廣泛地應用于無線通信、微波探測等諸多方面[19?22].本文正是基于這種聚焦特性, 根據(jù)逆設計的流程結(jié)合并矢格林函數(shù)提出了將器件端口場分布轉(zhuǎn)換為器件內(nèi)部區(qū)域場分布的理論方法, 并給出證明.借助該理論的互易性, 分別在自由空間和類波導腔體中完成了數(shù)值仿真驗證, 仿真結(jié)果與理論結(jié)果較為一致.考慮到在器件設計過程中, 由已知參數(shù)信息往往不能得到完整的端口場分布, 又在已知部分端口場分布的條件完成了數(shù)值仿真, 證明了在某些條件下, 僅已知部分端口場分布并不影響該方法的應用.

2 理論分析

電磁器件的逆設計的流程可概括為以下三步:第一步, 由目標的端口參數(shù)出發(fā), 得到器件的端口場分布, 這一步是逆設計過程中初始條件的準備工作.例如已知端口S參數(shù), 可以根據(jù)端口導波結(jié)構(gòu)(矩形波導、微帶線、或其他)的特性確定其定義S參數(shù)的工作模式的場的空間分布, 并由S參數(shù)導出端面場時域/頻域分布, 進而推導出含有時空信息完整的端口場分布供逆設計過程使用.第二步:由器件的端口場分布推導、計算出器件內(nèi)部局域場分布, 這一步涉及逆設計的實質(zhì)是逆設計的核心步驟, 亦是本文的研究所在.第三步: 將器件內(nèi)部局域場分布轉(zhuǎn)換為器件內(nèi)部對應的結(jié)構(gòu)分布完成設計, 探尋場與結(jié)構(gòu)的關(guān)系, 這一步也是逆設計方法未來研究工作的重難點之一, 目前僅有部分文章對個別特例提出了場到結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)換方法, 且方法存在一定的局限性.例如, 文獻[3]在不考慮磁電耦合的情況下, 由源分布計算得到對應的電磁介質(zhì)參數(shù)分布, 并利用FDTD-GTSC 求解器[23]和3D EFIE求解器分別在二維、三維模型上完成了正向驗證,結(jié)果符合預期.在文末卻也指出, 這套方法雖然成功地將源分布轉(zhuǎn)化為電磁介質(zhì)參數(shù)分布, 但如何在物理上實現(xiàn)這種電磁介質(zhì)參數(shù)分布仍是亟待解決的問題.又如, 文獻[24]通過求解金屬小球陣列的等效偶極子矢量間的耦合方程組也定量地建立了場與結(jié)構(gòu)的關(guān)聯(lián).

本文主要針對上述流程的第二步提出解決方法, 即如何完成由端口場到內(nèi)部場之間的轉(zhuǎn)換.本文提出的理論表明在利用端口參數(shù)得到端口場分布后, 對端口場分布施加時間反演操作獲得端口反演源, 端口反演源在器件內(nèi)部形成一定的場分布,只要能實現(xiàn)該場分布的時間反演分布, 便可在端口處獲得期望的端口參數(shù).本節(jié)立足于等效原理和并矢格林函數(shù)從數(shù)理模型和理論證明兩個方面闡述該理論.本文所提方法與拓撲優(yōu)化等逆設計方法相比, 最大的優(yōu)勢在于避免了冗長的迭代優(yōu)化過程.有必要說明, 點頻情況下的時間反演操作等價于頻域的共軛操作, 最終解為穩(wěn)態(tài)場, 因此本方法可適用于器件逆設計中端口場與內(nèi)部場的轉(zhuǎn)換.

2.1 數(shù)理模型

考慮如圖1 所示的空間拓撲關(guān)系, 與逆設計的流程相對應.表面a作為設計域, 代表著器件內(nèi)部某一部分的場分布, 對應器件內(nèi)部的具體結(jié)構(gòu), 是待求解量; 表面b作為目標域, 代表著設計過程中器件的端口場分布, 在器件逆設計過程中這是是已知的, 其中上角標的正負符號表示緊貼該表面的一層虛擬平面.

圖1 空間拓撲關(guān)系Fig.1.Topological relation of space.

若在表面a上存在著連續(xù)的面電流、磁流源Ja,Ma, 根據(jù)電磁場格林函數(shù)和電磁場的疊加原理, 可將Ja,Ma在表面b上形成的場可以表示為(1)式, 簡寫為(2)式:

其中GPQ(r,r′) 為并矢格林函數(shù), 表示位于r′處的Q源與位于r處的P場之間的聯(lián)系;〈〉表示兩個函數(shù)在公共區(qū)域上的乘積, 用“, ”隔開, 寫作“;”表示乘積的形式為內(nèi)積.

器件設計的最終目的是在設計域a中合理地排布結(jié)構(gòu), 使其等效電流源、磁流源在表面b上形成的場符合特定需求.顯然, 這是一個逆問題, 即尋找一組源分布使其在b面處產(chǎn)生的場最大程度上與已知的期望場相同; 即求解使得代價函數(shù)式 最 小,ρa,b表示a,b兩組數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù).

2.2 理論證明

本小節(jié)借助并矢格林函數(shù)和等效原理, 理論證明了利用端口期望場的時間反演場可在空間某一位置獲得的連續(xù)等效源, 該連續(xù)等效源可在端口處產(chǎn)生與期望場接近的場分布的結(jié)論, 一定程度上說明了將時間反演理論用于器件設計中是可行的.

在目標域b待實現(xiàn)特定場分布是已知的, 其時間反演場在a–處產(chǎn)生場借助等效原理將其看作由位于表面b處的等效源在a–處產(chǎn)生的場, 故寫作(6)式, 其時間反演場寫作(8)式,其中由等效原理寫作(7)式.(8)式中,已知, 故可 求,再利用等效原理得(9)式即為所求.

(9)式的意義在于通過引入格林函數(shù), 利用取切向分量和頻域共軛的操作, 由已知場可求解出一組位于表面a處源分布且該源分布的求解只與已知場和a,b平面之間的格林函數(shù)有關(guān).不難證明,這組位于a處的源分布, 在b處產(chǎn)生的場與期望場一致.理想情況下,代價函數(shù)為0, 代價函數(shù)為0 的物理意義是由端口期望場的時間反演場可在器件內(nèi)部形成的場構(gòu)建出的連續(xù)等效源, 該連續(xù)等效源的時間反演場在端口產(chǎn)生的場與端口期望場是一致的.由對偶原理式(10)易證, 其中c1,c2為常數(shù), 代價函數(shù)的理論值為0.

3 數(shù)值仿真流程

圖2 用于數(shù)值驗證的問題轉(zhuǎn)化示意圖 (a)數(shù)理模型對應的數(shù)值驗證模型; (b)利用互易原理轉(zhuǎn)換后的數(shù)值驗證模型Fig.2.A problem transformation diagram for numerical validation: (a) Numerical verification model corresponding to mathematical model; (b) numerical verification model converted by reciprocity principle.

根據(jù)格林函數(shù)的互易性, 將上一節(jié)的理論推導中涉及的上角標a,b對換推導仍然成立.事實上,上角標a,b的調(diào)換, 可視作已知源和未知源的調(diào)換.如圖2 所示, 第二節(jié)中理論對應的數(shù)值驗證模型為圖2(a), 借助互易原理轉(zhuǎn)換為圖2(b)所示的情形, 即原有的已知源視作未知源, 原有的未知源視作已知源.數(shù)值驗證的目的是驗證本文所提出理論的正確性, 為了得到更為直觀的觀察效果, 這里選用圖2(b)所示的情況進行驗證.即對本文所提理論的數(shù)值驗證問題轉(zhuǎn)化為當表面a處為已知源,驗證up, down 兩個表面的反演源在表面a處生成的重建源與已知的表面a處的初始源的一致性.根據(jù)上一節(jié)的理論推導, up, down 兩個表面的反演源經(jīng)激勵會在表面a處生成與初始源趨勢一致的重建源, 兩者的模值存在一定的比例關(guān)系, 代價函數(shù)應趨近0.

數(shù)值仿真具體可分為以下三個步驟:

1) 表面a上已知初始源的獲得;

2) 第一次仿真, 初始源激勵, 由up, down 雙平面記錄場并獲得反演源;

3) 第二次仿真, 由不同反演源激勵, 比較表面a處的重建源與已知初始源的異同, 并計算其代價函數(shù).

借助達索公司的商用電磁仿真軟件CST 微波仿真實驗室和python 完成數(shù)值仿真及后續(xù)的數(shù)據(jù)分析處理.數(shù)值仿真實驗的示意圖所圖3 所示, 對于圖3(a), 自由空間中存在著up, down 和表面a三個有限大平面, 其平面方程為(11)式, D 為該平面方程對應的定義域,λ為真空中10 GHz 電磁波所對應的波長; 圖3(b)與圖3(a)尺寸相同, 唯一的區(qū)別是圖(b)四周是與up, down 兩個平面嚙合的理想電導體(perfect electric conductor, PEC)邊界.各平面均設有場監(jiān)視器用以記錄場分布, 各平面的場分布記為其中field ∈{Ex,Ey,Ez,Hx,Hy,Hz},surface ∈{a,up,down}.

定義一種變換, 記作Tm,n(x) , 該操作表示將連續(xù)量x(x∈R2)離散采樣為m×n的矩陣, 通過這一變換, 將理論推導中的連續(xù)源轉(zhuǎn)換為具體的矩陣, 象征離散源, 進而方便后續(xù)數(shù)值仿真處理與計算, 例如連續(xù)的面電流源離散采樣如(12)式所示.

圖3 數(shù)值仿真實驗示意圖 (a)自由空間驗證示意圖;(b)四周為理想電導體邊界的驗證示意圖Fig.3.Schematic diagram of numerical simulation experiment: (a) Schematic diagram of free space verification;(b) schematic diagram of verification of PEC boundaries around.

3.1 數(shù)值仿真初始源的獲得

的定義域為 Da, 而p(x,y) 的定義域為 Dp,又因為 Dp→Da之間為單射, 則有K(p(x,y))→或K表示某種映射關(guān)系.在數(shù)值仿真中, 設置了頻率均為10 GHz 點頻的兩種初始源, 第一種源, 其電場幅度等于1, 電場相位分布為peaks函數(shù); 第二種源的電場相位同相分布, 幅度分布為peaks函數(shù),兩種源分別記為簡記為如(15)式所示.需要說明的是, 在仿真過程中, 采用作為第一次數(shù)值仿真中使用的激勵源.

3.2 第一次仿真, 獲得端口場反演源

3.3 不同反演源激勵情況下, 重建源與初始源的異同

為了量化重建源與初始源的異同, 選取合適的代價函數(shù)是很有必要的.

選取相關(guān)距離作為代價函數(shù)的原因是, 由(10)式可知重建場與初始場只存在模值上的縮小, 其變化趨勢應當一致, 而相關(guān)距離恰好是研究變量之間線性相關(guān)程度的量.因此, 將(12)式代入(16)式得(17)式, 系離散情況下衡量重建場與期望場之間的代價函數(shù), 用以衡量重建場與原場的相似程度.在自由空間、四周為理想電導體邊界兩種條件下對兩種不同的初始源, 采用多種不同的信息進行重建, 并計算其代價函數(shù).源的選用及計算結(jié)果總結(jié)在表1 中, 縮略詞F P/A CF (free space phase/amplitude rebuild cost function), 意為在圖3(a)所示的自由空間條件下, 重建源與初始源或代價函數(shù)的計算結(jié)果; P P/A CF(space surrounded by PEC phase/amplitude rebuild cost function)則表示在圖3(b) 所示的四周為理想電導體邊界條件下, 重建源和初始源的代價函數(shù)計算結(jié)果.在3.2 節(jié)中雖然獲得了反演場的所有場信息, 但在重建過程中卻并非要使用所有的反演源信息, 既可以利用兩個反演源的部分信息,也可以選用其中一個反演源的全部信息, 甚至只利用部分反演源的部分信息.對和使用重建時, 反演源的選用有以下幾種可能, 其代價函數(shù)計算結(jié)果總結(jié)在表1 中, 代價函數(shù)曲線繪制在圖4 中.

表1 數(shù)值仿真結(jié)果表Table 1.Table of numerical simulation results.

圖4 重建源代價函數(shù)計算結(jié)果Fig.4.The calculation results of the cost function of the rebuild source.

3.4 重建結(jié)果及分析

觀察表1 及圖4 不難發(fā)現(xiàn), 不論使用何種信息, 最終獲得的重建源與初始源都十分接近的, 且在相同空間條件下, 對相位源的重建結(jié)果總好于幅度源.使用兩個平面的全部場信息能獲得較好的重建效果, 與本文的理論分析一致; 使用兩個平面的部分場信息仍能實現(xiàn)較好的重建效果, 是因為根據(jù)穩(wěn)態(tài)電磁場中的唯一性原理“在閉合面S包圍的區(qū)域V中, 當邊界面S上的電場強度的切向分量E或者磁場強度H給定時, 體積V中任一點的電磁場由Maxwell 方程唯一的確定.”序號為3,6, 9 的仿真實驗的成功重建說明了這一點.對于圖3(b)所示的條件, 根據(jù)唯一性定理只需要知道的切向分量即可唯一地確定surfacea的場分布, 因此field={Ex,Ey}.對于圖3(a)所示的空間示意圖, 其四周為開放空間, 根據(jù)唯一性原理若僅知道端口平面up, down 的切向分量在理論上是不能完整重建初始源的, 但數(shù)值仿真實驗仍然實現(xiàn)了較好的重建效果, 分析原因可能是因為重建場的極化較為單一.

考慮仿真實驗的結(jié)果較多, 因而只選取部分結(jié)果作展示.對不同的仿真實驗情況, 在實驗序號為1—6 的實驗選取一個結(jié)果, 在實驗序號為7—9 的實驗選取一個結(jié)果, 選取原則為選取重建結(jié)果代價函數(shù)最大的仿真實驗代號作為展示.代價函數(shù)越大代表其復原效果越差, 但即使是最差的復原效果仍得到了較完好的重建效果, 充分證明了理論的正確性.

圖6 展示了在圖3(a)所示自由空間條件下對圖5 所示初始源選用不同反演信息激勵時得到的重建源幅相分布,其重建結(jié)果與圖5 十分接近.圖6(a)和圖6(b)是對的重建結(jié)果展示圖, 對應仿真實驗序號為5, 8, 代表了仿真實驗中獲得的最差重建結(jié)果, 其中主圖為重建源的相位分布, 左上角為幅度分布.圖6(c)和圖6(d)是對的重建結(jié)果, 對應仿真實驗序號為2, 8, 其中主圖為重建源的幅度分布, 左上角為相位分布.圖6(d)的重建幅度約為圖6(c)的兩倍是因為使用兩個反演源激勵時其輸入功率是單個反演源激勵的2 倍, 除幅度差異外, 圖6(c)和圖6(d)兩圖的趨勢一致且其重建的相位分布均為同向分布.不難發(fā)現(xiàn), 不論是選何種反演源信息重建何種源, 最終獲得的重建源與初始源的幅相分布都是十分接近的, 其代價函數(shù)計算結(jié)果均小于0.1, 代表著重建源與初始源十分接近.

圖5 初始源幅相分布圖 (a) E x 相位分布為特定函數(shù); (b) E x 幅度分布為特定函數(shù)Fig.5.The amplitude-phase distribution of the original source: (a) The phase distribution is a special function; (b) the amplitude distribution is a special function.

圖6 自由空間條件下重建源的幅相分布 (a)序號為5 的重建的幅相分布; (b) 序號為8 的重建 的幅相分布; (c)序號為2 的重建 的幅相分布; (d)序號為8 的重建 的幅相分布Fig.6.The amplitude-phase distribution of the reconstructed source in free space: (a) The amplitude-phase distribution of the reconstructed with experimental number 5; (b) the amplitude-phase distribution of the reconstructed with experimental number 8; (c) the amplitude-phase distribution of the reconstructed with experimental number 2; (d) the amplitude-phase distribution of the reconstructed with experimental number 8.

圖7 四周為理想電導體條件下重建源的幅相分布 (a)序號為4 的重建 的幅相分布; (b) 序號為7的重建的幅相分布; (c)序號為3 的重建 的幅相分布; (d)序號為9 的重建 的幅相分布Fig.7.The amplitude-phase distribution of the reconstructed source in PEC space: (a) The amplitude-phase distribution of the reconstructed with experimental number 4; (b) the amplitude-phase distribution of the reconstructed with experimental number 7; (c) the amplitude-phase distribution of the reconstructed with experimental number 3; (d) the amplitude-phase distribution of the reconstructed with experimental number 9.

圖7 與圖6 的不同之處僅在于其所處的仿真實驗環(huán)境為圖5(b)所示的四周為理想電導體條件的環(huán)境, 重建結(jié)果展示的選取原則與圖6 一致.圖7(a)和圖7(b)是對的重建結(jié)果展示圖, 對應仿真實驗序號4, 7; 圖7(c)和圖7(d)是對的重建結(jié)果, 對應仿真實驗序號為3, 9.與圖5 所示的初始源對比不難發(fā)現(xiàn), 圖7重建結(jié)果雖然與圖5 較為相似, 但多出了許多規(guī)律性斑點, 且斑點間距接近一個波長.分析原因可能是反演源的激勵不僅形成了重建源, 同時也激勵出腔體自身的本征模式.事實上, 仿真實驗序號為1, 4, 7 的重建源斑點分布較其他仿真實驗代號更為明顯, 分析原因可能是數(shù)值仿真中存在一定的仿真誤差, 而磁場反演源的誤差引入恰好激勵出了更強的腔體本征模式.在圖7 中同樣可以觀察到圖7(d)圖的重建幅度約為圖7(c)的兩倍, 與圖6(c)和圖6(d)兩圖存在差異的原因相同.

4 結(jié) 論

本文借助時間反演技術(shù)提出了將器件端口場分布轉(zhuǎn)換為器件內(nèi)部區(qū)域場分布的理論方法.利用理論的互易性實施了系列數(shù)值仿真實驗, 仿真實驗結(jié)果與理論相符合, 說明了本文提出理論的正確性.即利用端口期望場的時間反演場可在空間某一位置獲得連續(xù)等效源, 該連續(xù)等效源的共軛分布可在端口處產(chǎn)生與期望場接近的場分布.從唯一性原理出發(fā), 在點頻逆設計由端口參數(shù)得到端口場分布的過程中, 不需獲得全部的端口場分布, 只需知道端口的電場或磁場的切向分量即可.此外, 本方法應用于四周為理想電導體條件的腔體時應當充分考慮腔體本征模式的影響, 如何解決腔體本征模式帶來的影響, 也是后續(xù)亟待解決的問題之一.