Gauss 聲束對(duì)離軸橢圓柱的聲輻射力矩*

臧雨宸 林偉軍3)? 蘇暢3) 吳鵬飛3)

1) (中國科學(xué)院聲學(xué)研究所, 北京 100190)

2) (中國科學(xué)院大學(xué), 北京 100049)

3) (北京市海洋深部鉆探測(cè)量工程技術(shù)研究中心, 北京 100190)

1 引 言

當(dāng)聲波入射到物體上時(shí)會(huì)對(duì)其產(chǎn)生力矩的作用, 稱為聲輻射力矩.利用聲輻射力矩可以實(shí)現(xiàn)粒子的可控旋轉(zhuǎn), 在聲學(xué)操控[1-4]、聲懸浮[5,6]、生物工程[7]和材料科學(xué)[8]等領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用前景.聲輻射力矩的基本理論最早由Maidanik[9]于1958 年提出.隨后, Fan 等[10]從角動(dòng)量守恒定律出發(fā), 給出了一般情況下聲輻射力矩的計(jì)算方法.在實(shí)際應(yīng)用中, 為了實(shí)現(xiàn)對(duì)靶向粒子的精確操控,往往需要對(duì)各種情況下的聲輻射力矩進(jìn)行理論與數(shù)值計(jì)算.在此基礎(chǔ)上, Zhang 和Marston[11,12]系統(tǒng)地總結(jié)了聲輻射力矩的理論框架, 并對(duì)懸浮固體和液滴的聲輻射力矩進(jìn)行了分析.2012 年, Silva和Mitri 等[13-15]成功推導(dǎo)出任意渦旋聲束對(duì)在軸球形粒子聲輻射力矩的表達(dá)式, 并以Bessel 聲束為例進(jìn)行了仿真.近年來, Zhang[16]和Gong 等[17]詳細(xì)分析了Bessel 聲束的聲輻射力矩特性和力矩方向的決定因素, 其結(jié)果對(duì)分析渦旋聲場(chǎng)中粒子的轉(zhuǎn)動(dòng)特性具有重要意義.除了球形粒子外, 柱形粒子在實(shí)際應(yīng)用中也很常見, 如納米管[18]、長(zhǎng)纖維[19]和聲表面波器件[20]等.2007 年, Hasheminejad[21]利用Mathieu 函數(shù)計(jì)算得到了無限長(zhǎng)彈性橢圓柱在平面波場(chǎng)中的聲輻射力和力矩解析式.2011 年,Wang 和Dual[22]從理論上給出了任意固體圓柱在黏性流體中受到的聲輻射力矩大小并得到了很好的數(shù)值驗(yàn)證.2016 年, Mitri[23]利用部分波級(jí)數(shù)展開法(PWSE)避開了Mathieu 函數(shù)的煩瑣運(yùn)算,成功求解得到了平面波以任意角度入射時(shí)剛性橢圓柱受到的聲輻射力矩.隨后, Mitri[24]又將研究范圍拓展到Gauss 聚焦聲束, 對(duì)黏性流體中圓柱體受到的聲輻射力與力矩進(jìn)行了詳細(xì)分析, 特別關(guān)注了力矩隨離軸距離和入射角度的變化規(guī)律.2017 年, Mitri[25]分析了一對(duì)黏性柱體的聲輻射力矩并考慮了柱體間多次散射對(duì)結(jié)果的影響, 而后Wang 等[26]考慮了Airy 波入射下的同樣問題.為了更精確地模擬實(shí)際邊界附近的聲操控問題,Mitri[27]在已有模型中引入剛性邊界, 利用加法公式推導(dǎo)了此時(shí)無限長(zhǎng)圓柱的聲輻射力矩.

本文在前人工作的基礎(chǔ)上研究Gauss 聲束對(duì)理想流體中偏離聲束中心的無限長(zhǎng)橢圓柱的聲輻射力矩, 采用部分波展開法分別對(duì)橢圓柱的散射系數(shù)進(jìn)行求解, 進(jìn)而計(jì)算此時(shí)的聲輻射力矩.在理論計(jì)算的基礎(chǔ)上, 詳細(xì)分析了離軸距離、入射角度和束腰半徑等因素對(duì)聲輻射力矩的影響, 為實(shí)現(xiàn)粒子在聲場(chǎng)中的可控旋轉(zhuǎn)提供了一定的理論基礎(chǔ).值得注意的是, 本文模型中Gauss 聲束的入射方向可以是任意的, 因而具有良好的適用性.此外, 為了不失一般性, 本文同時(shí)考慮了剛性和非剛性橢圓柱兩種情況, 并對(duì)它們的聲輻射力矩特性進(jìn)行了詳細(xì)的分析與比較.

2 理論計(jì)算

2.1 理論模型

如圖1 所示, 一束束腰半徑為W0的Gauss 聲束入射到理想流體中的無限長(zhǎng)橢圓柱上.以橢圓柱的中心為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系(x,y,z), 其中z軸垂直于xOy平面且并未在圖中畫出.橢圓柱在x方向和y方向的半軸長(zhǎng)度分別為a和b.顯然,當(dāng)a=b時(shí), 橢圓柱退化為標(biāo)準(zhǔn)的圓柱體.聲束的傳播方向與x軸正方向的夾角為α, 聲束中心的空間坐標(biāo)為(x0,y0).為了后面數(shù)學(xué)討論的方便, 以O(shè)為原點(diǎn)再建立一柱坐標(biāo)系(r,θ,z), 兩坐標(biāo)系之間滿足關(guān)系:x=rcosθ, y=rsinθ, z=z.

圖1 Gauss 聲束斜入射到無限長(zhǎng)橢圓柱上Fig.1.Description for the interaction of a Gauss beam with an infinitely long elliptical cylinder.

2.2 聲場(chǎng)的級(jí)數(shù)展開

理想流體中Gauss 聲束的速度勢(shì)函數(shù)可以表示為級(jí)數(shù)展開的形式[28]:

其中,φ0表示聲波速度勢(shì)函數(shù)的振幅,k=ω/c0表示聲波的波數(shù),ω是聲波的角頻率,c0是流體中的縱波聲速, Jn表示n階柱Bessel 函數(shù),bn是Gauss聲束的波束形成因子.當(dāng)聲束中心位于原點(diǎn)O時(shí),波束形成因子的表達(dá)式為[28]

其中, In表示n階第一類虛宗量柱Bessel 函數(shù),表示Rayleigh 距離.當(dāng)kW0較小時(shí),聲束具有較強(qiáng)的聚焦特性.隨著kW0的增大, 聲束逐漸擴(kuò)散.當(dāng)kW0趨向于無窮大時(shí), Gauss 聲束將退化為平面行波.當(dāng)聲束中心偏離原點(diǎn)O時(shí), 可以通過柱Bessel 函數(shù)的加法定理求解得到此時(shí)的波束形成因子, 具體表達(dá)式為

其中,bp是聲束中心位于原點(diǎn)O時(shí)的波束形成因子,是聲束中心到原點(diǎn)O的距離,φd=tan-1[(y-y0)/(x-x0)]是偏移角度的大小.

類似地, 橢圓柱體的散射聲場(chǎng)也可以表示為級(jí)數(shù)展開的形式:

2.3 散射系數(shù)的求解

定義橢圓柱的形狀函數(shù)為[23]顯然對(duì)于圓柱(a=b)而言, 形狀函數(shù)是一個(gè)固定的常數(shù); 對(duì)于一般的橢圓柱而言, 形狀函數(shù)是角度θ的函數(shù).

當(dāng)橢圓柱的聲阻抗遠(yuǎn)大于周圍流體的聲阻抗時(shí), 橢圓柱可以近似看作是剛性的, 此時(shí)橢圓柱表面需要滿足法向速度為零的Neumann 邊界條件, 即

其中,An和Bn的具體表達(dá)式為

對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)的圓柱體而言, (8)式右邊的第二項(xiàng)為零,因此(7)式的左邊正是以 einθ為基函數(shù)的Fourier級(jí)數(shù)展開形式, 級(jí)數(shù)恒為零等價(jià)于級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)恒為零, 從而可以直接得到散射系數(shù)的表達(dá)式然而對(duì)于一般情況下的橢圓柱, (7)式的左邊不再是Fourier 級(jí)數(shù), 無法通過直接去掉求和號(hào)來計(jì)算散射系數(shù).盡管如此,我們形式上仍然可以將(7)式的左邊改寫為Fourier 級(jí)數(shù)的形式

其中,An和Bn是此時(shí)的Fourier 展開系數(shù), 可以通過Fourier 逆變換計(jì)算, 即

此時(shí), (9)式正是Fourier 級(jí)數(shù)展開式, 可以直接求解得到散射系數(shù)sn.

當(dāng)橢圓柱的聲阻抗與周圍流體相差不大時(shí),不能再將橢圓柱看作剛性, 即此時(shí)必須考慮橢圓柱內(nèi)部透射聲波的存在.透射聲場(chǎng)的速度勢(shì)函數(shù)可以表示為

其中,kl=ω/cl和cl分別是橢圓柱內(nèi)部的波數(shù)和縱波聲速,tn是聲波透射系數(shù).對(duì)于這樣的非剛性橢圓柱, 邊界條件要求聲壓和法向速度在表面連續(xù),

假設(shè)周圍流體和橢圓柱的密度分別為ρ0和ρl, (12)式中的各項(xiàng)聲壓和速度可以通過它們與速度勢(shì)的關(guān)系求出, 即pinc,sca=-iωρ0φinc,sca, pl=-iωρlφl和vinc,sca=-?φinc,sca, vl=-?φl.將 (1)式,(4)式和(11)式代入(12)式可以得到如下的方程組:

其中

仿照前述對(duì)于剛性橢圓柱的處理, 同樣將(13)式改寫為Fourier 級(jí)數(shù)的形式,

其中

此時(shí), 通過求解(15)式可以得到散射系數(shù)sn.

2.4 聲輻射力矩的計(jì)算

聲輻射力矩的基本計(jì)算公式最早在文獻(xiàn)[9]中給出, 其表達(dá)式為

其中, 符號(hào)〈〉表示對(duì)時(shí)間平均,r是以O(shè)為起點(diǎn)的徑矢, dS=dSer, dS=Lrdθ是將橢圓柱包含在內(nèi)的一個(gè)半徑為r的大積分圓柱面上長(zhǎng)度為L(zhǎng)的面積微元,er=cosθex+sinθey是積分表面的外法向單位矢量,ex和ey是xOy坐標(biāo)系沿坐標(biāo)軸方向的單位矢量.考慮到周圍的流體是理想的, 不存在對(duì)聲波動(dòng)量或角動(dòng)量的吸收, 因此可以用這一大的積分柱面代替原來的橢圓柱面從而利用柱函數(shù)的遠(yuǎn)場(chǎng)近似來簡(jiǎn)化我們的運(yùn)算.

在本文的模型中, 只有z方向的聲輻射力矩不為零, 利用速度和速度勢(shì)函數(shù)之間的關(guān)系及兩個(gè)復(fù)數(shù)量乘積的運(yùn)算性質(zhì), 可以將z方向的力矩表示為

其 中,φtotal=φinc+φsca表 示 流 體 中 的 總 聲 場(chǎng),表示z方向的角動(dòng)量算符, Im 表示對(duì)復(fù)數(shù)量取虛部.在遠(yuǎn)場(chǎng)近似下, (1)式和(4)式所表示的入射和散射聲場(chǎng)可以表示為

將(19)式和(20)式代入(18)式中, 并利用如下的關(guān)系

其中,δi,j是Kronecker 符號(hào).經(jīng)過一系列數(shù)學(xué)運(yùn)算, 最終可以得到長(zhǎng)度為L(zhǎng)的橢圓柱受到的聲輻射力矩為[24]

其中, Re 表示對(duì)復(fù)數(shù)量取實(shí)部.

進(jìn)一步考察聲輻射力矩函數(shù)(23)式, 不難發(fā)現(xiàn)單極輻射項(xiàng)(n= 0)對(duì)聲輻射力矩沒有貢獻(xiàn).在不考慮柱體對(duì)聲波黏滯吸收的情況下, 對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)的圓柱體而言 R e(sn)+|sn|2恒為零, 即此時(shí)不存在聲輻射力矩.這一現(xiàn)象在關(guān)于聲輻射力矩的其他文獻(xiàn)[23,24]中也多次提及.但需要注意的是, 對(duì)于橢圓柱而言, 即使不考慮聲波的黏滯吸收,Re(sn)+|sn|2也不一定為零, 即聲輻射力矩是可以存在的.

3 仿真與討論

根據(jù)(23)式可以對(duì)橢圓柱的聲輻射力矩進(jìn)行數(shù)值仿真.在計(jì)算過程中, 以上的所有無窮級(jí)數(shù)必須進(jìn)行截?cái)?若截?cái)嗟碾A數(shù)太低, 則級(jí)數(shù)收斂的精度不夠, 進(jìn)而導(dǎo)致結(jié)果不準(zhǔn)確; 若截?cái)嗟碾A數(shù)過高,則會(huì)增加不必要的計(jì)算成本.因此, 實(shí)際中必須予以統(tǒng)籌兼顧, 在合適的階數(shù)將無窮級(jí)數(shù)進(jìn)行截?cái)嗵幚聿⒋_保結(jié)果收斂.文獻(xiàn)[23]中對(duì)這一問題已經(jīng)進(jìn)行了詳細(xì)討論, 證明了在|sn+nmax/s0|～10-16處截?cái)鄷r(shí)截?cái)嗾`差可以忽略, 因此本文所有的計(jì)算中也采用了這一截?cái)鄿?zhǔn)則.根據(jù)文獻(xiàn)[23]中的分析, 隨著長(zhǎng)短軸之比的增加, 橢圓柱偏離圓柱越明顯, 所需要的截?cái)嚯A數(shù)也越高.在本文的所有仿真實(shí)例中, 長(zhǎng)短軸之比最大為2, 此時(shí)需要的截?cái)嚯A數(shù)仍小于30, 可以提供足夠的運(yùn)算效率.有必要指出,在整個(gè)計(jì)算過程中, (10)式和(16)式涉及的對(duì)角度θ的定積分需要采用數(shù)值積分方法進(jìn)行求解, 這里我們選用Simpson 方法.在本文的所有仿真實(shí)例中, 均假設(shè)橢圓柱位于水中, 水的密度為1000 kg/m3, 縱波聲速為1480 m/s.此外, 對(duì)于非剛性橢圓柱的情形, 我們將生物醫(yī)學(xué)超聲中常見的兩種材料聚二甲基硅氧烷(PDMS)和四溴乙烷(TBE)混合成密度剛好為1000 kg/m3的液體(PDMS-TBE)并以此為例進(jìn)行仿真, 在常溫下, 這兩種物質(zhì)均以液體形式存在, 合成得到的PDMSTBE 材料的縱波聲速為930 m/s[29].

3.1 橢圓柱的位置對(duì)聲輻射力矩的影響

圖2 給出了聲束中心沿y軸上下移動(dòng)(kx0= 0)時(shí),a/b取不同值的情況下剛性橢圓柱和PDMSTBE 橢圓柱的聲輻射力矩函數(shù)τz隨kb和ky0的變化關(guān)系, Gauss 聲束的束腰半徑滿足kW0= 3,入射角度α= π/4.可以看出, 由于聲束是傾斜入射的, 所以位于聲束中心的橢圓柱(ky0= 0)也會(huì)受到聲輻射力矩的作用.此外, 聲輻射力矩可以為正或?yàn)樨?fù).根據(jù)力矩方向的定義法則, 當(dāng)力矩為正值時(shí), 橢圓柱將繞z軸作逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng), 反之將作順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng).特別地, 對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)的圓柱體(a/b= 1),無論是剛性還是非剛性的情況下聲輻射力矩均恒為零, 這與前面的理論分析是相符的.對(duì)于剛性橢圓柱而言, 在0 ＜kb＜ 1 的低頻范圍內(nèi)聲輻射力矩出現(xiàn)峰值, 并集中在ky0= 0 附近.當(dāng)a/b＜ 1時(shí)峰值為正, 且隨著kb的增加峰值逐漸向ky0的負(fù)半軸移動(dòng), 而當(dāng)a/b＞ 1 時(shí)峰值為負(fù), 且隨著kb的增加逐漸向ky0的正半軸移動(dòng).無論是何種形狀的剛性橢圓柱, 隨著頻率的增加, 聲輻射力矩的峰值均出現(xiàn)明顯的衰減.對(duì)于PDMS-TBE 橢圓柱而言, 聲輻射力矩函數(shù)圖像關(guān)于ky0= 0 基本呈現(xiàn)奇對(duì)稱的特征, 即當(dāng)聲束中心在關(guān)于y軸對(duì)稱的位置力矩恰好大小相等而方向相反.從圖2 中還可以看出, PDMS-TBE 橢圓柱的聲輻射力矩函數(shù)峰值形成了若干平行于ky0軸的條帶, 隨著a/b的增加,這些條帶逐漸變細(xì), 即力矩峰值對(duì)頻率的依賴型更強(qiáng).剛性橢圓柱的形狀偏離圓柱越明顯, 力矩的峰值越大, 但PDMS-TBE 橢圓柱卻不滿足這一規(guī)律.

為了進(jìn)一步理解非剛性橢圓柱聲輻射力矩函數(shù)仿真圖中出現(xiàn)的條帶, 對(duì)其遠(yuǎn)場(chǎng)散射聲場(chǎng)進(jìn)行進(jìn)一步分析.將散射聲場(chǎng)的遠(yuǎn)場(chǎng)近似式(20)式改寫為

其中,ftotal是總的遠(yuǎn)場(chǎng)散射函數(shù), 其具體表達(dá)式為

根據(jù)文獻(xiàn)[30,31]的討論, 為了得到單純的遠(yuǎn)場(chǎng)共振散射函數(shù), 需要從(25)式中減去剛性橢圓柱的散射函數(shù), 即

以a/b= 3/2 的PDMS-TBE 橢圓柱為例, 利用(26)式繪出當(dāng)kb= 5.5 與kb= 6.1 時(shí)遠(yuǎn)場(chǎng)共振散射函數(shù)的幅值隨角度的分布圖像, 分別如圖3(a)和圖3(b)所示.這兩個(gè)kb值分別是圖2(h)中的兩條帶對(duì)應(yīng)的頻率.橢圓柱位于kx0= 0,ky0= 6 處,Gauss 聲束入射角度α= π/4, 束腰半徑kW0= 3.從圖3(a)可以看出,kb= 5.5 時(shí)共振散射函數(shù)的指向性圖案在兩個(gè)相反的方向出現(xiàn)了極大值, 這恰好是偶極輻射(n= 1)的典型特征.此時(shí)偶極輻射項(xiàng)占據(jù)主導(dǎo)地位, 而其余項(xiàng)可以忽略不計(jì).同樣地,從圖3(b)可以看出,kb= 6.1 時(shí)共振散射函數(shù)的指向性圖案出現(xiàn)了4 個(gè)極大值, 此時(shí)四極輻射項(xiàng)(n= 2)占據(jù)主導(dǎo)地位.因此, 對(duì)于非剛性橢圓柱而言, 其聲輻射力矩函數(shù)圖像的峰值形成的條帶正好對(duì)應(yīng)著不同階的共振散射模式.由于單極模式(n= 0)對(duì)聲輻射力矩沒有貢獻(xiàn), 因而在低頻區(qū)域PDMS-TBE 橢圓柱受到的聲輻射力矩很微弱, 這與剛性情況形成了鮮明的對(duì)比.在操控非剛性橢圓柱的旋轉(zhuǎn)時(shí), 需要根據(jù)實(shí)際需要選取合適的頻率激發(fā)出其自身的共振散射模式, 從而得到明顯的聲輻射力矩.

圖4 給出了橢圓柱在沿平行于x軸的方向移動(dòng)時(shí)聲輻射力矩函數(shù)τz隨kb和kx0的變化關(guān)系,其中ky0= —3,kW0= 3,α= π/4.與圖2 的結(jié)果類似, 剛性橢圓柱的聲輻射力矩在a/b＜ 1 時(shí)主要為正, 而在a/b＞ 1 時(shí)主要為負(fù).值得注意的是,在低頻范圍內(nèi), 當(dāng)聲束中心位于y軸附近時(shí)力矩較小, 隨著kx0的增大, 力矩也隨之增強(qiáng).然而在中高頻范圍內(nèi), 聲輻射力矩卻隨著聲束中心偏離y軸而逐漸衰減.對(duì)于非剛性橢圓柱而言, 其聲輻射力矩函數(shù)圖像依然保持了關(guān)于kx0= 0 奇對(duì)稱的特性,且其峰值形成了一系列平行于kx0軸的條帶.對(duì)比圖2 和圖4 可以發(fā)現(xiàn), 對(duì)于特定形狀的PDMSTBE 橢圓柱, 這些條帶所對(duì)應(yīng)的kb值是完全相同的.如前所述, 這些條帶反映了不同階散射項(xiàng)的共振頻率, 因而只與橢圓柱的材料和形狀有關(guān).同樣地,a/b的增加會(huì)使仿真圖中的條帶變細(xì), 即力矩峰值對(duì)頻率的依賴性更強(qiáng).

圖2 橢圓柱的聲輻射力矩函數(shù)隨kb 和ky0 的變化關(guān)系(kx0 = 0, kW0 = 3) (a) a/b = 1/2, 剛性; (b) a/b = 1/2, PDMS-TBE; (c) a/b =2/3, 剛性; (d) a/b = 2/3, PDMS-TBE; (e) a/b = 1, 剛性; (f) a/b = 1, PDMS-TBE; (g) a/b = 3/2, 剛性; (h) a/b = 3/2, PDMSTBE; (i) a/b = 2, 剛性; (j) a/b = 2, PDMS-TBEFig.2.The acoustic radiation torque function plots for an elliptical cylinder versus kb and ky0 (kx0 = 0, kW0 = 3): (a) a/b = 1/2, rigid; (b) a/b = 1/2, PDMS-TBE; (c) a/b = 2/3, rigid; (d) a/b = 2/3, PDMS-TBE; (e) a/b = 1, rigid; (f) a/b = 1, PDMS-TBE;(g) a/b = 3/2, rigid; (h) a/b = 3/2, PDMS-TBE; (i) a/b = 2, rigid; (j) a/b = 2, PDMS-TBE.

圖3 PDMS 橢圓柱的共振散射函數(shù)幅值 | fres| 隨角度θ 的變化關(guān)系(kx0=0,ky0=6,α=π/4,kW0=3) (a)kb=5.5; (b)kb=6.1Fig.3.The resonance scattering function modulus | fres| for a PDMS-TBE elliptical cylinder versus the angle θ (kx0 = 0, ky0 = 6,α = π/4, kW0 = 3): (a) kb = 5.5; (b) kb = 6.1.

3.2 聲束入射角度對(duì)聲輻射力矩的影響

聲束的入射角度也是影響聲輻射力矩的重要因素.圖5 給出了當(dāng)聲束中心固定于kx0=ky0=—3 的位置時(shí)在不同角度入射下的聲輻射力矩函數(shù)仿真示意圖, 束腰半徑仍滿足kW0= 3.對(duì)于a/b＜ 1的剛性橢圓柱而言, 隨著入射角度的增大, 在kb＜ 1的低頻范圍內(nèi)聲輻射力矩由正轉(zhuǎn)負(fù).在kb＞ 1 的中高頻范圍內(nèi), 小角度入射更容易產(chǎn)生較強(qiáng)的負(fù)向聲輻射力矩.隨著角度的增加, 這一負(fù)向力矩逐漸減小并過渡到正向力矩.對(duì)于a/b＞ 1 的剛性橢圓柱, 結(jié)論恰好與a/b＜ 1 的情況相反.需要注意的是, 在α= 0°或α= 90°的情況下, 由于橢圓柱此時(shí)偏離Gauss 聲束的聲軸, 聲輻射力矩仍然不為零, 這與文獻(xiàn)[23]中平面波入射下的結(jié)果很不相同.當(dāng)平面波垂直入射到橢圓柱上時(shí), 聲輻射力矩恒為零.對(duì)于PDMS-TBE 橢圓柱而言, 其聲輻射力矩的一系列峰值源于不同階的共振散射, 因而其聲輻射力矩函數(shù)幾乎與入射角度無關(guān), 這有利于我們?cè)谝话闱闆r下利用Gauss 聲束操控非剛性粒子的轉(zhuǎn)動(dòng).

3.3 聲束束腰半徑對(duì)聲輻射力矩的影響

束腰半徑是描述Gauss 聲束的重要參量, 反映了聲束聚焦特性的強(qiáng)弱.圖6 顯示了聲輻射力矩函數(shù)τz隨kb和kW0變化的圖像, 其中kW0的變化范圍為1 ＜kW0＜ 10.仿真結(jié)果顯示, 隨著kW0的增大, 剛性橢圓柱的聲輻射力矩也隨之增強(qiáng).這是由于束腰半徑的增加使得橢圓柱散射截面增大, 從而提升了聲輻射力矩大小.在不同的頻率范圍內(nèi), 聲輻射力矩增大的速率也有所不同.在kb＜ 1的低頻范圍內(nèi), 橢圓柱聲輻射力矩的增強(qiáng)最為明顯, 而在中高頻范圍內(nèi)束腰半徑對(duì)聲輻射力矩的影響較為微弱.因此, 隨著束腰半徑的增加, 剛性橢圓柱的聲輻射力矩隨kb變化而出現(xiàn)的振蕩也更加顯著.對(duì)PDMS-TBE 橢圓柱而言, 隨著波束變寬,聲輻射力矩的峰值也逐漸增強(qiáng), 但峰值所對(duì)應(yīng)的kb值并不改變.值得一提的是, 隨著kW0的不斷增大, 聲束的聚焦特性越來越弱, 最終將退化為平面波入射的情形.

3.4 聲吸收對(duì)聲輻射力矩的影響

在以上的所有計(jì)算中, 我們均忽略了橢圓柱的聲吸收效應(yīng).然而, 對(duì)于PDMS 和TBE 這樣的高分子化合物而言, 聲吸收效應(yīng)往往比較顯著, 可能對(duì)其聲輻射力矩特性產(chǎn)生一定的影響.為了分析聲吸收對(duì)聲輻射力矩的影響, 在具體的計(jì)算過程中只需要給波數(shù)增加一項(xiàng)虛部即可, 即此時(shí)橢圓柱中的聲波波數(shù)為這里γl是橢圓柱的歸一化縱波吸聲系數(shù).圖7 同時(shí)給出了在考慮聲吸收和不考慮聲吸收的情況下a/b= 1/2 的PDMS-TBE橢圓柱的聲輻射力矩函數(shù)隨kb的變化曲線, 其中kx0= 0,ky0= 6,kW0= 3,α= π/4,γl= 0.02.不難發(fā)現(xiàn), 兩條曲線的變化趨勢(shì)幾乎完全一致, 聲吸收對(duì)聲輻射力矩的影響主要體現(xiàn)在kb＞ 6 的高頻范圍.當(dāng)考慮聲吸收時(shí), PDMS-TBE 橢圓柱的聲輻射力矩在高頻會(huì)略微減小, 但差異并不顯著.因此在考慮非剛性橢圓柱的聲輻射力矩時(shí), 忽略聲吸收效應(yīng)的影響是一種可以接受的合理近似.

圖4 橢圓柱的聲輻射力矩函數(shù)隨kb 和kx0 的變化關(guān)系(ky0 = —3, kW0 = 3) (a) a/b = 1/2, 剛性; (b) a/b = 1/2, PDMS-TBE;(c) a/b = 2/3, 剛性; (d) a/b = 2/3, PDMS-TBE; (e) a/b = 1, 剛性; (f) a/b = 1, PDMS-TBE; (g) a/b = 3/2, 剛性; (h) a/b = 3/2,PDMS-TBE; (i) a/b = 2, 剛性; (j) a/b = 2, PDMS-TBEFig.4.The acoustic radiation torque function plots for an elliptical cylinder versus kb and kx0 (ky0 = —3, kW0 = 3): (a) a/b = 1/2,rigid; (b) a/b = 1/2, PDMS-TBE; (c) a/b = 2/3, rigid; (d) a/b = 2/3, PDMS-TBE; (e) a/b = 1, rigid; (f) a/b = 1, PDMS-TBE;(g) a/b = 3/2, rigid; (h) a/b = 3/2, PDMS-TBE; (i) a/b = 2, rigid; (j) a/b = 2, PDMS-TBE.

圖5 橢圓 柱的 聲輻 射力 矩函 數(shù)隨kb 和α 的變化關(guān)系(kx0 = —3, ky0 = —3, kW0 = 3) (a) a/b = 1/2, 剛性; (b) a/b = 1/2,PDMS-TBE; (c) a/b = 2/3, 剛性; (d) a/b = 2/3, PDMS-TBE; (e) a/b = 1, 剛性; (f) a/b = 1, PDMS-TBE; (g) a/b = 3/2, 剛性;(h) a/b = 3/2, PDMS-TBE; (i) a/b = 2, 剛性; (j) a/b = 2, PDMS-TBEFig.5.The acoustic radiation torque function plots for an elliptical cylinder versus kb and α (kx0 = —3, ky0 = —3, kW0 = 3): (a) a/b =1/2, rigid; (b) a/b = 1/2, PDMS-TBE; (c) a/b = 2/3, rigid; (d) a/b = 2/3, PDMS-TBE; (e) a/b = 1, rigid; (f) a/b = 1, PDMSTBE; (g) a/b = 3/2, rigid; (h) a/b = 3/2, PDMS-TBE; (i) a/b = 2, rigid; (j) a/b = 2, PDMS-TBE.

圖6 橢圓柱的聲輻射力矩函數(shù)隨kb 和kW0 的變化關(guān)系(kx0 = —3, ky0 = —3, α = π/4) (a) a/b = 1/2, 剛性; (b) a/b = 1/2,PDMS-TBE; (c) a/b = 2/3, 剛性; (d) a/b = 2/3, PDMS-TBE; (e) a/b = 1, 剛性; (f) a/b = 1, PDMS-TBE; (g) a/b = 3/2, 剛性;(h) a/b = 3/2, PDMS-TBE; (i) a/b = 2, 剛性; (j) a/b = 2, PDMS-TBEFig.6.The acoustic radiation torque function plots for an elliptical cylinder versus kb and kW0 (kx0 = —3, ky0 = —3, α = π/4):(a) a/b = 1/2, rigid; (b) a/b = 1/2, PDMS-TBE; (c) a/b = 2/3, rigid; (d) a/b = 2/3, PDMS-TBE; (e) a/b = 1, rigid; (f) a/b = 1,PDMS-TBE; (g) a/b = 3/2, rigid; (h) a/b = 3/2, PDMS-TBE; (i) a/b = 2, rigid; (j) a/b = 2, PDMS-TBE.

圖7 PDMS-TBE 橢圓柱的聲輻射力矩函數(shù)隨kb 的變化關(guān)系(kx0 = 0, ky0 = 6, kW0 = 3, α = π/4)Fig.7.The acoustic radiation torque function plots for a PDMS-TBE elliptical cylinder versus kb (kx0 = 0, ky0 = 6,kW0 = 3, α = π/4).

3.5 利用聲輻射力矩進(jìn)行流體黏度的反演

至此, 我們對(duì)理想流體中的橢圓柱在Gauss聲束作用下的聲輻射力矩問題進(jìn)行了詳細(xì)的參數(shù)化分析, 這些結(jié)果有助于在實(shí)際的操控中選取合適的聲場(chǎng)和材料參數(shù)從而達(dá)到預(yù)期的操控目標(biāo).對(duì)于Gauss 聲場(chǎng)中的橢圓柱而言, 聲輻射力矩將作為驅(qū)動(dòng)力矩使其產(chǎn)生繞z軸的加速轉(zhuǎn)動(dòng).此外, 在實(shí)際情況下, 周圍流體往往是非理想的, 會(huì)對(duì)橢圓柱產(chǎn)生反向的黏滯力矩.綜上, 根據(jù)動(dòng)量矩定理不難寫出此時(shí)橢圓柱的轉(zhuǎn)動(dòng)方程:

其中Nd=fηωz是單位長(zhǎng)度橢圓柱受到的黏滯力矩[32], 其與角速度大小ωz和周圍流體的黏度η成正比;f為比例系數(shù);J為單位長(zhǎng)度的橢圓柱繞自身軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量, 其具體數(shù)值可以根據(jù)橢圓柱的長(zhǎng)短軸大小與密度計(jì)算得到.根據(jù)微分方程(27)式,可以得到轉(zhuǎn)動(dòng)角速度隨時(shí)間的變化關(guān)系.特別地,當(dāng)時(shí)間足夠長(zhǎng)時(shí), 橢圓柱受到的聲輻射力矩和黏滯力矩恰好相互抵消, 從而達(dá)到了穩(wěn)定轉(zhuǎn)動(dòng)的狀態(tài),這一穩(wěn)定轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ωzst可以通過令(27)式右邊為零得到, 其計(jì)算結(jié)果為

注意到(28)式是周圍流體黏度的顯函數(shù), 因而在已知聲輻射力矩和最終穩(wěn)定轉(zhuǎn)動(dòng)角速度的情況下可以對(duì)流體的黏度進(jìn)行反演.

4 總 結(jié)

本文從聲波的散射理論出發(fā), 利用部分波展開法將Gauss 聲束進(jìn)行級(jí)數(shù)展開, 根據(jù)剛性橢圓柱和非剛性橢圓柱表面不同的邊界條件計(jì)算得到聲散射系數(shù), 進(jìn)而給出了以任意角度入射的Gauss 聲束對(duì)無限長(zhǎng)離軸橢圓柱的聲輻射力矩解析式.在此基礎(chǔ)上, 對(duì)水中的剛性橢圓柱和PDMS-TBE 非剛性橢圓柱進(jìn)行了大量的數(shù)值仿真, 得到如下結(jié)論.

1)無論是剛性還是非剛性的情況,τz均會(huì)出現(xiàn)正值或負(fù)值, 這依賴于kb大小和橢圓柱的具體位置, 因而橢圓柱的逆時(shí)針與順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)均可以實(shí)現(xiàn).在傾斜入射的情況下, 即使橢圓柱位于聲束中心也存在不為零的聲輻射力矩.

2)對(duì)于剛性橢圓柱而言,a/b＜ 1 和a/b＞ 1時(shí)的聲輻射力矩的變化規(guī)律類似但方向相反.對(duì)于PDMS-TBE 橢圓柱而言,τz關(guān)于橢圓柱的長(zhǎng)短軸大致呈奇對(duì)稱, 并且其峰值與不同階的共振散射模式一一對(duì)應(yīng).在低頻范圍內(nèi), 剛性橢圓柱的τz遠(yuǎn)大于PDMS 橢圓柱.

3) Gauss 聲束的入射角度α?xí)?duì)剛性橢圓柱的聲輻射力矩產(chǎn)生顯著影響, 但PDMS-TBE 橢圓柱的聲輻射力矩與聲場(chǎng)頻率有更密切的依賴關(guān)系,而與α則幾乎無關(guān).隨著束腰半徑kW0的增加, 橢圓柱的散射截面隨之增大, 從而增加了τz大小.

4)橢圓柱本身的聲吸收效應(yīng)會(huì)使高頻范圍內(nèi)的聲輻射力矩略微減小.對(duì)于實(shí)際情況下非理想流體中的橢圓柱而言, 在聲輻射力矩和周圍流體黏滯力矩的共同作用下, 可以根據(jù)橢圓柱最終穩(wěn)定轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ωzst反演出流體的黏度η.

本研究結(jié)果預(yù)期可以為粒子的聲操控特別是實(shí)現(xiàn)粒子的可控旋轉(zhuǎn)、無容器測(cè)量技術(shù)提供理論指導(dǎo), 在醫(yī)學(xué)超聲、材料科學(xué)等領(lǐng)域具有潛在的應(yīng)用價(jià)值.