“一”以貫之 穿珠成鏈*
——蘇教版教材內(nèi)容整體設(shè)計(jì)探微

李 青

(江蘇省宿遷中學(xué)223800)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》指出“教師要以數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，明晰數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)在內(nèi)容體系形成中表現(xiàn)出的連續(xù)性和階段性，引導(dǎo)學(xué)生從整體上把握課程”，要求教師避免知識(shí)碎片化，實(shí)施整體教學(xué)、單元教學(xué)[1].如何進(jìn)行整體教學(xué)，目前各地都在積極探索.實(shí)際上，整體教學(xué)是一種教學(xué)理念與追求，沒(méi)有統(tǒng)一模式，更不能簡(jiǎn)單地變成知識(shí)的集中講授，整體教學(xué)應(yīng)根據(jù)具體數(shù)學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn)，尋求內(nèi)在的“一”，一以貫之，實(shí)現(xiàn)相應(yīng)知識(shí)的整體貫通.蘇教版高中數(shù)學(xué)教材為我們提供了很好的示范，在許多內(nèi)容處理時(shí)采取整體把握，便于教師實(shí)施整體教學(xué).本文以蘇教版高中數(shù)學(xué)教材部分內(nèi)容為例，對(duì)整體教學(xué)作一探討.

1 一個(gè)情境：貫通數(shù)學(xué)生成過(guò)程

數(shù)學(xué)知識(shí)的生成過(guò)程，包括數(shù)學(xué)概念形成，數(shù)學(xué)規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)性質(zhì)的提煉，數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用等.雖然數(shù)學(xué)生成過(guò)程是整體的，應(yīng)該讓學(xué)生整體了解某數(shù)學(xué)內(nèi)容的生成過(guò)程，但在具體教學(xué)時(shí)，由于課時(shí)分解，必然會(huì)將這一整體過(guò)程分解成若干“碎片”，借助一個(gè)合適的情境使這些“碎片”有機(jī)聯(lián)成一個(gè)整體，使學(xué)生形成完整的建立數(shù)學(xué)的過(guò)程.

例1關(guān)于函數(shù)概念的建立過(guò)程，教材三次使用“溫度曲線”，分別用于建立函數(shù)概念，探索函數(shù)性質(zhì)，應(yīng)用函數(shù)解決問(wèn)題，通過(guò)“溫度曲線圖”的三次觀察，不斷地建立函數(shù)知識(shí)，使學(xué)生學(xué)會(huì)建立數(shù)學(xué)的一般方法.

在蘇教版必修1“函數(shù)的概念和圖象”這一節(jié)，教材第一次出現(xiàn)溫度曲線，旨在讓學(xué)生通過(guò)具體實(shí)例，體會(huì)兩個(gè)非空數(shù)集之間的一種特殊的對(duì)應(yīng)關(guān)系(單值對(duì)應(yīng))，構(gòu)建函數(shù)的一般概念，體會(huì)函數(shù)是描述變量之間依賴(lài)關(guān)系的重要模型，教材能夠從實(shí)際背景方面，幫助學(xué)生理解函數(shù)概念的本質(zhì)，更好地培養(yǎng)學(xué)生用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)、函數(shù)的眼光去認(rèn)識(shí)世界的思維習(xí)慣.在“函數(shù)單調(diào)性”這一節(jié)，教材第二次出現(xiàn)溫度曲線，通過(guò)觀察這個(gè)氣溫變化圖，說(shuō)出氣溫在哪些時(shí)段內(nèi)是逐漸升高的，在哪些時(shí)段內(nèi)是逐漸下降的，提出問(wèn)題“怎樣用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻畫(huà)上述某一時(shí)段內(nèi)，隨著時(shí)間的增加氣溫逐漸升高？”旨在通過(guò)生活實(shí)例，引出函數(shù)單調(diào)性的概念，感受函數(shù)單調(diào)性的意義，培養(yǎng)學(xué)生圖形語(yǔ)言與代數(shù)語(yǔ)言相互轉(zhuǎn)化的能力.蘇教版高中數(shù)學(xué)教材必修1的第8章“函數(shù)與數(shù)學(xué)模型”，第三次出現(xiàn)溫度曲線，通過(guò)提出問(wèn)題：“怎樣來(lái)研究氣溫的變化狀況呢？”來(lái)引出3種研究方法.通過(guò)這個(gè)實(shí)例，讓學(xué)生理解函數(shù)模型是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的重要數(shù)學(xué)語(yǔ)言和工具，在實(shí)際情境中，會(huì)選擇合適的函數(shù)類(lèi)型刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的變化規(guī)律.

關(guān)于情境問(wèn)題，著名數(shù)學(xué)教育家弗賴(lài)登塔爾認(rèn)為，周?chē)氖澜鐟?yīng)該是學(xué)生探索的源泉，而數(shù)學(xué)課本從結(jié)構(gòu)上應(yīng)當(dāng)從與學(xué)生生活體驗(yàn)密切相關(guān)的問(wèn)題開(kāi)始，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)概念和解決實(shí)際問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)化[2].蘇教版高中數(shù)學(xué)教材很好地做到了這一點(diǎn)，教材充分利用學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律、已有的生活經(jīng)驗(yàn)，三次使用跟學(xué)生生活體驗(yàn)密切相關(guān)的“溫度曲線”，通過(guò)問(wèn)題情境，分別建立函數(shù)概念，探索函數(shù)性質(zhì)，應(yīng)用函數(shù)模型來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題.同時(shí)教材能夠兼顧當(dāng)下的內(nèi)容與以前及以后的知識(shí)的聯(lián)系，能夠站在更高的角度，通盤(pán)考慮，把教學(xué)內(nèi)容做了一個(gè)全新整合，前兩次使用溫度曲線，在必修1的第5章；第三次使用溫度曲線，在必修1的第8章，一個(gè)溫度曲線的情境貫通了函數(shù)知識(shí)的生成過(guò)程.從“大處”著眼，把每個(gè)章節(jié)的內(nèi)容作為一個(gè)整體內(nèi)容進(jìn)行一個(gè)大框架的解讀，再在大框架下，建立一個(gè)系統(tǒng)的授課內(nèi)容，這樣的設(shè)計(jì)體現(xiàn)了蘇教版教材的大單元教學(xué)設(shè)計(jì)理念.

2 一個(gè)問(wèn)題：貫通數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)思想方法促進(jìn)數(shù)學(xué)的發(fā)展，讓學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思想、方法解決問(wèn)題是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)之一，然而實(shí)際教學(xué)中，往往出現(xiàn)數(shù)學(xué)思想標(biāo)簽化，或者割裂化的現(xiàn)象.借助核心問(wèn)題在一個(gè)系列知識(shí)過(guò)程中貫穿某一思想方法，使學(xué)生真正感悟、理解并會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法解決問(wèn)題，使整個(gè)內(nèi)容成為一個(gè)有機(jī)整體.

例2解析幾何基本思想方法為：幾何問(wèn)題代數(shù)化，這個(gè)思想方法對(duì)于近現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展有著非凡的意義，要使學(xué)生真正理解并會(huì)運(yùn)用這種思想方法，就需要多次運(yùn)用恰當(dāng)載體，圍繞相同的問(wèn)題，來(lái)運(yùn)用這種思想方法.

蘇教版高中數(shù)學(xué)教材在研究直線時(shí)，提出“如何建立直線的方程？”“如何利用直線的方程研究直線的性質(zhì)？”類(lèi)似的問(wèn)題在研究圓、橢圓、雙曲線、拋物線的時(shí)候，多次出現(xiàn).以下是教材中三個(gè)片段.

片段1：

直線是最常見(jiàn)的幾何圖形，直線也可以看成滿(mǎn)足某種條件的點(diǎn)的集合.在平面直角坐標(biāo)系中，當(dāng)點(diǎn)用坐標(biāo)(x，y)表示后，直線便可用一個(gè)方程F(x,y)=0表示，進(jìn)而通過(guò)對(duì)方程的研究來(lái)研究直線.

●如何建立直線的方程？

●如何利用直線的方程研究直線的性質(zhì)？

片段2：

圓是常見(jiàn)的幾何圖形，圓也可以看成滿(mǎn)足某種條件的點(diǎn)的集合.在平面直角坐標(biāo)系中，當(dāng)點(diǎn)用坐標(biāo)(x，y)表示后，圓便可用一個(gè)方程F(x,y)=0表示，進(jìn)而通過(guò)對(duì)方程的研究來(lái)研究圓.

●如何建立圓的方程？

●如何利用圓的方程研究圓的性質(zhì)？

片段3：

對(duì)于某一圓錐曲線，例如橢圓，也可以看成滿(mǎn)足某種條件的點(diǎn)的集合.在平面直角坐標(biāo)系中，當(dāng)點(diǎn)用坐標(biāo)(x，y)表示后，橢圓便可用一個(gè)方程F(x,y)=0表示，進(jìn)而通過(guò)對(duì)方程的研究來(lái)研究橢圓.

●如何建立橢圓的方程？

●如何利用橢圓的方程研究橢圓的性質(zhì)？

……

解析幾何是17世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展的重大成果之一，高中教材解析幾何部分有坐標(biāo)系、直線、圓、圓錐曲線等章節(jié)內(nèi)容，如何利用好這些載體，設(shè)計(jì)恰當(dāng)?shù)膯?wèn)題，更好地體現(xiàn)坐標(biāo)法、數(shù)形結(jié)合等基本思想，是解析幾何教材教學(xué)設(shè)計(jì)的重點(diǎn)關(guān)注問(wèn)題.直線作為解析幾何的開(kāi)篇之作，雖然內(nèi)容較為基礎(chǔ)，但學(xué)習(xí)方法十分重要.基本學(xué)情是學(xué)生已經(jīng)對(duì)直線相關(guān)性質(zhì)有了初步的理解，本節(jié)課要重新以坐標(biāo)化的方式來(lái)研究直線的相關(guān)性質(zhì)，初步向?qū)W生滲透解析幾何的基本思想和基本方法.蘇教版新教材在直線這一章開(kāi)始部分提出，直線也可以看成滿(mǎn)足某種條件的點(diǎn)的集合，在平面直角坐標(biāo)系中，當(dāng)點(diǎn)用坐標(biāo)(x,y)表示后，直線便可用一個(gè)方程F(x,y)=0表示，進(jìn)而通過(guò)對(duì)方程的研究來(lái)研究直線,接著提出兩個(gè)問(wèn)題：如何建立直線的方程？如何利用直線的方程研究直線的性質(zhì)？通過(guò)問(wèn)題情境，從集合與對(duì)應(yīng)的角度建構(gòu)起平面上的直線與二元一次方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系，借助于數(shù)的精確性、可操作性來(lái)闡明直線的某些屬性，實(shí)現(xiàn)了用代數(shù)的量化運(yùn)算方法來(lái)研究幾何圖形的性質(zhì).從整體上，直線方程初步體現(xiàn)了解析幾何的基本思想方法：用代數(shù)的方法研究幾何問(wèn)題，這為以后學(xué)習(xí)圓、圓錐曲線奠定了基礎(chǔ)，起到了啟下的作用.

在研究圓、圓錐曲線時(shí)，類(lèi)比直線的研究方法，提出問(wèn)題如何建立圓(橢圓、雙曲線、拋物線)的方程？如何通過(guò)方程來(lái)研究圓(橢圓、雙曲線、拋物線)的性質(zhì)？由于學(xué)生已經(jīng)掌握了如何研究直線的性質(zhì)和圓的性質(zhì)的方法，因此在學(xué)習(xí)圓錐曲線時(shí)，學(xué)生可以類(lèi)比，通過(guò)對(duì)圓錐曲線方程的討論，探索出三種圓錐曲線的相關(guān)性質(zhì).三種圓錐曲線的幾何性質(zhì)可以通過(guò)代數(shù)方式得到，這大大降低了研究曲線性質(zhì)的難度.

解析幾何內(nèi)容豐富多樣，彼此之間存在著內(nèi)在的聯(lián)系，呈現(xiàn)出很強(qiáng)的層次性和系統(tǒng)性.古人云：“授之以魚(yú)，不如授之以漁”，這句至理名言也道出了數(shù)學(xué)思想方法的重要性.數(shù)學(xué)思想是一種隱性的數(shù)學(xué)知識(shí)，要在反復(fù)的體驗(yàn)和實(shí)踐中才能使個(gè)體逐漸認(rèn)識(shí)、理解、內(nèi)化為個(gè)體認(rèn)知結(jié)構(gòu)[2].蘇教版高中數(shù)學(xué)教材解析幾何部分，能夠通過(guò)一個(gè)核心問(wèn)題，在一個(gè)系列知識(shí)學(xué)習(xí)過(guò)程中貫穿著解析幾何的基本思想方法，使學(xué)生真正感悟到數(shù)學(xué)思想是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)和方法本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，數(shù)形結(jié)合是研究曲線與方程的最重要的思想方法，它既能分析其代數(shù)意義，又能揭示其幾何意義，它將數(shù)量關(guān)系與空間形式巧妙結(jié)合在一起.一個(gè)核心問(wèn)題，貫通數(shù)學(xué)思想方法，這樣的問(wèn)題設(shè)置使整個(gè)內(nèi)容成為一個(gè)有機(jī)體.

3 一個(gè)模型：貫通數(shù)學(xué)研究?jī)?nèi)容

在設(shè)計(jì)單元內(nèi)容時(shí)，既要考慮知識(shí)的邏輯過(guò)程，還要考慮知識(shí)的歷史過(guò)程以及學(xué)生的認(rèn)知過(guò)程，只有有機(jī)地融合這些過(guò)程，才能使學(xué)生清晰地理解整個(gè)研究?jī)?nèi)容，這時(shí)候，借助一個(gè)合理的模型作為載體，從多維度來(lái)不斷提出研究的內(nèi)容，使之成為一個(gè)有機(jī)體.

例3立體幾何是研究三維空間中各種數(shù)學(xué)對(duì)象的建立、對(duì)象之間的關(guān)系，最有代表性的簡(jiǎn)單模型是長(zhǎng)方體，借助長(zhǎng)方體，可以建立立體幾何的研究?jī)?nèi)容，包括空間幾何體的概念.空間點(diǎn)線面之間的位置關(guān)系等.

為了研究立體圖形，蘇教版教材必修2立體幾何初步這一章，先從最簡(jiǎn)單的例子開(kāi)始，抬頭看一下我們的教室，把教室抽象成一個(gè)長(zhǎng)方體.在必修2立體幾何這一章，先后八次出現(xiàn)長(zhǎng)方體模型.

長(zhǎng)方體模型是發(fā)展空間想像能力的基本模型，通過(guò)對(duì)長(zhǎng)方體的整體觀察，讓學(xué)生直觀認(rèn)識(shí)長(zhǎng)方體的結(jié)構(gòu)特征，理解空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系.教材以“觀察這個(gè)熟悉的模型，有哪些基本的元素，基本元素之間具體有什么關(guān)系？”開(kāi)啟立體幾何這一章的研究之旅.

在研究必修2立體幾何初步第二節(jié) “點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系”時(shí)，教材借助長(zhǎng)方體模型，并以長(zhǎng)方體為主線，使學(xué)生在直觀感知的基礎(chǔ)上認(rèn)識(shí)點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系.教材通過(guò)大量的觀察、實(shí)驗(yàn)、操作和思辨論證，使學(xué)生逐步理解直線與平面平行、直線與平面垂直、平面與平面平行、平面與平面垂直的判定和性質(zhì).教材重視展現(xiàn)知識(shí)發(fā)生和發(fā)展的過(guò)程，如從觀察長(zhǎng)方體的棱、對(duì)角線與面的各種位置關(guān)系中，抽象出直線與平面的三種位置關(guān)系，接著又從兩條平行的棱中選一條，觀察它通過(guò)形成平面的過(guò)程中，直觀感知直線和平面平行的判定方法.再通過(guò)對(duì)直線與平面平行定義的深入分析和探索，發(fā)現(xiàn)并論證了直線與平面平行的性質(zhì)定理，這樣既達(dá)到了教學(xué)目的，又降低了學(xué)生學(xué)習(xí)立體幾何的難度，同時(shí)也幫助學(xué)生逐步形成空間想像能力和推理論證能力[3].教材多次使用學(xué)生熟悉的長(zhǎng)方體模型，既符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，也培養(yǎng)了學(xué)生對(duì)幾何學(xué)習(xí)的興趣，增進(jìn)學(xué)生對(duì)幾何本質(zhì)的理解.

立體幾何是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容，它是研究三維空間中物體的形狀、大小和位置關(guān)系的一門(mén)數(shù)學(xué)學(xué)科，而三維空間是人們生存發(fā)展的現(xiàn)實(shí)空間，所以，學(xué)習(xí)立體幾何對(duì)我們認(rèn)識(shí)、理解現(xiàn)實(shí)世界，更好地生存與發(fā)展具有重要的意義.蘇教版高中數(shù)學(xué)教材立體幾何整個(gè)內(nèi)容設(shè)計(jì)能夠遵循從整體到局部、從具體到抽象的原則，多次借助實(shí)物模型長(zhǎng)方體，從多維度來(lái)不斷提出研究的內(nèi)容，通過(guò)歸納和分析，讓學(xué)生進(jìn)一步研究認(rèn)識(shí)和理解空間點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系；通過(guò)引導(dǎo)和探究，讓學(xué)生多角度、多層次地揭示空間圖形的本質(zhì).教材多次利用學(xué)生熟悉的長(zhǎng)方體模型，分別研究線線關(guān)系、線面關(guān)系、面面關(guān)系，一個(gè)長(zhǎng)方體模型，貫通立體幾何的研究?jī)?nèi)容.

蘇教版高中數(shù)學(xué)教材為我們提供了很好的示范，在教學(xué)中，作為一線教師，數(shù)學(xué)教學(xué)要以學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，要重視知識(shí)的連續(xù)性，從“小單元”中釋放出來(lái)，以更大的視野、更高的層面，實(shí)施整體教學(xué)、單元教學(xué)；要以“新課標(biāo)”精神為指導(dǎo)，根據(jù)具體數(shù)學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn)，用活用好教材，尋求知識(shí)之間的內(nèi)在的聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的整體貫通.