橢圓曲線y2=11nx(x2-32)的整數(shù)點

杜先存, 浦恩梅, 牛麗婷

(紅河學院 教師教育學院, 云南 蒙自 661199)

橢圓曲線是20世紀最重要的數(shù)學理論之一,它是代數(shù)幾何中最重要的一類研究對象,它的算術理論可以應用于公鑰密碼學.橢圓曲線的理論及其應用作為現(xiàn)代數(shù)論中的一個分支學科,可以說是集純粹性、優(yōu)美性、挑戰(zhàn)性、應用性、實用性為一體的一個“突出例子”。由此可見研究橢圓曲線的整數(shù)點問題有著非常重要的意義.關于橢圓曲線y2=px(x2-a),p,a∈+的整數(shù)點,目前已有一些結(jié)果,主要集中在a=1,2,4,8,16,32,64,128上.a=1時,文獻[1-2]已給出了一些相關的研究;a=2時,文獻[3-5]已給出了一些相關的研究;a=4時,文獻[6]已給出了一些相關的研究;a=8時,文獻[7-8]已給出了一些相關的研究;a=16時,文獻[9]已給出了一些相關的研究;a=32時,文獻[10-11]已給出了一些相關的研究;a=64時,文獻[12]已給出了一些相關的研究;a=128時,文獻[13]已給出了一些相關的研究.a=32時目前的結(jié)論集中在p只含8k+5型素因子的情形,本文對a=32,p除了含8k+5型素因子外還含8k+3型素因子的情形進行研究.

1 定 理

n≡5(mod 8)為奇素數(shù),橢圓曲線

y2=11nx(x2-32),

(1)

除(x,y)=(0,0)外無其他整數(shù)點.

2 證 明

顯然(x,y)=(0,0)是橢圓曲線(1)的整數(shù)點,設(x,y)是橢圓曲線(1)的除(x,y)=(0,0)外的整數(shù)點.因為n是奇素數(shù),所以由式(1)知11n|y,設y=11nz,z∈+,將其代入式(1)得

11nz2=x(x2-32).

(2)

因為gcd(x,x2-32)=gcd(x,32)=1或2或22或23或24或25,故方程(2)可以分解為以下4種情形:

情形Ⅰx=ka2,x2-32=11nkb2,z=kab,gcd(a,b)=1,a,b∈;

情形Ⅱx=kna2,x2-32=11kb2,z=kab,gcd(a,b)=1,a,b∈;

情形Ⅲx=11ka2,x2-32=nkb2,z=kab,gcd(a,b)=1,a,b∈;

情形Ⅳx=11kna2,x2-32=kb2,z=kab,gcd(a,b)=1,a,b∈.

其中k=1,2,22,23,24,25.

下面分別討論4種情形下方程(2)的整數(shù)解的情況.

情形Ⅰx2-32=11nkb2兩邊取模n,得

x2≡32(modn).

(3)

情形Ⅱx2-32=11kb2兩邊取模11,得

x2≡32(mod 11).

(4)

情形Ⅲx2-32=nkb2兩邊取模n,得

x2≡32(modn).

(5)

由情形Ⅰ的證明知情形Ⅲ不成立,則方程(2)無整數(shù)解,即橢圓曲線(1)除(x,y)=(0,0)外無其他整數(shù)點.

情形Ⅳ

(1)當k=1時,有x=11na2,x2-32=b2.將x=11na2代入x2-32=b2得121n2a4-32=b2,兩邊同時取模n得

b2≡-32(modn).

(6)

(2) 當k=2時,有x=22na2,x2-32=2b2.

將x=22na2代入x2-32=2b2得484n2a4-32=2b2,即

242n2a4-16=b2.

(7)

由式(7)可知b為偶數(shù),設b=2c,c∈,將其代入式(7),得242n2a4-16=4c2,即

121n2a4-8=2c2.

(8)

又因為gcd(a,b)=1,則a為奇數(shù),且n≡5(mod 8),即式(8)左邊為奇數(shù),右邊為偶數(shù),矛盾.因此k=2時,情形Ⅳ不成立,則此時方程(2)無整數(shù)解,即橢圓曲線(1)除(x,y)=(0,0)外無其他整數(shù)點.

(3) 當k=22時,有x=44na2,x2-32=4b2.

將x=44na2代入x2-32=4b2,得1 936n2a4-32=4b2,即

484n2a4-8=b2.

(9)

(4)k=23時,有x=88na2,x2-32=8b2.

將x=88na2代入x2-32=8b2得,7 744n2a4-32=8b2,即

968n2a4-4=b2.

(10)

(5)k=24時,有x=176na2,x2-32=16b2.

將x=176na2代入x2-32=16b2,得3 0976n2a4-32=16b2,即

1 936n2a4-2=b2.

(11)

(6)k=25時,有x=352na2,x2-32=32b2.

將x=352na2代入x2-32=32b2,得123 904n2a4-32=32b2,即

3 872n2a4-1=b2.

(12)

綜上有情形Ⅳ不成立,即橢圓曲線(1)除(x,y)=(0,0)外無其他整數(shù)點.

綜上所述,當n≡5(mod 8)為奇素數(shù)時,橢圓曲線(1)除(x,y)=(0,0)外無其他整數(shù)點.

定理得證.

3 結(jié) 論

利用初等數(shù)學方法證明了如果n≡5(mod 8)為奇素數(shù),則橢圓曲線y2=11nx(x2-32)除(x,y)=(0,0)外無其他整數(shù)點.該研究結(jié)果對形如y2=px(x2-a),p,a∈+的橢圓曲線的求解有一定的借鑒作用,同時此結(jié)果推進了該類橢圓曲線的研究.