簡約深刻，螺旋上升
2021-05-04 09:44:53劉東升
教育研究與評論(課堂觀察) 2021年1期
摘要：針對在七年級上學(xué)期期中（末）復(fù)習(xí)階段，很多數(shù)學(xué)教師選取大量數(shù)軸綜合題進行備考訓(xùn)練，其中包含不少難度頗大的問題這一現(xiàn)象，根據(jù)數(shù)軸的有關(guān)內(nèi)容是簡約而深刻的，教學(xué)應(yīng)該基于學(xué)情螺旋上升這樣的理解，開設(shè)《數(shù)軸的再認識》專題復(fù)習(xí)課，重點引導(dǎo)學(xué)生打通絕對值的幾何意義、數(shù)軸上兩點之間的距離公式、線段的中點公式、定比分點公式等的聯(lián)系，為解決“雙動點”等綜合問題做好鋪墊;同時滲透數(shù)形結(jié)合、分類討論、“序”等思想方法，幫助學(xué)生從“會解一道題”走向“學(xué)會解題”。
關(guān)鍵詞：簡約深刻;螺旋上升;《數(shù)軸的再認識》;專題復(fù)習(xí)課
在七年級上學(xué)期期中（末）復(fù)習(xí)階段，很多數(shù)學(xué)教師會選取大量數(shù)軸綜合題進行備考訓(xùn)練。其中有一類數(shù)軸上的“雙動點”問題是近年來各個“名校”模擬考試或縣區(qū)期中（末）考試中多見的考題，難度頗大，比如：
如圖1，已知A、B、C是數(shù)軸上的三點，O為原點，點A表示的數(shù)為-12，點B表示的數(shù)為8，點C為線段AB的中點。點P從點A出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿數(shù)軸向右勻速運動，同時，點Q從點B出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運動;當(dāng)P、Q相遇時，兩點都停止運動。設(shè)運動時間為t（t>0）秒，則當(dāng)t為何值時，P、Q、C三點中恰好有一點是以另外兩點為端點的線段的三等分點。
題海戰(zhàn)術(shù)常讓優(yōu)秀學(xué)生“空轉(zhuǎn)”，而沒有鋪墊、難度較大的綜合題常讓一些適應(yīng)性不好的學(xué)生疲于應(yīng)付，沒有因為大量訓(xùn)練而提高解題能力。
針對這一現(xiàn)象，筆者根據(jù)自己對數(shù)軸有關(guān)內(nèi)容及其教學(xué)的理解，開設(shè)了一節(jié)《數(shù)軸的再認識》專題復(fù)習(xí)課。
一、教學(xué)內(nèi)容思考
學(xué)生進入初中后，學(xué)習(xí)的數(shù)的范圍首先擴充為有理數(shù)。為了研究有理數(shù)的相關(guān)概念及運算，人教版教材基于溫度計，抽象出一個重要的工具：數(shù)軸。同時，給出了數(shù)軸的要素：原點、正方向和單位長度。指明了數(shù)軸的作用：實現(xiàn)數(shù)與形的一一對應(yīng)，從而借助形直觀地表示數(shù)的問題，借助數(shù)精確地研究形的問題。實際上，數(shù)軸這個工具不但在定義相反數(shù)和絕對值、研究有理數(shù)的運算時有著不可替代的作用，而且能夠用來比較有理數(shù)的大小、表示不等式（組）的解集。此外，數(shù)軸體現(xiàn)了解析幾何的數(shù)形結(jié)合思想，可以升維推廣為平面直角坐標(biāo)系、空間直角坐標(biāo)系，進而研究解析幾何問題（包括函數(shù)圖像問題），這對數(shù)學(xué)的發(fā)展起了重要作用。其中一個重要的問題就是兩點關(guān)系和三點關(guān)系問題，具體表現(xiàn)為兩點之間的距離和線段分點的表示。利用數(shù)軸可以得到兩點之間的距離（坐標(biāo)）公式，在此基礎(chǔ)上可以得到線段中點、三等分點、四等分點……n等分點的（坐標(biāo)）表示公式，這為高中學(xué)習(xí)平面解析幾何（乃至空間解析幾何）中的兩點之間距離公式、線段定比分點公式做了重要鋪墊。由上述分析可知，數(shù)軸的有關(guān)內(nèi)容是簡約而深刻的，即上手容易，但“聯(lián)通八方”。
對于這樣的教學(xué)內(nèi)容，教學(xué)時要把握好“度”，特別是要注意在不同的階段，基于學(xué)情，相機拓展，螺旋上升。具體來說，對于數(shù)軸的有關(guān)內(nèi)容，在“有理數(shù)”一章新授課上，只要讓學(xué)生掌握教材的要求，而不要急于拓展與提升;在“有理數(shù)”章末復(fù)習(xí)課上，可以對數(shù)軸及其相關(guān)概念（相反數(shù)、絕對值、有理數(shù)的運算、有理數(shù)的大小比較）做梳理，引導(dǎo)學(xué)生利用絕對值的幾何意義，得出數(shù)軸上兩點之間的距離公式;在“一元一次方程”一章學(xué)習(xí)等式的性質(zhì)，且在“幾何圖形初步”一章引入線段中點的概念后，可以進一步組織學(xué)生利用數(shù)軸上兩點之間的距離公式，得出線段的中點公式;而在七年級上學(xué)期期末復(fù)習(xí)階段，可以整合數(shù)軸上線段的中點、三等分點、四等分點等，引導(dǎo)學(xué)生探究關(guān)聯(lián)（七年級上學(xué)期的）有理數(shù)、整式加減、一元一次方程、幾何圖形初步等內(nèi)容的綜合題。
二、教學(xué)流程設(shè)計
（一）復(fù)習(xí)數(shù)軸及相關(guān)知識
問題1如圖2，請同學(xué)們回顧數(shù)軸的定義及相關(guān)知識。
學(xué)生復(fù)述數(shù)軸的定義。教師強調(diào)數(shù)軸的三要素，然后引導(dǎo)學(xué)生回顧相關(guān)概念，比如相反數(shù)、絕對值，再如運用數(shù)軸理解有理數(shù)的大小比較、加減運算。由絕對值的幾何意義，引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)數(shù)軸上兩點之間的距離公式，并進一步聯(lián)想到中點公式。
（二）探究數(shù)軸上兩個定點與一個動點的問題
問題2如圖3，數(shù)軸上已知兩個確定的點A、B，對應(yīng)著兩個確定的數(shù)（請同學(xué)們假設(shè)出具體的值）。增設(shè)一個不確定的點M，對應(yīng)著一個不確定的數(shù)m。
（1）當(dāng)BM=6時，求m的值;
（2）當(dāng)點M為AB的中點時，求m的值;
（3）當(dāng)點M在線段AB上且AM=2BM時，求m的值;
（4）當(dāng)AM=2BM時，求m的值。
讓學(xué)生舉例確定數(shù)軸上點A、B對應(yīng)的兩個數(shù)（比如-3、9），就是讓學(xué)生參與設(shè)計例題或習(xí)題（提出問題），體現(xiàn)“學(xué)程重生成”的理念。在兩個定點的基礎(chǔ)上增加一個動點，四個問題的設(shè)計從距離公式的直接運用到中點公式的直接運用，再到三等分點公式的探究運用，最后到定比分點公式的討論探究運用，解題層次（思考難度）逐漸增加——當(dāng)然，學(xué)生有可能全部運用距離公式，通過解方程來解決。教學(xué)時，安排學(xué)生展示自己的解法，然后由教師點評、講解。
（三）從特殊走向一般
問題3如圖4，數(shù)軸上的點A、B分別對應(yīng)著數(shù)a、b，且a+b>0，ab<0。另有點M對應(yīng)著數(shù)m。
（1）當(dāng)M為AB的中點時，用含a、b的式子表示m;
（2）設(shè)m=3，當(dāng)M為AB的中點時，求代數(shù)式a+b+3的值;
（3）當(dāng)AM=2BM時，用含a、b的式子表示m;
（4）當(dāng)AM=3BM時，用含a、b的式子表示m;
（5）若點M到A的距離是點M到B的距離的k（k為正有理數(shù)）倍，試分析k的取值范圍與點M的個數(shù)的關(guān)系。
出示題干后，先讓學(xué)生確定原點的可能位置并說明理由，從而理解a+b>0且ab<0意味著a、b一正一負且正的絕對值大。然后，依次出示五個問題，讓學(xué)生一般地探究（第2個問題是運用）中點公式、三等分點公式、四等分點公式，直至更一般的定比分點公式。作為最一般的情況，最后一個問題是教學(xué)的重點和難點，需要引導(dǎo)學(xué)生分類討論：當(dāng)0
（四）課堂小結(jié)，布置作業(yè)
問題4（1）本節(jié)課主要復(fù)習(xí)數(shù)軸及相關(guān)概念，你對哪個概念印象更深了？說說你的理解;
（2）本節(jié)課解題過程中涉及了一些數(shù)學(xué)思想方法，你積累了哪些？舉例說說。
小結(jié)問題精準(zhǔn)針對本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，而不是百搭式的“這節(jié)課你學(xué)到了什么”“這節(jié)課你還有什么困惑”等。
在學(xué)生回答，教師總結(jié)后，加大問題難度，布置課后作業(yè)。第一題是“若a-b+2=0，請思考|a+1|和|b-1|的關(guān)系”，讓學(xué)生充分理解絕對值的幾何意義和數(shù)軸上兩點之間的距離公式的關(guān)系。第二題是文章開頭給出的“雙動點”問題，讓學(xué)生嘗試在距離公式和三等分點公式的幫助下，分類討論解有取值范圍限制的關(guān)于t的方程。
三、教學(xué)立意的進一步解讀
數(shù)學(xué)教學(xué)的內(nèi)容選取要以有利于學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)知識、感悟數(shù)學(xué)思想作為標(biāo)準(zhǔn)，而不能只是滿足于學(xué)生“細枝末節(jié)”的解題需求。因此，這節(jié)專題復(fù)習(xí)課還凸顯了這樣的教學(xué)立意。
（一）打通知識之間的聯(lián)系
在這節(jié)專題復(fù)習(xí)課之前，學(xué)生通常已經(jīng)知道絕對值的幾何意義、數(shù)軸上兩點之間的距離公式、線段的中點公式，但是，還沒有打通它們之間的聯(lián)系，也無法將它們適度推廣并靈活運用。因此，出于基于學(xué)情螺旋上升的需要，這節(jié)課首先要幫助學(xué)生打通它們之間的聯(lián)系：|a|的幾何意義是數(shù)軸上表示a的點到原點的距離，而|a|=|a-0|，將其推向一般即可得到數(shù)軸上兩點之間的距離公式;如圖5，當(dāng)AM=BM時，利用兩點之間的距離公式可得m-a=b-m，變形可得m=a+b2，即得線段的中點公式。此外，要引導(dǎo)學(xué)生逐步推廣線段的中點公式，得到線段的定比分點公式，為解決“雙動點”等綜合問題做好鋪墊。
（二）注意思想方法的滲透
數(shù)軸習(xí)題的解答過程能體現(xiàn)很多數(shù)學(xué)思想方法，教學(xué)中要注意滲透。首先是數(shù)軸自帶的數(shù)形結(jié)合思想（根據(jù)不同習(xí)題的解法特點，又可以細化為以形助數(shù)、以數(shù)馭形、數(shù)形互助）。滲透數(shù)形結(jié)合思想時，有一些細節(jié)值得說一說，比如，通常表示“形”的大寫字母寫在數(shù)軸上方，而對應(yīng)的表示“數(shù)”的小寫字母寫在數(shù)軸下方。其次是字母表示數(shù)的不確定性蘊含的分類討論思想。比如，當(dāng)一個點對應(yīng)的數(shù)沒有明確的取值限制時，需要考慮該點在數(shù)軸上可能位于原點的左邊、原點處或原點的右邊;同樣，當(dāng)一個點到某個定點的距離確定后，需要考慮該點可能在定點的左邊或定點的右邊。這些是因為初中階段研究的線段不是有向線段，并不帶有方向（線段AB與BA是同一條線段）。最后是解決問題的“序”的思想。比如，先仔細讀題，辨明已知的條件（起點），理解求解的目標(biāo)（方向），再貫通解題的路徑。而對于很多數(shù)軸綜合題，貫通解題的路徑時，一般要先明確數(shù)軸上點對應(yīng)的數(shù)（有時要用含參數(shù)的式子表示），再結(jié)合線段之間的長度關(guān)系（點間的距離關(guān)系）列出方程，最后解方程（有時要視某個參數(shù)為主元）。經(jīng)常這樣開展解題教學(xué)，就能幫助學(xué)生從“會解一道題”走向“學(xué)會解題”。
參考文獻：
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[2] 劉東升.富有趣味：數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的一種追求——以“平面直角坐標(biāo)系”新授課教學(xué)為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2020（7）.
[3] 劉東升.我們需要怎樣的“問題”驅(qū)動課堂——由美國莎維女士執(zhí)教的函數(shù)圖像課說起[J].教育研究與評論（課堂觀察），2016（11）.
[4] 劉東升.作業(yè)設(shè)計，功夫重在題外[N].江蘇教育報，20180228.
