單軸晶體表面的反射和透射規(guī)律研究

黎昌金, 陳小云, 王登輝

(內(nèi)江師范學(xué)院 a.評估處 b.物理與電子信息工程學(xué)院， 四川 內(nèi)江 641100)

0 引言

近年來，關(guān)于電磁波在單軸晶體中的傳輸特性的研究越來越廣泛[1-5]，同時，電磁波從各向同性介質(zhì)入射到單軸晶體界面時反射與透射規(guī)律的研究備受關(guān)注.一些學(xué)者對雙折射中非常光的傳播方向進行了討論[6-8]，非常光的性質(zhì)也使得菲涅爾公式和反射率與透射率的計算變得復(fù)雜，國內(nèi)外研究人員研究了光軸任意取向等情況下的反射系數(shù)和透射系數(shù)[9-11]、反射率和透射率[12-14]的表達式，但這些研究主要是在近軸條件下進行的且沒有給出反射光和透射光嚴格具體解析表達式.本文基于麥克斯韋方程組給出了沒有近似條件下反射光和透射光的解析表達式，進一步研究反射和透射規(guī)律，并對反射率和透射率進行數(shù)值仿真，并加以分析和討論，得到了一些有用結(jié)論.

1 單軸晶體中的本征平面電磁波解

取介質(zhì)表面法向沿z軸，選取入射面為xz平面，則波矢量k將只有xz分量.設(shè)介質(zhì)中平面電磁波解為：

[E,σ0H]=
[ex,ey,ez,-hx,hy,hz]exp[ik0(α0x+γz)-iωt]，

(1)

式中：ex,ey,ez,hx,hy,hz是晶體的本征電磁波分量，下標x,y,z表示方向.σ0是波阻抗，引入它是為了使ey,hy具有相同的量綱，從而簡化以后的表述.hx前的“-”號可以使后面的本征值方程具有一定的對稱性.k0α0,k0γ分別為波矢量在x,z方向上的分量,ω為固定電磁波的圓頻率.σ0,ω和α0是已知量，根據(jù)邊界條件，可由入射電磁波得到.ex,ey,ez,hx,hy,hz為晶體的本征電磁波分量大小，γ,ex,ey,ez,hx,hy,hz是待求未知量.

在光學(xué)范疇中，晶體是非鐵磁性物質(zhì)，對磁場不呈現(xiàn)各向異性.所以單軸晶體的磁導(dǎo)率張量在主軸坐標系下和非主軸坐標系下的張量矩陣相等且為單位對角矩陣.單軸晶體中的平面電磁波解滿足的麥克斯韋方程組和媒質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系，在光波傳播的空間即遠離輻射源的區(qū)域，不存在自由電荷與傳導(dǎo)電流(J=0)，于是把式(1)代入麥克斯韋方程組化簡得到γ,ex,ey,ez,hx,hy,hz滿足的方程為

(2)

式中：ε11,ε12,ε13,ε22,ε23,ε33為單軸晶體在非主軸坐標系下介電常數(shù)的各個分量大小，滿足

(3)

(4)

消去式(2)中ez,hz后，整理得到ex,ey,hy,hx滿足的本征值方程為：

(5)

它是一個4×4的矩陣本征值方程.在一般情況下，式(5)的本征值難以用解析式來表達，但易于采用成熟的本征值數(shù)值計算程序獲得.在不是全反射的情況下，其本征值必為兩正兩負的實數(shù)，因為它在物理上對應(yīng)于兩個順著z軸的上行波和兩個逆著z軸的下行波.設(shè)求得的本征值γ和本征矢量W分別為

(6)

(7)

式中：γj對應(yīng)于本征矢量矩陣W中第j列的本征矢量，其分別表征電磁場的對應(yīng)方向上的傳輸波矢；W表征透射波的本征橫向電磁波解.4個本征值對應(yīng)著四個獨立的模式場，且在反射和透射空間中，電磁場都可以表示為四種基本模式場的疊加形式.因此電磁場的橫向分量表示成

(8)

式中：u1,u2分別表示基本模式場上行波的振幅系數(shù)；d1,d2分別表示基本模式場下行波的振幅系數(shù).當界面兩側(cè)的介質(zhì)確定后，振幅系數(shù)和本征電磁波分量也確定，兩者結(jié)合即為具體的橫向電磁波分量.將式(7)代入式(2)可得四個獨立的模式場的本征縱向分量解.在各向異性介質(zhì)中各有兩個上行波和下行波，所以通常把它分為Ι型波和ΙΙ型波，但是在各向同性介質(zhì)中各自兩種電磁波退化為一種.在單軸晶體中本征值為正對應(yīng)的兩個模式場分別為o光和e光，在這里定義γ1和γ2對應(yīng)的電磁波分別為o光和e光，γ1和γ2對應(yīng)的電磁波分別為垂直自己主平面和在自己主平面內(nèi)的Ι型波和ΙΙ型波.

2 各向同性晶體入射到單軸晶體表面的反射和透射行為

設(shè)入射波一側(cè)是各向同性晶體，入射電場強度方向與入射面的夾角為ψ，入射角為θ，如圖1所示.

圖1 向同性晶體入射到單軸晶體表面的光路示意圖

設(shè)單位入射線偏振波的電場強度可表示成

(9)

(10)

式中：ε是各向同性晶體的介電常數(shù).通過求解本征值方程得到各向同性晶體滿足的本征值和本征矢量的解析表達式分別為

(11)

(12)

(13)

(14)

為了便于計算和物理分析，定義反射系數(shù)陣R和透射系數(shù)陣T：

(15)

式中：R代表入射一側(cè)電磁波的反射系數(shù)陣;Rps代表入射的s波反射到反射的p波的系數(shù)，類比可得到其他反射系數(shù)的物理意義;T代表入射一側(cè)的電磁波透射到另一側(cè)的電磁波的透射系數(shù)陣;T1p代表入射的p型波透射到透射的Ι型波的系數(shù)，類比可得到其他透射系數(shù)的物理意義.

利用式(15)，注意到d1=d2=0，于是式(14)改寫成另外形式的橫向分量方程組為

(16)

式中，未知量較多且不知是否為0，討論其解析解相對困難，但當入射介質(zhì)、透射介質(zhì)，入射光確定后，易于采用計算機程序計算得到反射系數(shù)和透射系數(shù).

根據(jù)界面兩側(cè)的本征值方程得到入射區(qū)域和透射區(qū)域的電磁場的橫向分量解為：

(17a)

(17b)

(17c)

由式(7)和式(17a)可得

(18)

(19)

單軸晶體中e光傳播方向不一定在入射面內(nèi)，e光的折射率相對復(fù)雜，本文不作討論.而o光傳播方向與波法線方向相同，即光的折射率與各向同性介質(zhì)中計算無異.設(shè)單軸晶體中o光的折射角為θ1，則

(20)

于是單軸晶體中o光的折射率為

(21)

定義反射率和透射率分別為反射能流的分量的時間平均值和透射能流分量的時間平均值與入射能流分量的時間平均值之比，根據(jù)電磁波能流密度分量的平均值計算公式，可得

(22)

歐拉旋轉(zhuǎn)可以改變單軸晶體取向，根據(jù)本文的旋轉(zhuǎn)定義，歐拉角Φ和Θ改變光軸的取向，Ψ改變除光軸的另外兩個主軸的取向問題.文獻[12]中并沒有考慮另外兩個主軸繞光軸旋轉(zhuǎn)對反射和透射規(guī)律的影響.圖2和圖3采用與文獻[14]相同的參數(shù)下，改變Ψ的角度，對比發(fā)現(xiàn)繞光軸旋轉(zhuǎn)，對反射率無影響，但對透射率的影響較大;Ψ=0o時即入射波電矢量平行于界面，反射率ηs始終為0;在θ=58.54o有ηp=ηs=ζe=0，此時透射率ζo達到最大值1;在θ∈(58.54°,90°)ηp=ζe=0，此時反射波和透射波能量互補，透射波只有o光.少有學(xué)者具體詳細討論入射波電矢量對光波規(guī)律的影響，對比圖2和圖4發(fā)現(xiàn)，ψ角的改變即入射波電矢量方向的改變對光波規(guī)律影響較大;Ψ=90o時即入射波電矢量平行于界面，反射率ηp始終為0，在θ∈(58.54°,90°)ηp=ζe=0，此時反射波和透射波能量互補，透射波只有e光.對比圖2、圖4和圖5可發(fā)現(xiàn)入射波電矢量不平行于界面或者不垂直于界面時，反射波平行分量始終為0.

圖2 ψ=0o,Φ=40o,Θ=45o,Ψ=45o時反射率和透射率隨入射角變化的曲線圖

圖3 ψ=0o,Φ=40o,Θ=45o,Ψ=25o時反射率和透射率隨入射角變化的曲線圖

圖4 ψ=90o,Φ=40o,Θ=45o,Ψ=45o時反射率和透射率隨入射角變化的曲線圖

圖5 ψ=35o,Φ=40o,Θ=45o,Ψ=45o時反射率和透射率隨入射角變化的曲線圖

3 結(jié)束語

研究了平面電磁波從各向同性介質(zhì)入射到單軸晶體表面時，界面兩邊的光波具體表達式，給出了反射率和透射率的解析表達式.本文選取方解石為對象，數(shù)據(jù)結(jié)果表明反射波和透射波滿足能量守恒定律.當晶體繞光軸旋轉(zhuǎn)時，反射率不受影響，而透射率影響較大.當入射波電矢量方向改變時，反射率和透射率都要發(fā)生改變.在一定條件下不僅可以實現(xiàn)光波選擇，而且可實現(xiàn)偏振分離，偏振度可達到90%.本文的研究理論更加的嚴格和完善，得到的公式更具普遍性.

本文的研究方法還可用于研究透射波的傳播方向，折射率等其他物理性質(zhì)，但需要考慮歐拉角和入射角的關(guān)系.研究方法也同樣適用于雙軸晶體，但由于計算機求解本征值方程時，本征值矩陣的結(jié)果具有隨機性，分辨兩種透射光對應(yīng)的本征值相對困難，有待進一步研究.