多智能體系統(tǒng)的固定時(shí)間和有限時(shí)間比例一致性

陳 超，賴藝芬

(集美大學(xué)理學(xué)院，福建 廈門(mén) 361021)

0 引言

自然界紛繁復(fù)雜，人們經(jīng)常能看到成群的動(dòng)物聚集在一起，比如蟻群、牛群、鳥(niǎo)群、魚(yú)群等。這些群體的規(guī)模有時(shí)達(dá)到成千上萬(wàn)，而且有時(shí)并不存在一個(gè)統(tǒng)一的領(lǐng)導(dǎo)者，但這些群體都具有集體捕食和集體抵御天敵的能力，生物的這種特性被稱為“群集行為”。受此啟發(fā)，人們開(kāi)始從不同的角度對(duì)這種群集現(xiàn)象進(jìn)行深入的研究，提出了多智能體的概念，多智能體系統(tǒng)的研究就是在這種應(yīng)用需求下應(yīng)運(yùn)而生的。從群體行為的不同角度來(lái)看，多智能體系統(tǒng)協(xié)同控制大概可以分為聚集問(wèn)題、蜂擁問(wèn)題、編隊(duì)問(wèn)題等幾類，這幾類問(wèn)題可以看作是一致性問(wèn)題的延伸和體現(xiàn)。因此，多智能體系統(tǒng)的一致性問(wèn)題是該研究的基礎(chǔ)和熱點(diǎn)。

多智能體的一致性問(wèn)題[1-5]主要基于多智能體系統(tǒng)中各智能體相互之間的信息交換，通過(guò)設(shè)計(jì)一致性協(xié)議使得所有的智能體的狀態(tài)趨于一致。在實(shí)際應(yīng)用中，多智能體系統(tǒng)的收斂速度十分重要，已有的很多一致性算法使得群體系統(tǒng)狀態(tài)達(dá)到漸近穩(wěn)定，但實(shí)際系統(tǒng)的狀態(tài)變量不可能在有限的時(shí)間內(nèi)達(dá)到平衡狀態(tài)，因而有限時(shí)間一致性問(wèn)題具有很強(qiáng)的工程應(yīng)用背景。文獻(xiàn)[6-8]研究了多智能體系統(tǒng)的有限時(shí)間一致性問(wèn)題。盡管以上研究很好解決了多智能體系統(tǒng)的有限時(shí)間一致性問(wèn)題，但系統(tǒng)的收斂時(shí)間都與智能體的初始狀態(tài)有關(guān)，當(dāng)系統(tǒng)初始狀態(tài)很大時(shí)，系統(tǒng)收斂時(shí)間會(huì)受到較大的影響。為了解決初始狀態(tài)的問(wèn)題，多智能體系統(tǒng)的固定時(shí)間一致性問(wèn)題得到了學(xué)者們的研究[9-13]。

相比于文獻(xiàn)[6-8]，本文提出一種新的協(xié)議，即多智能體系統(tǒng)的收斂時(shí)間不再依賴于系統(tǒng)的初始狀態(tài)，同時(shí)多智能體不再收斂于同一狀態(tài)，而是按照既定的比例收斂到不同的狀態(tài)。

1 預(yù)備知識(shí)及模型介紹

1.1 圖論

1.2 相關(guān)定義及引理

引理4[19]如果V(x(t))：Rn→R是連續(xù)函數(shù)，x(t)：[0，+∞)→Rn在[0，+∞)是C-正則的，x(t)：[0，+∞)→Rn在[0，+∞)的任意緊區(qū)間是完全連續(xù)的。如果存在一個(gè)連續(xù)函數(shù)H：(0，+∞)→(0，+∞)，當(dāng)ζ∈(0，+∞)時(shí)，H(ζ)>0，使得右上導(dǎo)數(shù)DV(t)≤-H(V(t))。令H(V)=αVp+βVq，則：1)如果0≤p，q<1，則V(t)會(huì)在有限時(shí)間內(nèi)達(dá)到0，且收斂時(shí)間T滿足T≤min{V1-p(0)/(α(1-p)),V1-q(0)/(β(1-q))}；2)如果p>1，0≤q<1，則V(t)會(huì)在固定時(shí)間達(dá)到0，且該時(shí)間T估計(jì)為T(mén)≤Tmax=1/(α(p-1))+1/(β(1-q))。

2 問(wèn)題描述

考慮一個(gè)具有n個(gè)智能體的多智能體系統(tǒng)，智能體i的動(dòng)力學(xué)方程可寫(xiě)為：

(1)

其中：xi(t)∈R表示智能體i的狀態(tài)變量；ui(t)∈R表示系統(tǒng)的控制輸入。

設(shè)計(jì)如下的控制協(xié)議：

(2)

定理1 在非連續(xù)控制協(xié)議(2)下，如果0<γ<1，則多智能體系統(tǒng)(1)在任意初始條件下達(dá)到有限時(shí)間比例一致性；如果γ>1，則多智能體系統(tǒng)(1)在任意初始條件下達(dá)到固定時(shí)間比例一致性。

(3)

選取Lyapunov函數(shù)為：

V(t)=xTSTSx/2，

(4)

其中S=diag(si·sign(si))。

結(jié)合引理 1，則有：

(5)

當(dāng)γ>1時(shí)，由引理2及引理3可知，

從而由引理4可知，系統(tǒng)(1)達(dá)到固定時(shí)間比例一致性，且收斂時(shí)間滿足

(6)

注1 多智能體系統(tǒng)(1)的固定時(shí)間一致性和有限時(shí)間一致性可以通過(guò)同一個(gè)控制器(2)來(lái)獲得，而當(dāng)控制器中的參數(shù)γ在不同范圍取值時(shí)，可以決定系統(tǒng)是達(dá)到固定時(shí)間一致還是有限時(shí)間一致。另外，由于引入了比例系數(shù)，使得多智能體不再收斂于同一狀態(tài)，而是按照既定的比例收斂到不同的狀態(tài)。當(dāng)比例系數(shù)等于1時(shí)，就是普通的一致性問(wèn)題，顯然比例一致性比普通的一致性更有實(shí)際意義。

3 實(shí)例驗(yàn)證

考慮由6個(gè)智能體組成的多智能體系統(tǒng)，6個(gè)智能體的連通拓?fù)鋱D如圖1所示。

由通信拓?fù)鋱D可得Laplacian矩陣為：