本是同根生
——淺談?wù)叶ɡ砼c余弦定理的關(guān)系

安徽省界首市界首中學(xué) 袁 夢

阜陽市教科所王志剛副所長在一次教研活動中說：“正弦定理和余弦定理的本質(zhì)是一樣的。”這引起了筆者的極大興趣。經(jīng)過一段時間的思考和研究，筆者認(rèn)為正弦定理和余弦定理是“本是同根生”的關(guān)系。下面將從以下幾方面來加以說明，如有不當(dāng)之處，請批評指正。

一、三角形邊角之間的關(guān)系

我們可以按照章建躍博士的整體建構(gòu)理論（研究對象是誰？構(gòu)成要素是什么？要素與要素之間的關(guān)系有哪些？）對三角形進行重新建構(gòu)，會發(fā)現(xiàn)三角形是由三條線段組成的一個封閉圖形；它的構(gòu)成要素是三條邊和三個角。那么，要素與要素之間的關(guān)系有哪些？

1.邊與邊的關(guān)系

（1）直角三角形：兩直角邊的平方和等于斜邊的平方（勾股定理）。

（2）一般三角形：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。

2.角與角的關(guān)系

（1）直角三角形：兩個銳角度數(shù)之和等于直角。

（2）一般三角形：三個內(nèi)角之和等于180o（內(nèi)角和定理）。

3.邊角之間的關(guān)系

（1）直角三角形：銳角的正弦等于對邊長除以斜邊長，銳角的余弦等于鄰邊長除以斜邊長。

（2）一般三角形：我們可以類比直角三角形中邊角關(guān)系歸納猜想出正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，由直角三角形中的勾股定理可以猜想出余弦定理：對于任意三角形，任何一邊的平方等于其他兩邊的平方和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。

從以上的發(fā)現(xiàn)過程和結(jié)果來看，正弦定理和余弦定理都是反映三角形邊角之間的關(guān)系，是三角形中的內(nèi)隱關(guān)系，就像內(nèi)角和定理一樣。所以它們是同根生的關(guān)系，其本質(zhì)是一樣的。

二、我中有你，你中有我

在三角形中有一個重要的結(jié)論：在△ABC，角A，B，C 所對的邊分別為a，b，c，則a=b cosC+c cosB。

1.由正弦定理推導(dǎo)余弦定理

同理可證：

2.由余弦定理推導(dǎo)正弦定理

三、兩定理能解決的公共問題

從解方程的角度可以清楚地知道利用正弦定理可以解決以下解三角形問題：

（1）已知三角形的兩角與任一邊，求其他的邊和角；

（2）已知三角形的兩邊與其中一邊的對角，求其他的邊和角。利用余弦定理可以解決以下解三角形問題：

（1）已知三角形的兩邊與其夾角，求其他的邊和角；

（2）已知三角形的三邊，求其他的邊和角；

（3）已知三角形的兩邊與其中一邊的對角，求其他的邊和角。

顯然，這個問題“已知三角形的兩邊與其中一邊的對角，求其他的邊和角”是兩定理都可以解決的。但在解決這個問題時，無論用哪個定理求解都要注意是否有解？有幾個解？

四、教研感悟

1.專家引領(lǐng)促青年教師快速成長

一個學(xué)校要想有較好的發(fā)展，就必須有一批業(yè)務(wù)精湛的教師，然而事實是，很多學(xué)校別說有一批，就算有幾個也算不錯了，在這種情況下，導(dǎo)致很多青年教師成長緩慢。還好現(xiàn)在網(wǎng)絡(luò)發(fā)達，線上教研已成常態(tài)，如果學(xué)校或個人不能借助“專家的資源”，就會錯過絕好的發(fā)展機會。本人通過這次王志剛所長在教研群里的引領(lǐng)，就有了對解三角形內(nèi)容的更深刻的理解，有豁然開朗的感覺。所以一個學(xué)?；蛞粋€地區(qū)的青年教師要想快速成長，就應(yīng)該主動請專家指導(dǎo)。

2.各顯神通，教學(xué)相長

我把此次教研經(jīng)歷和學(xué)生分享，并讓學(xué)生進行正弦定理和余弦定理的互相證明，結(jié)果學(xué)生表現(xiàn)出了和平時不一樣的積極性，最后在我們共同的努力下有了一次奇妙之旅，更有了教學(xué)相長的快樂，在不知不覺中滲透了數(shù)學(xué)運算，提升了核心素養(yǎng)。通過探討正弦定理和余弦定理的關(guān)系去發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的本質(zhì)，只有發(fā)現(xiàn)本質(zhì)，才會覺得數(shù)學(xué)有意思，才會覺得學(xué)數(shù)學(xué)有意義，才會利用數(shù)學(xué)解決實際問題。