淺談初代高代與美之聯(lián)系

馬昕怡

摘 要：美對生活和科學(xué)等來說，是一個不可或缺因素，生活不是缺少美而是缺少發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)只有達(dá)到學(xué)習(xí)理解到了一定程度，才能慢慢發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)與美存在一定聯(lián)系，無論是初代和高代數(shù)學(xué)，相互之間存在一定關(guān)聯(lián)，如美之簡潔、美之對稱，美之直觀、美之奇異，美之統(tǒng)一、美之創(chuàng)新。

關(guān)鍵詞：簡潔之美;對稱之美;直觀之美;奇異之美;統(tǒng)一之美;創(chuàng)新之美

一、數(shù)學(xué)與美之聯(lián)系

美對生活和科學(xué)等來說，是一個不可或缺因素，生活不是缺少美而是缺少發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)是各學(xué)科之基礎(chǔ)，萬事萬物都離不開數(shù)學(xué)。自牙牙學(xué)語至幼兒園，剛剛認(rèn)識直觀數(shù)學(xué)數(shù)字，到小學(xué)算術(shù)、代數(shù)、簡易方程等，到中學(xué)方程、幾何（平面、解析、立體），再至大學(xué)高代，體現(xiàn)數(shù)學(xué)古往今來強(qiáng)大的魅力，更主要的是它能解決生活中存在的問題，每一個問題解決都需付出艱辛勞動。每個問題解決皆彰顯出數(shù)學(xué)特性，同時又形成了有別于其他科學(xué)的數(shù)學(xué)美，即對稱美、簡潔美、奇異美、直觀美、統(tǒng)一美、創(chuàng)新美。數(shù)學(xué)之美似美酒，似甘霖，因此我們學(xué)習(xí)理解數(shù)學(xué)只有達(dá)到了一定程度，才能慢慢發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)與美存在一定聯(lián)系，無論是初代還是高代，相互之間皆存在一定關(guān)聯(lián)，如具體表現(xiàn)出美之簡潔、美之對稱、美之直觀、美之奇異、美之統(tǒng)一、美之創(chuàng)新，從而加深我們對數(shù)學(xué)整體美細(xì)節(jié)美認(rèn)識和理解及解析，加深對稱美、簡潔美、奇異美、直觀美、統(tǒng)一美、創(chuàng)新美認(rèn)識與理解及解析，美之賞心、美之悅目，由表入理，由淺入深，提升學(xué)習(xí)動力。

二、數(shù)學(xué)與美聯(lián)系表現(xiàn)形式

數(shù)學(xué)與美表現(xiàn)形式豐富多彩，具體表現(xiàn)形式：簡潔之美、對稱之美、奇異之美、直觀之美、統(tǒng)一之美、創(chuàng)新之美。

簡潔美之體現(xiàn)。數(shù)學(xué)的簡潔美，最具有代表性是歐拉公式，即V-E+F=2。此公式把多面體的頂點(diǎn)數(shù)V、棱數(shù)E、面數(shù)F三者關(guān)系簡明扼敘述得通俗易懂，令人驚嘆叫絕。愛因斯坦w=x+y+z，更是簡單明了，w代表成功，x代表勤奮工作，y代表正確方法，z代表少說廢話，把成功取得綜述得更簡潔明了，但真正做到是多么極其不易。其他如初代，對數(shù)符號的使用，有理數(shù)、無理數(shù)、復(fù)數(shù)出現(xiàn)與引入，整式、分式、根式，整式方程、分式方程、無理式方程，這種外在形式體現(xiàn)出數(shù)學(xué)簡潔。同時數(shù)學(xué)的簡潔美還表現(xiàn)在形態(tài)上，具體體現(xiàn)在：美觀，如（x+y）×z=x×z+y×z，既美觀又對等，而sin（α+β）=sinα+sinβ似“罌粟花雖美麗但有毒”雖“美觀”，是錯誤的，不對等的;高代線性的行列式、矩陣，如二階、三階、n階行列式或矩陣都簡潔美觀，令人悅目。美好，如證明奇數(shù)階反對稱行列式為零，如n階行列式所表示的：

當(dāng)n為奇數(shù)時，得到Dn=-Dn，得出Dn=0。證明過程既不美觀，得出結(jié)果后才發(fā)現(xiàn)價值和美好。美妙，如三角形的高交于一點(diǎn)就是這樣，具體情況具體判斷，當(dāng)為三角形為銳角三角形時，高的交點(diǎn)在三角形的內(nèi)部，當(dāng)為直角三角形，高的交點(diǎn)即直角頂點(diǎn)，當(dāng)為鈍角三角形，高所在直線的交點(diǎn)在三角形的外部……如果是計算題，就分上述三種情況討論，如果選擇題，看給出答題卡有針對性選擇，真正做到具體情況具體分析具體判斷，這無疑能夠激起學(xué)生情感美的享受，并建立學(xué)習(xí)信心和興趣。完美，如“1+1=2”的證明都是追求數(shù)學(xué)完美的典型例子，即哥德巴赫猜想。18世紀(jì)德國數(shù)學(xué)家哥德巴赫偶然發(fā)現(xiàn)，每個不小于6的偶數(shù)都是兩個奇素數(shù)之和，如3+3=6;11+13=24。多次試圖證明自己發(fā)現(xiàn)，都以失敗而告終。最終哥德巴赫只好求助瑞士數(shù)學(xué)家歐拉，歐拉肯定這個猜想成立，但他無法證明。直到1956年年底，在華羅庚教授指導(dǎo)下，我國數(shù)學(xué)家陳景潤專心研究數(shù)論，并與1966年5月宣布他已經(jīng)證明了（1+1），1973年論文一經(jīng)發(fā)表即轟動了全世界數(shù)學(xué)界，被國際公認(rèn)為“陳景潤定理”，大數(shù)學(xué)家陳景潤為證明它漚盡一生。嫦娥五號成功發(fā)射并圓滿歸來，帶來了月壤，也是對數(shù)學(xué)完美印證，有著簡潔美特征。長征八號運(yùn)載火箭成功發(fā)射，凝聚美觀、美好、美妙、完美的共性。

對稱美之體現(xiàn)。幾何圖形中對稱性隨處可見，如平面幾何圖形正三角形、菱形、矩形、等腰梯形等;其他如函數(shù)與反函數(shù)圖像關(guān)于坐標(biāo)軸對稱，關(guān)于y=x對稱等;對稱性有時也關(guān)系到解題繁簡，如三角形的周長一定，若此三角形為等邊三角形，這時三角形面積為最大值;如面積一定時，若為等邊三角形，其周長為最小值。自然界如典型的蝴蝶圖案如圖，用數(shù)學(xué)的眼光欣賞這個蝴蝶圖案，它的一種數(shù)學(xué)美體現(xiàn)在蝴蝶圖案軸對稱性。大學(xué)數(shù)學(xué)所學(xué)復(fù)變函數(shù)中共軛解析函數(shù)和解析函數(shù)完美對稱是高代中對稱美的一種形式。

直觀美之體現(xiàn)。如高代中二階行列式、三階行列式、矩陣等既直觀又美觀，可以增進(jìn)學(xué)習(xí)高代興趣和對知識渴求。廣州“小蠻腰”不僅體現(xiàn)科學(xué)發(fā)展，而且是數(shù)學(xué)多維空間直觀美體現(xiàn)，主塔體為高聳結(jié)構(gòu)，外觀各面基本等高，平面呈橢圓形。塔體整體上小下大，建筑腰部較為密集區(qū)段則可提供相對私密的體驗(yàn)，頂部更開放結(jié)構(gòu)產(chǎn)生了透明的效果可供瞭望。

奇異美之體現(xiàn)。奇異是表現(xiàn)為結(jié)論新穎奇巧，出乎意料，往往引起思想震動。如高代線性代數(shù)中行列式，既直觀又奇異，表現(xiàn)在當(dāng)二階行列式中行數(shù)與列數(shù)相等時，就可以組成平面幾何正方形，這就體現(xiàn)出奇異美。而矩陣體現(xiàn)出線性變換，兩個矩陣相乘，即兩個線性變換，相當(dāng)于存在一個復(fù)合矩陣。同理小學(xué)乘法算術(shù)表也是陣列乘法表，相當(dāng)于一個大矩陣。哈雷彗星、行星等圍繞太陽運(yùn)動，每次經(jīng)圍繞太陽時，受外界影響，運(yùn)動軌跡也發(fā)生變化，橢圓、雙曲線或拋物線皆有可能，上述皆體現(xiàn)為奇異之美。

統(tǒng)一美之體現(xiàn)。數(shù)學(xué)美的統(tǒng)一性，初代方面，如剛?cè)腴T自然數(shù)、然后有理數(shù)、無理數(shù)，最后引入復(fù)數(shù)，如通過坐標(biāo)系建立，使點(diǎn)與數(shù)建立對應(yīng)，把代數(shù)幾何用方程與曲線聯(lián)系在一起，實(shí)現(xiàn)了統(tǒng)一，組成了整式方程、分式方程、無理方程。如梯形面積等于上底加下底，乘以高再除以二，當(dāng)上邊等于0，就變成三角形面積;上下邊同等，若另兩腰在一定情況下平行且垂直或相等，就變成平行四邊形、矩形或正方形，平行四邊形、矩形、正方形、梯形皆可統(tǒng)一稱為四邊形。而黃金分割更是如此，在正五邊形任意一邊和對角線的比為黃金分割比，即把一條線段分割為兩部分，使較大部分與全長的比值等于較小部分與較大部分比值，則這個比值即為黃金分割（5-1）/2=0.618。黃金分割點(diǎn)在等腰直角三角形也有明顯體現(xiàn)，如在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=BC=5+1，M、N分別為BC、AC上的黃金分割點(diǎn)，且AN

創(chuàng)新美之體現(xiàn)。古人自驢轉(zhuǎn)圈推磨，一圈又一圈，和月亮?xí)r而圓時而扁等，便想到了圓的軌跡，隨著時代發(fā)展，平面幾何和解析幾何出現(xiàn)，逐步發(fā)現(xiàn)圓的運(yùn)動軌跡是（x-a）2+（y-b）2=r2，當(dāng)a，b皆等于0時，就變成以圓心為坐標(biāo)軸特例，即x2+y2=r2，這充分體現(xiàn)出數(shù)學(xué)創(chuàng)新之美。進(jìn)而引出橢圓軌跡，即橢圓是平面內(nèi)到定點(diǎn)F1（焦點(diǎn)）、F2（焦點(diǎn)）的距離之和等于常數(shù)的動點(diǎn)P的軌跡，即PF1和PF2長度之和等于2a。標(biāo)準(zhǔn)方程x2/a2+y2/b2=1（焦點(diǎn)位于x軸），x2/b2+y2/a2=1（焦點(diǎn)位于y軸），同樣體現(xiàn)出創(chuàng)新之美。同樣高代創(chuàng)新美也隨時可見。

三、結(jié)語

數(shù)學(xué)是各科學(xué)之基礎(chǔ)，與各科學(xué)存在千絲萬縷的聯(lián)系。如同愛因斯坦的相對論，如果沒有一定數(shù)學(xué)理論功底，是無法討論的，因此無論是初代還是高代，學(xué)好數(shù)學(xué)是多么重要，越學(xué)習(xí)越體會出數(shù)學(xué)之美，美之簡潔、美之對稱、美之直觀、美之奇異、美之統(tǒng)一、美之創(chuàng)新，讓我們在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中體會其之美吧。

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