溫度影響的軸承動態(tài)預(yù)緊耦合降維方法

閆 軒， 許 濤,2*， 曾柄杰

(1.西安工程大學(xué)機電工程學(xué)院， 西安 710600； 2.西安市現(xiàn)代智能紡織裝備重點實驗室， 西安 710600)

滾動軸承結(jié)構(gòu)簡單、質(zhì)量可靠且便于維護，是數(shù)控機床主軸功能部件的核心功能部件，溫升引起的熱膨脹現(xiàn)象嚴重影響機床主軸工作狀況，進而影響其加工精度[1-3]。軸承載荷和轉(zhuǎn)速會加劇溫升導(dǎo)致軸承磨損灼燒，進而導(dǎo)致軸承壽命降低[4]，因此摩擦溫升成為引起軸承失效的主要因素。針對該問題，近年來研究者致力于使用理論計算、三維有限元模型、理論與實驗結(jié)合方法及主軸外部冷卻等方法，研究從不同角度預(yù)測和改善熱膨脹現(xiàn)象[5-7]。溫升導(dǎo)致軸承失效加快，究其原因是高速狀態(tài)下，溫升前后軸承主要參數(shù)發(fā)生變化[8]。目前，對于軸承熱膨脹問題，絕大多數(shù)采用預(yù)測溫升和冷卻降溫，軸承參數(shù)優(yōu)化角度研究較少。軸承預(yù)緊優(yōu)化時，研究者常分析預(yù)緊力與軸承單一參數(shù)動態(tài)映射關(guān)系，但該方法難以兼顧其他參數(shù)與預(yù)緊力之間的動態(tài)關(guān)系。

現(xiàn)以電主軸常用的角接觸球軸承為對象，研究預(yù)緊力與溫升影響的軸承動態(tài)特性及動態(tài)耦合關(guān)系，采用主成分分析法對軸承預(yù)緊力與動態(tài)特性指標的影響過程實施降維。該方法的特點是通過正交變換將多種可能存在相關(guān)性變量，轉(zhuǎn)換后變量成為主成分，其選擇主成分標準一般是貢獻率大于85%[9-11]。以Jones“外軌道控制”理論為基礎(chǔ)[12]，構(gòu)建溫度影響的軸承動態(tài)性能熱力學(xué)模型，研究與軸承預(yù)緊力密切相關(guān)的主要動力學(xué)指標，為軸承預(yù)緊力優(yōu)化提供降維分析方法。

1 角接觸球軸承熱動力學(xué)模型

角接觸球軸承高速運行狀態(tài)下，滾動體動態(tài)溫升和離心力對軸承動力學(xué)特性影響大，研究人員常采用外軌道控制方法，分析軸承動力學(xué)影響規(guī)律[13]。為分析滾動體運行溫度變化對軸承系統(tǒng)的動力學(xué)影響程度，基于外軌道控制理論，考慮軸承運行溫升現(xiàn)象，構(gòu)建軸承熱影響模型，分析轉(zhuǎn)速、溫度和預(yù)緊力復(fù)合影響的軸承動力學(xué)演化規(guī)律。

1.1 高速狀態(tài)下滾動體載荷分析

軸承在高速運行時，滾動體會受到離心力和陀螺力矩雙重作用，導(dǎo)致軸承內(nèi)部受力情況發(fā)生變化。為描述軸承內(nèi)部載荷變化過程及規(guī)律，構(gòu)建一種考慮滾動體陀螺力矩和離心力的軸承動力學(xué)模型。分析高速狀態(tài)下，滾動體由于離心力和陀螺力矩作用，導(dǎo)致其與內(nèi)外軌道接觸角、接觸處力學(xué)分布及相對變形的完整變化規(guī)律。圖1所示為角接觸球軸承單個滾動體受力情況。

Fa為軸承預(yù)緊力，N；Fr為軸承徑向載荷，N；Fc為離心力，N；αi和αo分別為內(nèi)、外軌道實際接觸角，(°)；Qi和Qo分別為滾動體與內(nèi)、外軌道接觸載荷，N；Ti和To分別為滾動體與內(nèi)、外軌道切向摩擦力，N；Mg為陀螺力矩，N·mm

Qi、Qo和Fc的計算公式[14]為

(1)

(2)

Fc=π3dmρD3n3/1 080

(3)

式中：dm為軸承節(jié)圓直徑，mm；ρ為滾動體密度，kg/m3；D為滾動體直徑，mm；n為軸承轉(zhuǎn)速，r/min；Ki和Ko分別為內(nèi)、外軌道載荷-位移常數(shù)；δi和δo分別為滾動體與內(nèi)、外軌道接觸區(qū)變形量,mm。

為保證軸承高速運轉(zhuǎn)中滾動體能夠平穩(wěn)運行，圖1(a)中預(yù)緊力Fa、滾動體與外軌道相互作用力Qo和軸承徑向載荷Fr，三力需滿足三角形準則，因此，滾動體受力需滿足如下條件[15]：

Fa=Qosinαo

(4)

Fr=Qocosαo

(5)

由式(1)～式(5)可知，軸承預(yù)緊力Fa與內(nèi)外軌道接觸角αi(o)、離心力Fc密切相關(guān)。其中離心力變化主要由于速度改變，接觸角變化也是由于軸承轉(zhuǎn)速增加。因此，軸承在高速狀態(tài)下，轉(zhuǎn)速和預(yù)緊力影響不可忽視。為保證軸承系統(tǒng)能夠正常運行，預(yù)緊力需同轉(zhuǎn)速和荷載共融匹配。

1.2 溫度對軸承滾動體影響分析

如圖2所示，當(dāng)軸承載荷為零時，內(nèi)、外軌道曲率中心為L,其中L=ri+ro-D(ri和ro分別為內(nèi)、外軌道曲半徑，mm)。在預(yù)緊力作用下，內(nèi)、外軌道曲率中心之間會出現(xiàn)接觸變形δi和δo，且隨預(yù)緊力增加而增大，如圖3(a)所示。當(dāng)軸承處于回轉(zhuǎn)過程中時，會出現(xiàn)離心力作用在滾動體上，導(dǎo)致內(nèi)、外軌道接觸角不一致，最終內(nèi)、外軌道曲率中心連線與L不在共線，變成一條折線，如圖2所示[16]。根據(jù)Jones的“外軌道控制理論[12]”，假設(shè)外軌道曲率中心在離心力與載荷復(fù)合作用下保持不變，而內(nèi)軌道曲率中心位置和滾動體中心位置發(fā)生改變。圖3(b)所示任意方位角j處滾動體中心最終位置與內(nèi)、外軌道曲率中心Δij和Δoj為

圖2 載荷作用下滾動體中心和軌道曲率中心變化過程Fig.2 Changing process of the center of the rolling element and the center of the track curvature under load

圖3 靜載荷作用下不同位置滾動體-軌道接觸Fig.3 Rolling element-track contact at different positions under static load

(6)

fi、fo和εb計算方法為

(7)

式(7)中:αb為熱膨脹系數(shù)；ΔT為溫度基于20 ℃條件下變化量。

當(dāng)軸承只受軸向力時，內(nèi)、外軌道之間會產(chǎn)生軸向位移δa，如圖2所示。在軸向力作用下，滾動體任意方位角處內(nèi)、外軌道曲率中心軸向距離A1j和徑向距離A2j分別為

(8)

為便于分析計算，Jones[12]在圖2中加入新的變量X1和X2，在滾動體任意方位角處，內(nèi)、外軌道接觸角正余弦值計算方法為

(9)

1.3 高速熱膨脹下模型求解分析

如圖2所示，根據(jù)勾股定理可得

(10)

根據(jù)圖1(c)所示角接觸球軸承滾動體受力分析，可得出平衡方程，即

(11)

式(11)中：滾動體所受切向摩擦力T計算方法為

(12)

式(12)中：Mgi為滾動體陀螺力矩，N·mm；ωR為滾動體自轉(zhuǎn)角速度，rad/s；ω為軸承外軌道旋轉(zhuǎn)角速度，rad/s；ωm為滾動體公轉(zhuǎn)角速度，rad/s；γ′計算方法為D/dm。

為便于計算式(11)，還需建立軸承軸向平衡方程，即

(13)

式(13)中：Z為軸承滾動體個數(shù)。

理論模型建立之后，使用Newton-Raphson[17]法計算軸承各個滾動體X1j、X2j、δij和δoj并確定陀螺力矩Mgj和離心力Fc。聯(lián)立式(9)～式(13)，使用如圖4所示數(shù)值迭代算法流程求解方程，求得符合精度要求的內(nèi)外軌道接觸角αi和αo，即可準確計算軸承其他主要參數(shù)。如軸承軸向剛度Ka和滾動體節(jié)面角β等，計算方法[15]為

圖4 迭代算法流程圖Fig.4 Iterative algorithm flow chart

(14)

式(14)中：Kn是等效載荷變形系數(shù)，其值取決于滾動體與內(nèi)外滾道之間接觸點的幾何尺寸和材料常數(shù)。

2 主成分分析原理

主成分分析法是將原有多個但具有一定相關(guān)性的指標，重新組合成一組互不相關(guān)的綜合指標代替原有指標。具體做法為將多個指標作線性組合，成為綜合指標。在用F1(第一個線性組合，即第一綜合指標)方差表示，方差越大表示F1包含信息越多。若F1是多個綜合指標中方差最大的，則F1為第一主成分。若第一主成分不能有效的反應(yīng)原來信息，則考慮第二綜合指標F2。為有效反應(yīng)原來信息，在F1中已有的信息不需要在F2中再次體現(xiàn)。即cov(F1,F2)=0，則稱F2為第二主成分。根據(jù)這種方法可得到第三、第四等主成分[10-11]。

(15)

式(15)中:p為原有指標數(shù)；m為每個指標包含數(shù)據(jù)量；a為X協(xié)方差陣特征值對應(yīng)的特征向量；ZX為原始變量經(jīng)過歸一化處理后的值，因為在實際應(yīng)用中的數(shù)據(jù)，各個數(shù)據(jù)指標量綱往往不同，因此需要首先消除量綱影響，將所有數(shù)據(jù)歸一化處理。由于各個指標計算量較大，現(xiàn)利用統(tǒng)計學(xué)軟件SPSS計算各成分得分。

3 案例分析

本節(jié)以角接觸球軸承(B7007C)為例，研究在溫升條件下，軸承各參數(shù)變化情況，分析不同參數(shù)在溫升條件下對軸承影響程度，該軸承主要參數(shù)如表1所示。

表1 B7007C軸承主要參數(shù)表Table 1 B7007C main parameter table

根據(jù)表1所示該軸承主要參數(shù)，按照圖4所示數(shù)值迭代流程圖編寫MATLAB腳本文件，計算軸承主要參數(shù)在溫度變化前后各參數(shù)變化率隨軸向力變化情況，如軸向變形變化率計算方法為：(δaΔT-δa)/δa×100%。包括內(nèi)、外軌道接觸角αi和αo；內(nèi)、外軌道接觸區(qū)變形量δi和δo；內(nèi)、外軌道接觸載荷Qi和Qo；軸向和徑向剛度Ka和Kr；軸向變形δa；滾動體節(jié)面角β。

本文模型優(yōu)點是可實現(xiàn)溫升量ΔT和轉(zhuǎn)速n隨機可變，為驗證模型有效性，以溫升量為60 ℃、轉(zhuǎn)速為10 000 r/min、預(yù)緊力從0持續(xù)增加至800 N為例，展示軸承各個參數(shù)變化率隨預(yù)緊力變化情況。表2為部分溫升為60 ℃條件下，各參數(shù)變化率。

將完整的表2數(shù)據(jù)導(dǎo)入SPSS中做主成分分析。得到如表3所示方差分解主成分分析表和圖5所示碎石圖。主成分提取原則通常為特征值大于1的成分。從表3可知提取了一個主成分，累計貢獻率達到95.771%。從圖5碎石圖可直觀看出，第一主成分反映軸承在溫升條件下信息較多，其余成分與第一主成分存在重疊信息。說明第一主成分基本反映所有指標信息。

表2 溫升為60 ℃軸承主要參數(shù)變化率Table 2 The rate of change of the main bearing parameters at temperature rise is 60 ℃

表3 方差分解主成分分析表Table 3 Variance decomposition principal component analysis

圖5 碎石圖Fig.5 Gravel

第一主成分綜合指標F1對應(yīng)系數(shù)計算方法為成分矩陣(表4)中數(shù)據(jù)除以主成分對應(yīng)特征值在開平方根。

表4 成分矩陣Table 4 Composition matrix

F1=0.320ZX1+0.357ZX2+0.361ZX3+0.361ZX4+0.359ZX5+0.358ZX6+0.356ZX7+0.356ZX8

(16)

根據(jù)F1對所有指標排序如表5所示。根據(jù)表3提取主成分個數(shù)及表5可知，內(nèi)軌道接觸載荷為提取的主成分，能基本反映軸承在溫升狀態(tài)下信息，且排名前三指標得分相差不大，但貢獻率卻不高，因此，這些指標包含重疊信息。

表5 主成分分析結(jié)果Table 5 Principal component analysis results

圖6為內(nèi)軌道接觸載荷在軸承恒定轉(zhuǎn)速下(10 000 r/min)，與預(yù)緊力之間的關(guān)系，可知，隨著溫度和預(yù)緊力增加，內(nèi)軌道接觸載荷逐漸變大。圖7為相同條件下內(nèi)軌道接觸載荷變化率和預(yù)緊力之間動態(tài)變化關(guān)系，可以直觀看出，隨著溫度升高，載荷變化率也在增加，但隨著預(yù)緊力增加，載荷變化率出現(xiàn)緩慢下降趨勢，且不同溫度條件下變化趨勢一致。該結(jié)果可為軸承預(yù)緊力優(yōu)化提供理論依據(jù)。

圖6 不同溫度下內(nèi)軌道接觸載荷Fig.6 Contact load of inner orbit under different temperature rise

圖7 不同溫度下內(nèi)軌道載荷變化率Fig.7 Rate of change of inner rail contact load at different temperatures

4 結(jié)論

通過構(gòu)建溫度影響的球軸承動力學(xué)模型，對變轉(zhuǎn)速、變預(yù)緊和變溫度的球軸承動力學(xué)特性變化規(guī)律進行仿真分析。采用主成分分析方法對預(yù)緊力和軸承動力學(xué)指標的耦合關(guān)系進行降維優(yōu)化，給出新的軸承預(yù)緊力優(yōu)化準則。得出以下結(jié)論。

(1)在轉(zhuǎn)速為10 000 r/min和溫升為60 ℃條件下，預(yù)緊力-內(nèi)軌道接觸載荷貢獻率達到95.771%，為軸承動態(tài)性能影響最大指標。

(2)在任意轉(zhuǎn)速和溫升量組合條件下，根據(jù)本文提出的方法可得到變預(yù)緊力下各參數(shù)貢獻率，確定主成分指標與預(yù)緊力之間動態(tài)映射關(guān)系。

(3)主成分與預(yù)緊力耦合影響關(guān)系可為軸承動態(tài)預(yù)緊優(yōu)化提供理論依據(jù)。