利用“對稱美”探究解題思路示例

張 昆， 羅增儒

(1.淮北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 安徽 淮北 235000； 2.陜西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息學(xué)院， 陜西 西安 710061)

在探究數(shù)學(xué)問題解題思路的教學(xué)活動中，啟發(fā)學(xué)生萌生指令操作具體行為活動的“念頭”(一種起始性的數(shù)學(xué)觀念)非常重要，除了經(jīng)驗(yàn)提供的再生性思維[1]具有直覺性提示的“念頭”以外，往往還需要創(chuàng)造性思維支持的全新“念頭”的出現(xiàn)，才能較好地獲得解決問題的思路.那么，這種由創(chuàng)造性思維所萌生的“念頭”出自于哪些心理活動過程呢？在探究不等式證明思路的教學(xué)設(shè)計及其課堂實(shí)施中，如何啟發(fā)學(xué)生通過創(chuàng)造性思維萌生指導(dǎo)學(xué)生操作行為的合適“念頭”呢？這里從“對稱美”審美意向的內(nèi)涵展開教學(xué)設(shè)計及其課堂實(shí)施研究.

1 “對稱美”的內(nèi)涵及其在數(shù)學(xué)中的體現(xiàn)

提起“對稱美”，直覺的理解需要借助于空間圖形形象的幫助，但這種直覺并不能很好地達(dá)到本質(zhì)認(rèn)識.關(guān)于“對稱美”，其源頭出于黑格爾在《美學(xué)》中的論述，“美就是理念的感性顯現(xiàn)”[2]148.黑格爾在論述抽象形式美時，他將美的要素分類為整齊一律、平衡對稱、符合規(guī)律與和諧這四種具體形式.他指出，“平衡對稱脫胎于整齊一律，并不只是一種抽象地一致的形式，而是結(jié)合到同樣性質(zhì)的另一種形式，這另一種形式但就它本身來看，也還是一致的，但是和原來的形式比較起來卻存在不一致的因素，由于這種結(jié)合，就必然有了一種新的、得到更多定性的，更復(fù)雜的一致性和統(tǒng)一性的結(jié)果”[2]174.由此認(rèn)識到，“對稱美”是主體審美意向賦予了外在信息內(nèi)容以四種美的具體形式中的一種形式.

整齊一律是指反映到主體意識結(jié)構(gòu)中的對象信息輪廓中，具有對于某一個環(huán)節(jié)的重復(fù)性與依賴性的特點(diǎn).例如，當(dāng)投一枚石子進(jìn)入一個水面平靜的池塘?xí)r，石子所引發(fā)的圈圈漣漪，就具有這種重復(fù)性與依賴性的特點(diǎn).那些難以出現(xiàn)重復(fù)性特點(diǎn)的信息元素中可能存有平衡對稱的特點(diǎn)，平衡對稱不再像石子投入水面平靜的池塘?xí)r所引發(fā)起的漣漪那樣具有不斷重復(fù)擴(kuò)展的性態(tài)，而是形成了信息元素的某些獨(dú)立性的特點(diǎn).平衡對稱表現(xiàn)為在某個局部整體中的信息要素滿足一定條件的成對出現(xiàn)，這個條件的直觀理解在于成對出現(xiàn)的信息要素中的一個信息點(diǎn)構(gòu)成了另一個信息點(diǎn)的心理“鏡像”形式，“對稱美”就蘊(yùn)含于這種理念中.

將黑格爾平衡對稱所形成的“對稱美”理念應(yīng)用于數(shù)學(xué)教學(xué)中，許多老師已經(jīng)做了不少工作.但是，其基礎(chǔ)性觀念就是借助于信息的這種“鏡像”的直觀形式.在數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計及其課堂實(shí)施領(lǐng)域，一系列的研究成果都只是基于這種“鏡像”形式的“對稱”，到此便停止了，沒有再向前深入一步.

例如，黃美蓮[3]指出“教師首先要引導(dǎo)學(xué)生正確領(lǐng)悟數(shù)學(xué)中數(shù)字的對稱美、圖形的對稱美、公式的對稱美,以及形式和結(jié)構(gòu)的對稱美；引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會利用數(shù)學(xué)本身的對稱來為數(shù)學(xué)問題提供解題條件”.黃老師將關(guān)于空間圖形直觀形式的“對稱美”拓展到了數(shù)式形式上的“對稱美”，增加了數(shù)學(xué)“對稱美”的內(nèi)容，相應(yīng)地增強(qiáng)了“對稱美”的功效.

唐金波等[4]主要從理論上提出了關(guān)于“對稱美”審美意向的教學(xué)價值，不過，他們也是從數(shù)學(xué)“對稱美”的“鏡像”形式出發(fā)的，強(qiáng)調(diào)了其客觀性的一面.其他相關(guān)文獻(xiàn)也都基本上是從“鏡像”形式出發(fā)，討論數(shù)學(xué)教學(xué)中的“對稱美”的，這里不再一一羅列.

因此，這些研究成果都沒有揭示出“對稱美”在數(shù)學(xué)中所使用的符號形式的信號提示，遑論利用信號提示，啟發(fā)學(xué)生從中萌生探究解決數(shù)學(xué)問題思路的思維動力.因此，這是本研究的著力點(diǎn)之所在.

由于數(shù)學(xué)知識的特點(diǎn)主要是通過概念及其表達(dá)所使用的符號作為載體，用以刻畫空間形式或數(shù)量關(guān)系的結(jié)構(gòu)，以反映主體的認(rèn)識及其結(jié)果.因此，在寫成結(jié)論的數(shù)學(xué)表達(dá)中，作為反映客觀世界中的空間形式或數(shù)量關(guān)系的具體符號表達(dá)式，所形成的數(shù)式結(jié)構(gòu)的這種平衡對稱的獨(dú)立性是非常容易得到體現(xiàn)的.

在數(shù)學(xué)解題及其教學(xué)中，在探究數(shù)學(xué)問題所提供的外在信息時，解題主體通過選擇某些必要的信息元素，組織成信息輪廓，據(jù)此輪廓賦予這些信息要素以具體的知識結(jié)構(gòu)意義，與生俱來或通過后天培育發(fā)展起來的審美意向(將信息元素按照解題主體所形成的理念塑造信息要素組成輪廓的心理內(nèi)驅(qū)力)起著非常重要的作用[5].因此，主體在處理信息時總是從自己已經(jīng)掌握了的某種理念出發(fā)，希冀把外在信息元素組織成符合審美心理內(nèi)驅(qū)力的輪廓結(jié)構(gòu)，當(dāng)主體的這種心理內(nèi)驅(qū)力消解完畢時，審美意向的作用也就結(jié)束了，有價值的解決問題思路也就應(yīng)該隨之出現(xiàn)了.

在使用分解、排列、組合等結(jié)構(gòu)性手段處理數(shù)學(xué)問題提供的信息時，由聯(lián)想或想象補(bǔ)充原始信息的不足之處，解題主體在智囊中所形成的“念頭”非常重要，這些“念頭”構(gòu)成了指令解題主體操作信息行為的數(shù)學(xué)觀念，構(gòu)成了探究數(shù)學(xué)問題解決思維動力的主導(dǎo)性因素.在真實(shí)的思維活動過程中，經(jīng)驗(yàn)、聯(lián)想、想象、審美等思想要素都是形成“念頭”時思維展開的原始動力[6].由此可知，在探究較為困難的數(shù)學(xué)問題解題思路時，解題主體的審美意向?qū)⒅苯悠鹬浅Ｖ匾淖饔?

因此，作為形式美的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)中的平衡對稱性的特點(diǎn)，是經(jīng)過“人化”了的抽象產(chǎn)物，是運(yùn)用符號(或圖形)語言表示出來的.在這些符號與圖形中，存在具有作為審美意向信號的表征性符號，例如，“等號”“不等號”所連接的等式、不等式兩邊所形成的對稱形式，“分?jǐn)?shù)線”所連接的分子分母的對稱形式等.這是因?yàn)閿?shù)主要是用符號語言表示客觀事物的空間形式與數(shù)量關(guān)系，因此，符號形式表達(dá)的平衡對稱所定性的地方，正是客觀事物本身所定性的結(jié)果，也就是以外在的不能顯出主體的生氣灌注作用的客觀形式為基礎(chǔ)，通過表達(dá)數(shù)學(xué)概念與知識的符號將其轉(zhuǎn)化為主體生氣灌注的主觀形式.當(dāng)主觀形式正確地表達(dá)或反映了客觀形式時，兩種形式的同一[7]且使用合適符號的正確表達(dá)就建立起了標(biāo)準(zhǔn)化的數(shù)學(xué)知識.

因此，在具體的數(shù)學(xué)知識中，平衡對稱的形式要素俯拾皆是，圖形結(jié)構(gòu)形式中的平衡要素對稱自不必說，數(shù)式結(jié)構(gòu)形式中的平衡對稱也是非常多的.例如，除了上面所述的等號、不等號與分?jǐn)?shù)線構(gòu)成形式“對稱性”的信號外，還有互為相反數(shù)；“函數(shù)”與“自變量”的對稱形成的“反函數(shù)”概念；偶函數(shù)定義中的f(-x)=f(x)等，都是“對稱美”所具有的信號性體現(xiàn).這些信號就會提示數(shù)學(xué)解題主體萌生“對稱美”審美意向,形成探究問題思路的心理內(nèi)驅(qū)力.“對稱美”審美意向的不斷實(shí)現(xiàn)過程，就是解題主體心理內(nèi)驅(qū)力的不斷釋放與消解過程.

2 利用“對稱美”審美意向探究不等式證明思路示例

由于學(xué)生來自于基因遺傳或經(jīng)受后天訓(xùn)練所萌生與定型了的“對稱美”審美意向的作用，當(dāng)其面臨外在數(shù)學(xué)化信息時，就會立即自覺地利用這種整齊一律、平衡對稱、符合規(guī)律或和諧等的審美意向作用于這些信息，指導(dǎo)學(xué)生選擇某些信息要素組織成符合這幾種美所定型的形式中的某一種形式.如此將這些信息因素組織成或大或小的輪廓，這就形成了解題主體的心理內(nèi)驅(qū)力，這種心理內(nèi)驅(qū)力轉(zhuǎn)化為探究解決數(shù)學(xué)問題思路的思維動力，隨著信息因素組織得符合解題主體的審美理念的逼真程度一步步深入，這種心理內(nèi)驅(qū)力得以不斷地消解與釋放，往往解決問題所需要的思路就會出現(xiàn)了[8].這里主要以平衡對稱所體現(xiàn)的“對稱美”審美意向?yàn)槔f明其在探究一類不等式證明思路中的應(yīng)用.

生：……(省略號表示學(xué)生的思維暫時中斷，下同)

師：大家仔細(xì)觀察，不等式①具有怎樣的特點(diǎn)？

生1：不等式①的左邊是一個(n-1)項(xiàng)和的代數(shù)式形式，而右邊是只有一項(xiàng)的具體代數(shù)式的形式.

師：生1準(zhǔn)確地把握了不等式①表現(xiàn)形式的具體特點(diǎn).那么如何利用這種特點(diǎn)，探求證明不等式①的思路呢？

生2：如果通過計算不等式①左邊的(n-1)項(xiàng)和，從中得到具體的計算結(jié)果，那就只要比較這個結(jié)果與lnn的大小就行了.可惜，我不能計算出不等式①左邊的一個具體結(jié)果.

師：一種好想法.生2的這種想法雖然找不到計算不等式①的左邊得到具體結(jié)果，但是分析這種想法的來源可能是有價值的.生2的想法是源于不等式①中不等號所連接的兩邊代數(shù)式應(yīng)該具有同樣的特點(diǎn)，不等式①的右邊是一項(xiàng)，那么不等式①的左邊也應(yīng)該是一項(xiàng).這是由不等號連接的兩邊代數(shù)式具有“對稱性”特點(diǎn)所決定的.這種“對稱性”對于萌生探究解題思路的新想法有幫助嗎？

生3：由不等式①中不等號連接的兩邊代數(shù)式具有這種“對稱性”形式特點(diǎn)可知，雖然不等式①的左邊不能通過具體計算得到一項(xiàng)代數(shù)式，但是可否將不等式①右邊的lnn寫成一個數(shù)列的前(n-1)項(xiàng)和的形式呢？如果可以的話，那也就滿足了不等號連接的兩邊具有“對稱性”形式特點(diǎn).

注：在啟發(fā)學(xué)生探究證明不等式①的思路時，數(shù)學(xué)教師不能將這種以不等號為指示信號的“對稱性”直接地奉獻(xiàn)給學(xué)生，那樣，學(xué)生就不能萌生“對稱美”審美意向的心理源頭及其產(chǎn)生的有效作用，不能感受自己在探究思路時啟動思維與思維逐步推進(jìn)過程中的由原始動力及其產(chǎn)生后述每個環(huán)節(jié)的思維動力的次第展開的心路歷程[9].教學(xué)設(shè)計及其課堂實(shí)施活動應(yīng)該從學(xué)生最為原始的“念頭”就是計算不等式①左邊(n-1)項(xiàng)的和所得到的具體結(jié)果，如所知，通過評價與審視求這個(n-1)項(xiàng)的和的心理原因，而揭示出“對稱美”的審美意向的心理內(nèi)驅(qū)力,為生3發(fā)生這種心理內(nèi)驅(qū)力的“逆向”轉(zhuǎn)移奠定了基礎(chǔ).這是數(shù)學(xué)教師必須要認(rèn)識到的并充分認(rèn)識到的.

師：生3的這種想法可以實(shí)現(xiàn)嗎？

注：在探究這道題的證明思路時，組織不等式①所提供的外在信息的特點(diǎn)就在于使用“對稱美”審美意向，就是說，不等式①所呈現(xiàn)的形式目前不具有“對稱美”的特點(diǎn)，而不等號連接的兩邊代數(shù)式應(yīng)該具有“對稱性”的特點(diǎn)，這就萌生了將不具有“對稱性”形式特點(diǎn)的代數(shù)式轉(zhuǎn)化具有“對稱性”形式特點(diǎn)的代數(shù)式的“對稱美”審美意向，由此而生成了探究解題思路的啟動思維與維持思維進(jìn)展的心理內(nèi)驅(qū)力，這種心理內(nèi)驅(qū)力對于思維的定向、序化都具有非常重要的作用.

與此同時，由于解題主體長期數(shù)據(jù)、數(shù)式計算的經(jīng)驗(yàn)的浸潤，在認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已經(jīng)形成了“化簡”的強(qiáng)烈數(shù)學(xué)意識，他們在消解關(guān)于不等式①的“對稱美”審美意向所形成的心理內(nèi)驅(qū)力時，自然而然地就會聯(lián)想到將不等式①的左邊通過具體計算變成一項(xiàng)的結(jié)果，從而與不等式①右邊的一項(xiàng)形式形成了“對稱性”，可惜這種想法不能經(jīng)由計算達(dá)到目的[10].而生3卻在這種“對稱性”的啟發(fā)下，想到了把不等式①的右邊轉(zhuǎn)化為某個數(shù)列的前(n-1)項(xiàng)和的形式，這是可以達(dá)到目的的，為生4獲得問題解決思路的指令行為的“念頭”提供了關(guān)鍵性環(huán)節(jié)的支點(diǎn).

生5：不等式⑦的左邊是一個(n-1)項(xiàng)的和的形式，可是不能經(jīng)由具體計算途徑，將其轉(zhuǎn)化為一項(xiàng)的結(jié)果.又由于不等號連接的兩邊具有“對稱性”特點(diǎn)，據(jù)此希望試探將不等式⑦的右邊的這個具體常數(shù)1轉(zhuǎn)化為一個數(shù)列的前(n-1)項(xiàng)和的形式表達(dá)式.如此，設(shè)

兩式相減，得an=0⑧.

師：怎么辦？

生：……

師：需要檢視不等式⑦與不等式①所存在的不同點(diǎn)，然后對癥下藥，從而探究解決問題的思路.對此，大家有什么意見？

生6：我發(fā)現(xiàn)不等式①與⑦的左邊的值隨著n的變化而變化，不等式①右邊也應(yīng)該隨著n的變化而變化,而不等式⑦的右邊卻是不能產(chǎn)生變化的一個常數(shù)1，因此出現(xiàn)了⑧式這種結(jié)論.這個⑧式對于發(fā)現(xiàn)這道題的解題思路沒有幫助.我認(rèn)為，可能正是不等式⑦的左、右邊兩邊代數(shù)式的不同形式的性質(zhì)特點(diǎn)導(dǎo)致了這種方法行不通.

注：不等式⑦的形式不能消解“對稱美”審美意向所萌生的心理內(nèi)驅(qū)力，這是因?yàn)椴坏仁舰叩淖筮吺且粋€具有以n為自變量的代數(shù)式的形式特點(diǎn)，而其右邊卻是一個具體的常數(shù)1的形式特點(diǎn)，這就會導(dǎo)致解題主體萌生了將不等式⑦的左邊通過計算轉(zhuǎn)化為一個常數(shù)，或者將其右邊常數(shù)轉(zhuǎn)化為一個以n為自變量的代數(shù)式，這是一種由“對稱美”審美意向所萌生的心理內(nèi)驅(qū)力，這種心理內(nèi)驅(qū)力就是探究這道題解題思路的最主要的思維原動力之一.筆者的教學(xué)設(shè)計及其課堂實(shí)施的主要依據(jù)，就在于一步一步地啟發(fā)學(xué)生的這種推動思維展開的原動力的實(shí)現(xiàn).

師：生6發(fā)現(xiàn)的結(jié)論應(yīng)該很有價值.由于不等式的左邊的變量不可能自行消失，所以它就不可能轉(zhuǎn)化為一個常數(shù).那么由于不等號連接的兩邊代數(shù)式的“對稱性”特點(diǎn)，不等式⑦的右邊這個常數(shù)1，能夠轉(zhuǎn)化為一個隨著n的變化而變化的代數(shù)式嗎？

注：對于不等式⑨可以看做是不等式⑦的一個“加強(qiáng)不等式”的形式.如所知，這種“加強(qiáng)不等式”概念及其決定了產(chǎn)生解題思路的方法也是具體的實(shí)際問題所引起的.這是數(shù)學(xué)教師在教學(xué)設(shè)計及其課堂實(shí)施中，必須要注意的問題，通過在“真刀實(shí)搶”的探究不等式證明思路的過程中，滲透具體的“加強(qiáng)不等式”的數(shù)學(xué)意識及其形成的具體方法.數(shù)學(xué)教師可以指出，在生7所使用的這種探究證明不等式⑦的證明思路時，采用的就是一種“加強(qiáng)不等式”的途徑，當(dāng)然，學(xué)生盡管沒有這樣的語言表示，實(shí)際上是在執(zhí)行“加強(qiáng)不等式”的數(shù)學(xué)觀念，它對于某些類型的問題是一種必要的方法.

師：好想法！那么這個X應(yīng)該是什么樣的具體代數(shù)式呢？

生8：選擇使用

如此，數(shù)學(xué)教師必須認(rèn)識到，在自己的教學(xué)設(shè)計及其課堂實(shí)施中，應(yīng)該通過對教學(xué)內(nèi)容的認(rèn)真分析，多角度的精心思考，依據(jù)其具體特點(diǎn)仔細(xì)甄選，利用合適的教學(xué)素材(如本文中的例1、例2)，幫助學(xué)生揭開這層面紗.如此，竭盡所能地鼓勵學(xué)生認(rèn)識到，將這種“求繁”過程轉(zhuǎn)化為與“化簡”過程一樣地平常，這對于探究一類問題解題思路，具有很好的教學(xué)價值[12].

3 結(jié)束語

數(shù)學(xué)解題主體在處理數(shù)學(xué)問題所提供的數(shù)學(xué)化信息時，它總是使用已經(jīng)掌握了的數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)知識(公式、定理、法則、方法、思想等)作為封裝已知信息的范疇性框架，由這個范疇性框架賦予外在信息以意義，從中獲得數(shù)學(xué)問題解決的思路.在選擇使用某個范疇性框架賦予外在數(shù)學(xué)化信息以意義時，對于一類問題，“對稱美”審美意向所萌生的心理內(nèi)驅(qū)力，形成了探究解題思路的初始的維持與不斷展開的思維動力.