在一般觀念引領(lǐng)下探索空間幾何圖形的性質(zhì)(續(xù))
——“立體幾何初步”內(nèi)容分析與教學(xué)思考

章建躍

(人民教育出版社 課程教材研究所 100081)

3.3 空間直線、平面的平行關(guān)系

1.空間中直線與直線的平行

平面幾何中已經(jīng)研究過平行線，立體幾何中繼續(xù)研究什么？

首先是將平面幾何中關(guān)于平行的結(jié)論推廣到空間，得到“基本事實(shí)4”.也就是說，平行關(guān)系的傳遞性在空間仍然成立.

利用基本事實(shí)4，可以將“等角定理”推廣到空間(如圖2)，其證明也是利用平行的傳遞性，通過構(gòu)造全等三角形而得.

圖2

類比平面幾何中平行線的性質(zhì)與判定，可以得到空間中直線、平面平行的一些性質(zhì)和判定，這是后話.

2.直線、平面的平行關(guān)系

這里要研究直線與平面平行、平面與平面平行的判定定理、性質(zhì)定理，判定定理、性質(zhì)定理分別給出了直線、平面平行關(guān)系的充分條件和必要條件.

(1)直線、平面平行的判定定理

有了定義為什么還要研究判定定理呢？這里我們要區(qū)分一下定義的對(duì)象.如果定義的對(duì)象是一類幾何圖形(例如三角形、圓、棱柱、圓錐、球等等)，那么定義給出的條件一定是充要條件，只有這樣才能做到簡潔、正確，并且可以利用定義精確區(qū)分此類對(duì)象和他類對(duì)象.而定義的對(duì)象如果是一種幾何關(guān)系，那么定義所給出的條件有時(shí)是有“多余”的.例如“全等三角形”的定義要求兩個(gè)三角形的所有元素都對(duì)應(yīng)相等，但實(shí)際上只要有三組對(duì)應(yīng)元素(其中至少有一組是邊)相等即可；直線與平面平行的定義要求直線與平面沒有公共點(diǎn)，但實(shí)際上只要直線與平面內(nèi)的一條直線平行即可；直線與平面垂直的定義要求直線與平面內(nèi)的所有直線都垂直；等等.總之，研究判定定理就是要在定義的基礎(chǔ)上去掉“多余條件”而得出充分條件，從而使條件更加具體、更有針對(duì)性，在面對(duì)問題時(shí)能直接匹配條件，不要“拐彎抹角”.

研究判定定理的基本思路是將新問題化歸為已知的，利用熟悉的工具、方法進(jìn)行研究.對(duì)于平行關(guān)系的判定，就是利用平行關(guān)系的可傳遞性，將直線a∥平面α，轉(zhuǎn)化為直線a∥直線b，b?α.其實(shí)這里仍然利用了共面直線的平行：如圖3，從公理的推論可知，由a，b確定的平面β與α的唯一交線是b，a與b沒有交點(diǎn)就能保證a與α沒有公共點(diǎn).否則，如果a∩α=A，則A?b.在α內(nèi)，過A可作直線c∥b，這樣就有a，c都與b平行，且a∩c=A?，這是不可能的.這里引出矛盾的依據(jù)是“平行公理”，這個(gè)過程充分體現(xiàn)出直觀想象、邏輯推理的作用.

圖3

兩個(gè)平面平行的判定定理可以這么來思考：根據(jù)“兩條相交直線確定一個(gè)平面”，可以猜想“a，b?α，a∩b=A?，a∥β，b∥β”就是α∥β的充分條件.否則，如果α∩β=c，那么由a∥β，b∥β就有c∥a，c∥b，這就意味著過點(diǎn)A可以作兩條直線a，b平行于c.

以上過程，在研究判定定理時(shí)，都是沿著基本圖形位置關(guān)系的邏輯鏈條不斷地“往回找根子”，“回到公理去”.這個(gè)過程充滿著直觀想象、邏輯推理等，也是充滿創(chuàng)造性的，而且是有套路的.新修訂的人教A版在利用這個(gè)套路構(gòu)建發(fā)現(xiàn)和提出判定定理的過程上作出了較多的努力.事實(shí)上，這個(gè)套路也是“單元-課時(shí)”設(shè)計(jì)的主線，抓住它就使課堂教學(xué)有了貫穿始終的思想靈魂，核心素養(yǎng)的培養(yǎng)就自然而然.老師們應(yīng)該學(xué)會(huì)利用這些“簡單”的問題，培養(yǎng)學(xué)生的理性思維.

(2)直線、平面平行的性質(zhì)定理

性質(zhì)定理是更加重要的，性質(zhì)定理的研究是有套路的.

一般的，空間直線、平面位置關(guān)系的性質(zhì)定理要研究的問題是什么呢？

把空間基本圖形位置關(guān)系的性質(zhì)放在一起進(jìn)行共性分析，可以看到，它們是以直線、平面的某種位置關(guān)系(例如a∥α)為大前提，研究a，α與空間中其他直線、平面有什么確定的關(guān)系.

具體的，直線與平面平行的性質(zhì)所研究的問題是：

以直線a∥平面α為條件，研究直線a、平面α與空間中其他直線、平面所形成的確定的關(guān)系.簡言之，空間元素與直線a、平面α之間確定的關(guān)系(平行、垂直)就是性質(zhì).

設(shè)b是不在α內(nèi)的一條直線，按照上述思路可以得到猜想：

如果b∥a(小前提)，那么b∥α；

如果b∥α(小前提)，那么b∥a；

如果b⊥a(小前提)，那么b⊥α；

如果b⊥α(小前提)，那么b⊥a.

設(shè)β是不同于α的一個(gè)平面，可以得到猜想：

如果β∥a(小前提)，那么β∥α；

如果β∥α(小前提)，那么β∥a；

如果β⊥a(小前提)，那么β⊥α；

如果β⊥α(小前提)，那么β⊥a.

也許有人認(rèn)為，還沒有到平面與平面平行、直線與平面垂直、平面與平面垂直，這里的猜想不是有點(diǎn)“亂”嗎？其實(shí)，真正的猜想從來都是“亂”的，教材內(nèi)容的“順”是后來整理出來的.在以“領(lǐng)悟基本思想，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提高發(fā)現(xiàn)和提出問題能力”為追求的教學(xué)中，一定有一個(gè)從“亂”到“順”的過程的.

我們還可以通過知識(shí)之間的聯(lián)系得出其他猜想.例如：

與“公理”相聯(lián)系，直線a與平面α內(nèi)任意一點(diǎn)A確定一個(gè)平面β，α∩β=b，那么b∥a；

因?yàn)閍∥α，所以a∩α=Φ，如果m在α內(nèi)，則或者m∥l，或者m與l是異面直線；

l∥α，β∩γ=l，α∩β=l1，α∩γ=l2，那么l1∥l2；等等.

對(duì)內(nèi)容的如此理解，可以讓學(xué)生明白“性質(zhì)定理是如何發(fā)現(xiàn)的”.實(shí)際上，“以直線a∥平面α為前提，研究空間基本圖形與a，α之間的相互關(guān)系”就是“一般觀念”，在它的引導(dǎo)下，可以創(chuàng)設(shè)適當(dāng)?shù)膯栴}系列，啟發(fā)和幫助學(xué)生進(jìn)行自主探究與發(fā)現(xiàn).

有了探索直線與平面平行性質(zhì)的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生就可以通過類比，自主探索平面與平面平行的性質(zhì).因?yàn)閮烧叩目深惐刃暂^強(qiáng)，所以教學(xué)中應(yīng)該放手讓學(xué)生自己去探索.

為此，人教A版構(gòu)建了如下情境與問題，引導(dǎo)學(xué)生開展系列化探究活動(dòng)([2],p.141)：

首先指出，“研究平面與平面平行的性質(zhì)，也就是以平面與平面平行為條件，探究可以推出哪些結(jié)論.根據(jù)已有的研究經(jīng)驗(yàn)，我們先探究一個(gè)平面內(nèi)的直線與另一個(gè)平面內(nèi)的直線具有什么位置關(guān)系.”

然后借助長方體，引導(dǎo)學(xué)生分析位于兩個(gè)相對(duì)面內(nèi)的直線之間的關(guān)系，得出“或者平行，或者異面”的結(jié)論，再進(jìn)一步提出“分別在兩個(gè)平行平面內(nèi)的兩條直線什么時(shí)候平行呢？”從而明確研究任務(wù).

接著采用分析法，得出“兩個(gè)平行平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，所得的兩條直線平行”，并給出證明.

最后提出問題：“如果直線不在兩個(gè)平行平面內(nèi)，或者第三個(gè)平面不與這兩個(gè)平面相交，以兩個(gè)平面平行為條件，你還能得出哪些結(jié)論？”

實(shí)際上，最后這個(gè)問題就是類比直線與平面平行的性質(zhì)提出來的，具有廣闊的探索空間，實(shí)質(zhì)是以兩個(gè)平面平行為前提，探索這兩個(gè)平面與空間其他直線、平面的位置關(guān)系.例如，以平面α∥β為大前提，a是空間的一條直線，且a?α，a?β，我們有：

如果a與α相交，那么也與β相交，且a與α，β的交角相等；特別的，若a⊥α，則a⊥β.

如果a∥α，那么a∥β.

同樣的，設(shè)γ是一個(gè)平面，我們有：

如果γ與α相交，那么γ也與β相交，且所成的二面角相等；特別的，若γ⊥α，則γ⊥β.

如果γ∥α，那么γ∥β.

以上猜想很容易獲得，以長方體為模型進(jìn)行觀察就更加容易.讓學(xué)生自主探索、猜想結(jié)論并給出證明，這樣不僅可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，形成完整的直線與平面平行、平面與平面平行的知識(shí)結(jié)構(gòu)，而且還可以使學(xué)生從中體會(huì)“如何有邏輯地思考”、“如何探究”、“如何發(fā)現(xiàn)”等等，這比盲目地讓學(xué)生大量做題效果會(huì)好很多.

3.4 直線、平面的垂直關(guān)系

整體而言，直線、平面的垂直關(guān)系與平行關(guān)系在研究的內(nèi)容、路徑以及思想方法等方面都是差不多的，而且空間的平行與垂直是可以相互轉(zhuǎn)化的，不過在一些具體問題的處理上也有其自身特定.

1.關(guān)于直線、平面垂直關(guān)系的定義

這里我們要提出的問題是：直線與直線、直線與平面、平面與平面相互垂直的定義有什么異同？

(1)直線與直線垂直的定義

對(duì)于兩條相交線，平面幾何中是先定義它們所成的角，然后以所成角為90°時(shí)定義它們相互垂直.對(duì)于兩條異面直線所成角，我們通過平移，將異面轉(zhuǎn)化為共面，再以相交線所成角定義異面直線所成角.這樣定義具有完備性、純粹性，因?yàn)槲覀兪窃诳臻g任選一點(diǎn)O，過O分別作兩條異面直線的平行線，所得角的大小不變性由等角定理來保證.

總之，對(duì)于兩條直線的位置關(guān)系，我們先定義“所成角”，再定義“垂直”.有了異面直線所成角，再加上異面直線的距離(這個(gè)問題將在空間向量與立體幾何中討論)，那么空間中兩條異面直線的位置關(guān)系就完全確定了.

(2)直線與平面垂直的定義

研究直線與平面相交，原始問題是如何定義直線與平面所成的角，基本思路是轉(zhuǎn)化為直線與平面內(nèi)的直線所成角.這時(shí)遇到的問題是到底選平面內(nèi)的哪條直線才能滿足純粹性和完備性呢？教學(xué)時(shí)可以把這個(gè)問題提出來(甚至可以先提出“你認(rèn)為該如何定義直線與平面所成角？”待學(xué)生說出“轉(zhuǎn)化為直線與平面內(nèi)的直線所成角”以后，再提出這個(gè)問題讓學(xué)生思考).

我們可以利用信息技術(shù)引導(dǎo)學(xué)生思考：如圖4，平面α與其斜線a交于點(diǎn)O，直線a上的點(diǎn)A在平面內(nèi)的射影是A′，則OA′是a在α內(nèi)的射影.過O在α內(nèi)任作直線b，讓b在α內(nèi)繞O轉(zhuǎn)動(dòng)，并測(cè)量b與a所成角的大小.可以發(fā)現(xiàn)，a與OA′所成的角是唯一存在的最小角.所以，利用直線a與其在平面α內(nèi)的射影OA′所成的角定義a與α所成角具有完備性和純粹性.因?yàn)樽饕粭l直線在一個(gè)平面內(nèi)的射影要借助平面的垂線，所以需要先定義直線與平面垂直.

圖4

所以，與定義兩條直線的位置關(guān)系的方法不同，直線與平面的位置關(guān)系是先定義直線與平面垂直，再定義直線與平面所成的角.正因?yàn)槿绱耍本€與平面垂直的概念要比直線與直線垂直難學(xué).

(3)平面與平面垂直的定義

最后分析兩個(gè)平面所成二面角的定義.定義二面角的大小需要考慮哪些問題？像其他度量問題一樣，①要考慮存在性和唯一性；②把二面角的問題轉(zhuǎn)化為平面角的問題；③還要界定好在什么范圍取值.

可以想象，二面角的棱、兩個(gè)半平面，就像平面角的頂點(diǎn)和兩邊；過棱上一點(diǎn)在兩個(gè)半平面內(nèi)作棱的垂線，用等角定理容易證明，所得平面角的大小與點(diǎn)的位置無關(guān)，所以這樣定義的二面角具有純粹性、完備性.在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步定義兩個(gè)平面相互垂直，即當(dāng)兩個(gè)相交平面所成的二面角是直二面角時(shí)，它們互相垂直.

總之，關(guān)于各種角的定義方式，其數(shù)學(xué)思想是一致的，都是要保證完備性和純粹性.不過，直線與直線所成角、平面與平面所成角是同類元素所成角，直線與平面所成角是兩類不同元素所成角，所以它們的定義路徑是不同的.因?yàn)閷W(xué)生從相交線的學(xué)習(xí)開始，已經(jīng)歷多次定義直線、平面所成角的過程，所以教學(xué)時(shí)應(yīng)注意為學(xué)生創(chuàng)造自主學(xué)習(xí)的機(jī)會(huì)，讓他們嘗試自己給出定義，從中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的思維方式.

2.直線、平面垂直關(guān)系的判定

這里可以提出的問題仍然是：“判定”要研究的問題是什么？發(fā)現(xiàn)判定定理的思想方法是什么？要讓學(xué)生思考并明確：研究的問題是直線、平面垂直關(guān)系的充分條件，所采用的思想方法是從定義出發(fā)探究垂直關(guān)系所需要的“最少條件”，這對(duì)發(fā)展學(xué)生的理性思維、提升邏輯推理和直觀想象素養(yǎng)都是非常有好處的.

(1)直線與平面垂直的判定

直線與平面的關(guān)系是維數(shù)不同的兩類基本圖形的關(guān)系，是聯(lián)系維數(shù)相同的兩類基本圖形的橋梁，所以是非常重要的.

首先我們分析直線與平面垂直的問題.回顧直線與平面垂直的判定定理的探索過程，可以發(fā)現(xiàn)，其關(guān)鍵有如下幾點(diǎn)：

第一，將直線a與平面α垂直轉(zhuǎn)化為直線a與平面α內(nèi)的直線垂直；

第二，利用空間直線與直線垂直的定義；

第三，利用平面的基本性質(zhì)及其推論(確定一個(gè)平面的條件)；

第四，現(xiàn)實(shí)生活中，利用這個(gè)判定定理解決問題的例子很多，這些例子可以幫助學(xué)生形成確認(rèn)定理正確性的直觀基礎(chǔ).

分析直線與平面垂直的判定定理，可以看到，定理中充分條件涉及的“平面內(nèi)的兩條相交直線”實(shí)際上就是確定一個(gè)平面的充分條件.另外，兩條平行線也是確定一個(gè)平面的充分條件，為什么不能把判定定理中的“相交”改為“平行”？

從向量的觀點(diǎn)看，不共線的兩個(gè)向量成為平面的一個(gè)基底.設(shè)直線a的方向向量為a，又設(shè)直線b，c是平面α內(nèi)的兩條相交直線，它們的方向向量分別為e1，e2，且a⊥b，a⊥c，則e1，e2不共線且a·e1=a·e2=0.對(duì)于平面α內(nèi)的任意一條直線l，設(shè)其方向向量為e，根據(jù)向量基本定理，存在唯一一對(duì)實(shí)數(shù)k1，k2，使e=k1e1+k2e2.于是a·e=a·(k1e1+k2e2)=k1(a·e1) +k2(a·e2)=0，即a⊥l.如果b∥c，那么e1∥e2，兩個(gè)平行向量不能成為基底，也就推不出a⊥l.

因?yàn)槲恢藐P(guān)系歸根到底是“方向的關(guān)系”，所以用向量的觀點(diǎn)看基本圖形的位置關(guān)系是最清楚的.平行線的方向是一致的，所以平行關(guān)系具有傳遞性，所以與方向相關(guān)的問題中，平行線與一條直線等效.

(2)兩個(gè)平面互相垂直的判定

我們要問的仍然是：探索平面與平面垂直判定定理的指導(dǎo)思想是什么？

結(jié)合已有的經(jīng)驗(yàn)可以發(fā)現(xiàn)，這里有三個(gè)要點(diǎn)：

①兩個(gè)平面相互垂直的定義；

②將平面與平面垂直轉(zhuǎn)化為直線與平面垂直；

③用向量的眼光看，因?yàn)橐粋€(gè)點(diǎn)和一個(gè)方向(法向量)可以確定唯一一個(gè)平面，兩個(gè)平面相互垂直等價(jià)于兩個(gè)平面的法向量相互垂直.

在這里展開具體探究時(shí)，除了加強(qiáng)直觀感知外，還可以引導(dǎo)學(xué)生“從定義出發(fā)研究判定”.例如，如圖5，設(shè)α∩β=a，根據(jù)二面角的平面角定義，在a上取一點(diǎn)O，過O在α，β內(nèi)分別作直線b，c⊥a，則b，c所成的角就是α，β所成二面角的平面角.這時(shí)，如果b⊥c，則b⊥β(直線與平面垂直的判定)，并且有α⊥β(兩個(gè)平面垂直的定義)；同時(shí)，如果b⊥β，則b⊥c，于是α⊥β.也就是說，如果α過β的一條垂線b，那么α⊥β.

圖5

3.直線、平面垂直關(guān)系的性質(zhì)

(1)直線與平面垂直的性質(zhì)

對(duì)于直線與平面垂直的性質(zhì)，可以類比直線與平面平行的性質(zhì)來提出問題和發(fā)現(xiàn)性質(zhì).這里要研究的問題是：

以a⊥α為大前提，研究a，α與空間中的直線、平面具有怎樣的確定關(guān)系，并且是以空間中的平行、垂直關(guān)系為主題.例如

對(duì)于α外的直線b：①當(dāng)b∥a時(shí)，是否有b⊥α？②當(dāng)b∥α?xí)r，是否有b⊥a；③當(dāng)b⊥a時(shí)，是否有b∥α？④當(dāng)b⊥α?xí)r，是否有b∥a？

可以證明，上述命題都是成立的.其中④就是教材中給出的性質(zhì)“同時(shí)垂直于一個(gè)平面的兩條直線互相平行”.

對(duì)于平面β：①當(dāng)β∥a時(shí)，是否有β⊥α？②當(dāng)β∥α?xí)r，是否有β⊥a；③當(dāng)β⊥a時(shí)，是否有β∥α？④當(dāng)β⊥α?xí)r，是否有β∥a？

……

通過這樣的系統(tǒng)思考和探索，學(xué)生可以非常深切地感受到空間中的平行和垂直關(guān)系之間的內(nèi)在聯(lián)系，它們可以相互轉(zhuǎn)化.實(shí)際上，這些關(guān)系正是歐氏空間的平直性和對(duì)稱性的內(nèi)在聯(lián)系的體現(xiàn).

(2)平面與平面垂直的性質(zhì)

一脈相承地，平面與平面垂直的性質(zhì)所研究的問題是：

以α⊥β為大前提，研究α，β與空間中的直線、平面具有怎樣的確定關(guān)系.例如

對(duì)于直線a：①當(dāng)a∥α?xí)r，是否有a⊥β？②當(dāng)a⊥α?xí)r，是否有a∥β？

對(duì)于平面γ：①當(dāng)γ∥α?xí)r，是否有γ⊥β？②當(dāng)γ⊥α?xí)r，是否有γ∥β？

……

在探索兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)時(shí)，因?yàn)檫@兩個(gè)平面的交線是兩個(gè)平面的公共直線，具有特殊的地位，所以要關(guān)注交線這個(gè)橋梁，可以從兩個(gè)平面內(nèi)的直線與交線的位置關(guān)系入手展開探索.如圖6所示，可以得到：

平面α⊥β，a為它們的交線，那么平面α內(nèi)的直線b與β有兩種關(guān)系——相交或平行.b與a所成的角就是b與β所成的角(圖6(1))；b⊥a時(shí)，b⊥β(圖6(2)).

圖6

如果平面α⊥β，a為它們的交線，平面α內(nèi)的任意一點(diǎn)A在平面β內(nèi)的射影B都在a上.這時(shí)，直線AB在平面α內(nèi)，且AB⊥β.

以上實(shí)際上是以兩個(gè)平面互相垂直為前提，以它們的交線為橋梁，討論其中一個(gè)平面內(nèi)的幾何元素(直線、點(diǎn))與另一個(gè)平面的位置關(guān)系.在此基礎(chǔ)上，人教A版提出：“對(duì)于兩個(gè)平面互相垂直的性質(zhì)，我們探究了一個(gè)平面內(nèi)的直線與另一個(gè)平面的特殊位置關(guān)系.如果直線不在兩個(gè)平面內(nèi)，或者把直線換成平面，你又能得到哪些結(jié)論？”([2]，p.160)在這個(gè)問題的引導(dǎo)下，學(xué)生可以展開廣泛的探究，得出許多猜想，而且通過這個(gè)問題的探究，可以把直線、平面位置關(guān)系的許多性質(zhì)進(jìn)行再組織，使之形成一個(gè)具有邏輯性的、內(nèi)在關(guān)聯(lián)很強(qiáng)的“直線、平面位置關(guān)系的性質(zhì)體系”.

3.5 小結(jié)

回顧對(duì)空間中點(diǎn)、直線、平面位置關(guān)系的研究過程，我們發(fā)現(xiàn)，無論是平行關(guān)系還是垂直關(guān)系，其研究的內(nèi)容、思路和方法都有極大的相似性.其中，一般觀念“幾何元素之間的確定關(guān)系就是性質(zhì)”在探索性質(zhì)的過程中具有“指路人”作用.正所謂“研究對(duì)象在變，‘研究套路’不變，思想方法不變”，這樣的研究思路、方法等就體現(xiàn)了基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的力量.所以，如果我們能在直線、平面位置關(guān)系的教學(xué)中讓學(xué)生明白知識(shí)中蘊(yùn)含的這些思想、方法，那么就會(huì)使學(xué)習(xí)變得比較容易，學(xué)生對(duì)立體幾何建立起的整體架構(gòu)也就非常清楚了.

4 教學(xué)建議

1.加強(qiáng)與平面幾何的類比與聯(lián)系，按研究一個(gè)幾何對(duì)象的基本套路展開有序研究

平面幾何不僅為立體幾何的研究做好了知識(shí)的鋪墊，也做好了思想與方法的準(zhǔn)備.所以，立體幾何的教學(xué)應(yīng)該讓學(xué)生類比平面圖形的研究，建立空間基本圖形的研究框架，發(fā)現(xiàn)值得研究的問題，找到研究的方法；類比相交線與平行線的研究，得到基本圖形位置關(guān)系的研究內(nèi)容、過程與方法；等等.

2.在一般觀念指導(dǎo)下展開研究

為了在課堂中有效落實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，必須提高教學(xué)的品味，其中一個(gè)關(guān)鍵舉措就是要加強(qiáng)一般觀念的指導(dǎo)，因?yàn)檫@些一般觀念可以給人以發(fā)現(xiàn)的眼光、洞察本質(zhì)的智慧、用數(shù)學(xué)分析和解決問題的思想方法.這里我們可以列舉一些與一般觀念相關(guān)的問題：

(1)“認(rèn)識(shí)空間幾何體”的基本任務(wù)是什么？

基本任務(wù)是：從基本立體圖形到組合體，主要是對(duì)基本立體圖形進(jìn)行分類.

(2)分類的方法是什么？如何確定分類的標(biāo)準(zhǔn)？

分類方法：屬+種差，“種差”就是分類標(biāo)準(zhǔn)，從組成元素的形狀、相互關(guān)系中來確定.

(3)什么叫“基本立體圖形的結(jié)構(gòu)特征”？

結(jié)構(gòu)特征是圖形的最本質(zhì)特征，也是最基本的性質(zhì)，從組成元素的形狀及其相互關(guān)系來反映.

(4)如何抽象一類幾何圖形的結(jié)構(gòu)特征？定義一類幾何圖形要完成哪幾件事情？

定義一類幾何圖形要完成的事情是“定義——表示——分類”.要按照認(rèn)識(shí)事物的一般規(guī)律，通過對(duì)具體實(shí)例的組成元素及其相互關(guān)系的觀察、分析，歸納出共性，再概括到一般去而形成一類幾何圖形的定義，在此基礎(chǔ)上給出“三種語言”進(jìn)行表示.最后以“特殊的組成元素”、“特殊的位置關(guān)系”入手對(duì)這類幾何圖形進(jìn)行更細(xì)致的分類.

(5)如何定義基本圖形的位置關(guān)系？定義一種位置關(guān)系要完成哪幾件事情？

(6)對(duì)于直線、平面的平行或垂直，判定定理所研究的問題是什么？性質(zhì)定理所研究的問題又是什么？等等.

這些“觀念”層面的東西，不僅對(duì)獲得數(shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)質(zhì)性理解、落實(shí)“四基”、“四能”很重要，對(duì)轉(zhuǎn)變教的方式、學(xué)的方式也很重要，而且也是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的沃土.課堂中注意以此為指導(dǎo)，可以提高教學(xué)的深刻性，把引導(dǎo)學(xué)生自主探究與發(fā)現(xiàn)、提高學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和積極性、激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣等都落實(shí)到位.

推進(jìn)高中育人方式的改革，關(guān)鍵是要加強(qiáng)綜合實(shí)踐活動(dòng).日常教學(xué)中，就是要以學(xué)習(xí)內(nèi)容為載體，體現(xiàn)好啟發(fā)性、探究性、實(shí)踐性，給學(xué)生以自主創(chuàng)新實(shí)踐的機(jī)會(huì)，這就需要教師通過有數(shù)學(xué)含金量的問題，幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)“從知其然到知其所以然，再到何由以知其所以然”的跨越.其中，一般觀念的思維引領(lǐng)作用是非常重要的.

3.關(guān)于基本立體圖形的教學(xué)

首先，本單元的教學(xué)任務(wù)是對(duì)基本立體圖形進(jìn)行分類、用斜二測(cè)法作圖和有關(guān)表面積、體積的公式，這里不要求在定義的基礎(chǔ)上研究性質(zhì)，相關(guān)的內(nèi)容作為例題、習(xí)題，或者在后面利用空間向量進(jìn)行研究.

這里要重視“如何描述幾何體結(jié)構(gòu)特征”的教學(xué)，使學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界.因?yàn)閷?duì)任何幾何體結(jié)構(gòu)特征的研究套路都是一樣的，所以可以先以棱柱為載體，把研究的整體架構(gòu)、抽象的過程和方法、定義的方法等搞清楚，形成系統(tǒng)而有邏輯的認(rèn)識(shí)，然后其他幾何體的結(jié)構(gòu)特征可以放手讓學(xué)生自學(xué).

還有一點(diǎn)需要再次強(qiáng)調(diào)：一定要重視畫圖，通過畫圖培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念，發(fā)展學(xué)生的直觀想象素養(yǎng).

基本立體圖形的表面積、體積的計(jì)算公式建立在掌握它們的結(jié)構(gòu)特征的基礎(chǔ)上，教學(xué)時(shí)應(yīng)該讓學(xué)生明確這一點(diǎn).

4.關(guān)于空間基本圖形的教學(xué)

高中數(shù)學(xué)課程中，像本單元這樣明確體現(xiàn)公理化思想的內(nèi)容并不多，所以這里要利用好這個(gè)素材進(jìn)行公理化思想教學(xué).具體展開教學(xué)時(shí)，要注意如下幾點(diǎn)：

(1)四個(gè)基本事實(shí)、三個(gè)推論和等角定理處于立體幾何的最基礎(chǔ)位置，數(shù)學(xué)味道很濃，可以使學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)地刻畫一個(gè)基本對(duì)象的方式，但也是非常難的地方，所以要在“如何定義”上加強(qiáng)講解和引導(dǎo)，努力使他們體會(huì)“利用圖形組成元素的相互關(guān)系刻畫圖形的特征”的手法.為了加強(qiáng)理解，可以聯(lián)系向量基本定理等進(jìn)行解釋.

(2)直線與平面的平行、垂直的教學(xué)，要注意整體架構(gòu)，包括“直線與直線——直線與平面——平面與平面”的路徑，以及每一種位置關(guān)系的研究套路.判定定理、性質(zhì)定理的教學(xué)中，要讓學(xué)生明白：要研究的問題是什么？研究思路是什么？定理所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法是什么？要關(guān)注三類位置關(guān)系之間的關(guān)聯(lián)、空間中平行與垂直關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，以及直線與平面位置關(guān)系的紐帶作用.

這里應(yīng)采用“單元整體教學(xué)”的思路.在學(xué)習(xí)“平面的基本性質(zhì)”和“點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系”后，以直線與平面平行的定義、判定和性質(zhì)為載體，幫助學(xué)生建立研究直線、平面位置關(guān)系的“整體架構(gòu)”，并體會(huì)研究過程中的“一般觀念”.在此基礎(chǔ)上，將平面與平面平行、直線與平面垂直及平面與平面垂直作為三個(gè)子單元，讓學(xué)生展開自主探究性學(xué)習(xí)，把“研究對(duì)象在變，研究套路不變，思想方法不變”體現(xiàn)出來.

(3)要強(qiáng)調(diào)作圖的重要性.立體幾何教學(xué)要培養(yǎng)學(xué)生根據(jù)題意先想象、再作圖，在作圖的基礎(chǔ)上再論證的習(xí)慣.想象的過程中，要讓圖形“動(dòng)起來”，這個(gè)過程是發(fā)展直觀想象的契機(jī).在平面上作立體圖形，讓學(xué)生動(dòng)手作圖可以增強(qiáng)直觀想象的效果，可以培養(yǎng)幾何直觀能力.在作圖和直觀想象的過程中，可以使圖形組成元素之間的相互關(guān)系清晰化，為推理論證提供思路.

5.強(qiáng)調(diào)長方體、正四面體、正方體等典型圖形的模型作用

典型圖形具有模型的作用，在解決立體幾何問題時(shí)可以成為分析幾何元素相互關(guān)系的直觀載體.其中，長方體是理解直線、平面的位置關(guān)系的最簡單、好用的載體，長方體的棱、各種對(duì)角線、表面、截面等把空間基本圖形的所有位置關(guān)系都包含在內(nèi)了.借助長方體，可以幫助學(xué)生直觀理解判定定理、性質(zhì)定理.在許多問題中，將相應(yīng)的條件放到長方體的背景中(長方體作為襯托)，可以增強(qiáng)直觀性，有利于發(fā)現(xiàn)問題中相關(guān)元素之間關(guān)系，從而找到解決問題的思路；等等.

6.加強(qiáng)與信息技術(shù)的融合

立體幾何教學(xué)必須使用信息技術(shù).例如，利用信息技術(shù)工具畫出長方體，通過動(dòng)態(tài)演示，觀察其結(jié)構(gòu)特征，觀察其中的點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系；在長方體的棱上取某些特殊點(diǎn)，連接出一些直線段、截面，探索它們與長方體的棱、面之間的關(guān)系；通過動(dòng)態(tài)演示，進(jìn)行多角度觀察，發(fā)現(xiàn)一些隱藏的直線、平面的位置關(guān)系；等等.總之，信息技術(shù)在立體幾何的研究中具有重要作用，非常有利于培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng).(續(xù)完)