溫度變化對(duì)懸索非線性內(nèi)共振響應(yīng)特性影響

林恒輝， 趙珧冰

(華僑大學(xué) 土木工程學(xué)院,福建 廈門 361021)

由于材料輕質(zhì)高強(qiáng)，結(jié)構(gòu)受力合理，索結(jié)構(gòu)在工程中應(yīng)用極為廣泛[1-2]。這類結(jié)構(gòu)受太陽(yáng)輻射、風(fēng)等環(huán)境因素影響，其周圍溫度場(chǎng)變化復(fù)雜[3]。而結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)往往是多場(chǎng)耦合作用的結(jié)果，其分析、設(shè)計(jì)、評(píng)估、試驗(yàn)和控制等一直都是重點(diǎn)研究方向[4]。研究表明：溫度會(huì)通過(guò)改變材料彈性模量及其應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，從而影響結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性。但由于結(jié)構(gòu)整體復(fù)雜，環(huán)境因素時(shí)變，其他關(guān)于影響機(jī)理的共識(shí)并不多。同時(shí)復(fù)雜的邊界條件亦受到溫度變化影響，如果單純基于彈性模量和應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系來(lái)解釋溫度效應(yīng)，已無(wú)法滿足理論研究與工程需求。因此全面描述索結(jié)構(gòu)在溫度場(chǎng)中的動(dòng)力學(xué)行為雖難度較大，無(wú)論是理論探索還是工程實(shí)踐而言，均有重大意義。

對(duì)于拉索溫度效應(yīng)，Treyssede[5]將Irvine的拉索溫度模型拓展到其頻率和振型研究。Rega等[6]在一個(gè)溫度可控環(huán)境中展開(kāi)懸索線性與非線性振動(dòng)特性測(cè)試，結(jié)果表明當(dāng)環(huán)境溫度上升20 ℃時(shí)，阻尼系數(shù)增大52%，阻尼比增大18%，同時(shí)發(fā)現(xiàn)懸索非線性振動(dòng)特性對(duì)于溫度變化十分敏感。Vairo等[7]基于懸鏈線理論，提出一種解決均勻溫度影響下索力變化的非線性分析方法。Bouaanani等[8]利用有限差分法開(kāi)展了拉索熱彈性響應(yīng)研究，其建立的有限差分模型中考慮幾何與材料非線性、溫度變化、溫度敏感性材料等多個(gè)影響因素。Lepidi等[9]通過(guò)引入與張力和垂度相關(guān)的兩個(gè)無(wú)量綱參數(shù)，重新推導(dǎo)出考慮均勻溫度變化影響下拉索的非線性運(yùn)動(dòng)微分方程。最近，Zhao等[10-13]基于均勻溫度場(chǎng)中懸索非線性動(dòng)力學(xué)模型，利用各類攝動(dòng)法和數(shù)值計(jì)算方法，系統(tǒng)深入研究了溫度變化對(duì)懸索的非線性自由振動(dòng)、主共振和次共振、聯(lián)合和組合共振響應(yīng)特性的影響。

然而為研究簡(jiǎn)便，上述非線性振動(dòng)特性分析時(shí)，均忽略了模態(tài)間的內(nèi)共振，不考慮模態(tài)間的能量傳遞。事實(shí)上懸索作為一類典型的、同時(shí)包含平方和立方非線性的柔性結(jié)構(gòu)，其模態(tài)間存在多種形式的內(nèi)共振[14]。以2∶1內(nèi)共振為例，近年來(lái)研究人員對(duì)各類非線性系統(tǒng)開(kāi)展了系統(tǒng)豐富的研究：索-質(zhì)量系統(tǒng)[15]、彈性約束淺拱[16]、蜂窩夾芯板[17]、變轉(zhuǎn)速預(yù)變形葉片[18]、橫向補(bǔ)給系統(tǒng)高架索[19]、變速運(yùn)動(dòng)黏彈性板[20]、偏心旋轉(zhuǎn)環(huán)桁架天線[21]以及空間繩系系統(tǒng)柔性梁[22]等。

對(duì)于極易發(fā)生內(nèi)共振響應(yīng)的非線性系統(tǒng)而言，其參數(shù)的微小變化可能引發(fā)系統(tǒng)共振響應(yīng)特性的顯著改變。已有研究顯示：懸索線性和非線性振動(dòng)特性受溫度效應(yīng)影響，會(huì)產(chǎn)生明顯定性和定量的改變。倘若進(jìn)一步考慮模態(tài)間的內(nèi)共振及其能量傳遞，溫度變化對(duì)系統(tǒng)的內(nèi)共振響應(yīng)特性有何影響，現(xiàn)有的研究并沒(méi)有給出。因此本文在作者已有研究的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步考慮模態(tài)間的2∶1內(nèi)共振，探究溫度效應(yīng)影響下系統(tǒng)的共振響應(yīng)特性。

1 數(shù)學(xué)模型

如圖1所示水平懸掛于O和B兩點(diǎn)的懸索，以O(shè)為原點(diǎn)，建立坐標(biāo)軸O-xy。當(dāng)周圍環(huán)境溫度發(fā)生整體均勻改變時(shí)，基于增量熱場(chǎng)理論，懸索將產(chǎn)生新的熱應(yīng)力平衡狀態(tài)。圖中:b和bΔT分別為懸索初始狀態(tài)和熱應(yīng)力狀態(tài)時(shí)的垂度；L為跨度；u(x,t)和v(x,t)分別為懸索軸向和豎向的位移。外激勵(lì)為均勻分布的簡(jiǎn)諧荷載。在常規(guī)溫度變化的范圍內(nèi)(比如：±40 ℃)，懸索彈性模量、阻尼系數(shù)以及橫截面面積受溫度變化的影響較小，因此本文忽略溫度變化對(duì)上述參數(shù)的影響。

圖1 懸索構(gòu)形及特性

基于擬靜定假設(shè)，考慮整體均勻溫度變化，利用Hamilton變分原理，得到忽略彎曲、扭轉(zhuǎn)以及剪切剛度時(shí)，懸索面內(nèi)非線性運(yùn)動(dòng)微分方程

(1)

引入以下無(wú)量綱參數(shù)

(2)

忽略上標(biāo)“*”，可得無(wú)量綱化后的運(yùn)動(dòng)方程

(3)

利用Galerkin截?cái)?，將空間x和時(shí)間t分離

(4)

式中：φn(x)為模態(tài)函數(shù);qn(t)為廣義坐標(biāo)。

將式(4)代入式(3)中，可得

(5)

式中，阻尼項(xiàng)、激勵(lì)項(xiàng)、線性項(xiàng)、平方和立方非線性項(xiàng)系數(shù),如附錄A所示。

2 攝動(dòng)分析

為了便于求解，式(5)可以改寫(xiě)為

(6)

(7)

采用多尺度法，設(shè)位移和速度的廣義坐標(biāo)為

qk(t;ε)=εqk1(T0,T1,T2)+ε2qk2(T0,T1,T2)+ε3qk3(T0,T1,T2)+…

(8)

zk(t;ε)=εzk1(T0,T1,T2)+ε2zk2(T0,T1,T2)+ε3zk3(T0,T1,T2)+…

(9)

將式(8)和式(9)代入式(6)和式(7)中，并令ε的各次冪系數(shù)等于0，整理可得各階微分方程組。由于僅考慮m和n階模態(tài)之間的內(nèi)共振，一階方程的解可以假設(shè)為

qk1=Ak(T1,T2)eiωkT0(δkm+δkn)+cc

(10)

zk1=iωkAk(T1,T2)eiωkT0(δkm+δkn)+cc

(11)

將上式代入二階方程中，可求得二階近似解。對(duì)于2∶1內(nèi)共振，引入調(diào)諧參數(shù)σ1來(lái)描述Ω和ωm(ωn)相接近的程度，引入調(diào)諧參數(shù)σ2來(lái)描述2ωm和ωn相接近的程度

Ω=ωi+εσ1,ωn=2ωm+εσ2,(i=m,n)

(12)

將二階近似解代入三階微分方程，可得可解性條件

(13)

(14)

式中,非線性相互作用系數(shù)Kij見(jiàn)附錄B。

(15)

(16)

式中，Sm=Λmmn+Λmnm；Sn=Λnmm。

Aj可表示為極坐標(biāo)形式：Aj=aj(t)eiβj(t)/2,j=m,n，式中，aj，βj分別為幅值和相位，將其代入式(15)和式(16)，可得極坐標(biāo)形式的平均方程

(17)

(18)

(19)

(20)

式中：Δ=βn-2βm+σ2t;當(dāng)Ω=ωm時(shí)υm=σ1,υn=2σ1-σ2,γm=σ1t-βm,γn=(σ1-σ2)t-βn+βm;當(dāng)Ω=ωn時(shí)υm=σ1+σ2,υn=σ1,γn=σ1t-βn,γm=(σ1+σ2)t-2βm。S=Sm=2Sn, 其他非線性系數(shù)見(jiàn)附錄B。

此外，解Aj還可以表示為直角坐標(biāo)形式：Aj=[pj(t)-iqj(t)]eiβj(t)/2,j=m,n，代入式(15)和式(16)可得

(21)

(22)

(23)

(24)

式中：當(dāng)激勵(lì)直接作用在低階模態(tài)時(shí)(Ω=ωm)，υm=σ1，υn=(2σ1-σ2)；當(dāng)激勵(lì)直接作用在高階模態(tài)時(shí)(Ω=ωn),υm=(σ1+σ2)/2,υn=σ1。

3 數(shù)值算例與分析

懸索的各項(xiàng)物理參數(shù)分別為：L=200.0 m，A=7.069×10-2m2，E=200 GPa，ρ=7 800.0 kg/m3，α=1.2×10-5℃-1以及g=9.81 m/s2。無(wú)量綱化后的阻尼系數(shù)，低階模態(tài)為0.005，高階模態(tài)為0.006。基于線性系統(tǒng)的特征值分析，圖2給出了考慮溫度變化影響下，懸索的前六階模態(tài)頻率與Irvine參數(shù)λ2的關(guān)系曲線。如圖所示，對(duì)于反對(duì)稱模態(tài)頻率，溫度上升，頻率下降；而正對(duì)稱模態(tài)頻率與溫度變化的關(guān)系則較為復(fù)雜，隨著溫度升高，模態(tài)頻率降低/升高均有可能出現(xiàn)，與Irvine參數(shù)大小密切相關(guān)。隨著Irvine參數(shù)的增大，前三階正/反對(duì)稱模態(tài)頻率會(huì)出現(xiàn)交點(diǎn)，在交點(diǎn)附近，該非線性系統(tǒng)容易發(fā)生1∶1內(nèi)共振響應(yīng)。溫度改變時(shí)，由于頻率改變，交點(diǎn)會(huì)發(fā)生明顯漂移。與此類似，如圖2中(a)～(d)所示，當(dāng)不考慮溫度變化時(shí)，在圖中黑點(diǎn)處，兩個(gè)模態(tài)頻率之間時(shí)常呈現(xiàn)出2倍關(guān)系。而此時(shí)懸索在外激勵(lì)作用下，極易發(fā)生2∶1內(nèi)共振響應(yīng)(當(dāng)然并非兩個(gè)模態(tài)頻率之間存在兩倍關(guān)系，就一定會(huì)發(fā)生2∶1內(nèi)共振)。然而隨著溫度發(fā)生變化，頻率之間的公倍關(guān)系也將隨之改變，從而導(dǎo)致對(duì)應(yīng)的內(nèi)共振響應(yīng)也發(fā)生變化。

圖2中(a)～(d)所示四個(gè)位置，非線性系統(tǒng)易發(fā)生2∶1內(nèi)共振，為研究簡(jiǎn)便，本文以一階和三階正對(duì)稱模態(tài)之間發(fā)生2∶1內(nèi)共振為例(見(jiàn)圖2中(b))，探究溫度變化對(duì)系統(tǒng)內(nèi)共振響應(yīng)特性影響。此時(shí)一階和三階正對(duì)稱模態(tài)頻率對(duì)應(yīng)的是懸索的第二階和第五階頻率(m=2,n=5)。原本可能發(fā)生2∶1內(nèi)共振的懸索，由于其頻率之間的公倍關(guān)系被溫度變化所打破，系統(tǒng)發(fā)生內(nèi)共振的位置將產(chǎn)生漂移。如圖2(b)所示，當(dāng)溫度上升時(shí)，更小Irvine參數(shù)的懸索，其頻率之間將呈現(xiàn)出兩倍關(guān)系，反之，頻率呈兩倍關(guān)系將發(fā)生在更大Irvine參數(shù)處。

表1給出了不同溫度變化下，懸索的各個(gè)參數(shù)以及線性和非線性相互作用系數(shù)的大小。由于模態(tài)之間存在明顯的相互作用，因此在計(jì)算有限非線性系數(shù)時(shí)，考慮了前九階模態(tài)。已有研究表明[23]：無(wú)論是對(duì)于水平懸索還是斜拉索，無(wú)論是拉索垂度大還是小，計(jì)算時(shí)取前九階模態(tài)完全可以保證非線性系數(shù)的可靠性以及收斂性。

確定了不同溫度情況下的線性和非線性系數(shù)后，基于直角形式的平均方程式(21)～式(24)，選擇合適的初始條件，利用Newton-Raphson法求得不動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)態(tài)解(極限環(huán))則利用打靶法求得。不動(dòng)點(diǎn)的穩(wěn)定性通過(guò)其Jacobian矩陣的特征值來(lái)判斷，有且僅有所有特征值的實(shí)數(shù)部分為負(fù)時(shí)，解為穩(wěn)定，否則不穩(wěn)定。在霍普分岔附近，不動(dòng)點(diǎn)的穩(wěn)定性會(huì)發(fā)生改變，此時(shí)極限環(huán)的穩(wěn)定性，則利用Floquet理論來(lái)判斷。計(jì)算伊始，通過(guò)給定的初始條件，求得系統(tǒng)遠(yuǎn)離共振區(qū)域的解，之后采用擬弧長(zhǎng)延拓法得到其余區(qū)域的共振響應(yīng)曲線。利用分岔和混沌計(jì)算軟件XPPAUT可以輕松實(shí)現(xiàn)上述計(jì)算流程[24]。

圖2 考慮溫度變化影響下懸索前六階模態(tài)頻率

當(dāng)激勵(lì)分別作用在高階和低階模態(tài)時(shí)，本文通過(guò)激勵(lì)響應(yīng)幅值曲線、幅頻響應(yīng)曲線、動(dòng)態(tài)解、時(shí)程曲線、相位圖、頻率譜以及龐加萊截面，來(lái)展現(xiàn)不同溫度變化情況下懸索的2∶1內(nèi)共振響應(yīng)特性。三角形和圓形分別表示溫度升高和降低40 ℃時(shí)的數(shù)值積分解，實(shí)線表示穩(wěn)定解，虛線表示不穩(wěn)定解。圖中:SN表示鞍結(jié)點(diǎn)分岔;PF表示叉形分岔;HB表示霍普分岔;PD表示倍周期分岔。由于內(nèi)共振響應(yīng)復(fù)雜，曲線較多，圖中省略了溫度不發(fā)生改變的情況(ΔT=0 ℃)。

表1 不同溫度變化時(shí)懸索參數(shù)、線性與非線性相互作用系數(shù)

首先，假設(shè)激勵(lì)直接作用在高階模態(tài)(n=5)，此時(shí)低階模態(tài)(m=2)將通過(guò)2∶1內(nèi)共振的形式被間接激發(fā)。圖3描述了當(dāng)調(diào)諧參數(shù)σ1=-0.1和σ2=0時(shí)，系統(tǒng)的激勵(lì)響應(yīng)幅值曲線。圖中當(dāng)激勵(lì)幅值f5從0開(kāi)始不斷增大，高階模態(tài)振幅a5不斷增加，由于激勵(lì)直接作用在高階，在PF1之前低階模態(tài)振幅a2始終等于0。激勵(lì)幅值f5持續(xù)增長(zhǎng)，直到PF1，此時(shí)低階模態(tài)振幅a2通過(guò)內(nèi)共振被激發(fā)，能量從高階模態(tài)傳遞到低階模態(tài)，導(dǎo)致振幅迅速增加，并且逐漸大于高階模態(tài)振幅a5。倘若激勵(lì)幅值f5進(jìn)一步增大，高階模態(tài)振幅a5則持續(xù)增加，而低階模態(tài)振幅a2則不斷下降。

當(dāng)激勵(lì)幅值f5從0.006開(kāi)始不斷減小，高階和低階模態(tài)被同時(shí)激發(fā)，而且隨著激勵(lì)幅值的不斷減小，高階模態(tài)振幅a5不斷減小，而低階模態(tài)振幅a2則不斷增加，直到HB2點(diǎn)。此后，激勵(lì)幅值進(jìn)一步減小，低階模態(tài)振幅a2隨之減小，直到SN1后a2消失。

圖3 考慮溫度變化影響的激勵(lì)響應(yīng)幅值曲線(σ1=-0.1和σ2=0)

對(duì)于溫度效應(yīng)，如圖3所示，無(wú)論是高階還是低階模態(tài)，溫度升高，振幅增大，溫度降低，幅值減小。不過(guò)隨著激勵(lì)幅值不斷增加，溫度變化對(duì)高階模態(tài)振幅的影響越來(lái)越明顯，而對(duì)低階模態(tài)振幅的影響則逐漸降低。此外溫度變化對(duì)動(dòng)態(tài)分岔(HB)的影響明顯大于靜態(tài)分岔(SN和PF)。為了驗(yàn)證理論分析的結(jié)果，對(duì)于初始的常微分方程式(5)，采用四階龍格-庫(kù)塔法直接進(jìn)行數(shù)值積分，選取合適的初始條件，可以得到穩(wěn)定的幅值(圖中深色和灰色實(shí)心點(diǎn))。如圖3所示，數(shù)值積分解與攝動(dòng)分析解吻合較好，從而也驗(yàn)證了理論分析的正確性。

圖4描述了當(dāng)激勵(lì)幅值f5=0.000 4和調(diào)諧參數(shù)σ2=0時(shí)，外激勵(lì)調(diào)諧參數(shù)σ1與響應(yīng)幅值(a2和a5)關(guān)系曲線。如圖所示，由于激勵(lì)直接作用在高階模態(tài)，在非內(nèi)共振區(qū)間，低階模態(tài)振幅a2均為0，此時(shí)高階模態(tài)振幅a5隨著溫度上升而增加，尤其是振動(dòng)幅值較大時(shí)，影響較為明顯。在內(nèi)共振區(qū)域，溫度變化對(duì)低階模態(tài)振幅a2影響明顯大于高階模態(tài)振幅a5，而且隨著溫度的上升，曲線向左偏轉(zhuǎn)幅度降低，振幅a2增加。對(duì)于系統(tǒng)展現(xiàn)出的三類分岔，溫度變化對(duì)兩個(gè)霍普分岔(HB)的影響更加明顯，鞍結(jié)點(diǎn)分岔(SN)和叉形分岔(PF)受溫度變化的影響可以忽略。當(dāng)外激勵(lì)頻率從大到小不斷減小時(shí)，隨著溫度上升，霍普分岔的出現(xiàn)較為滯后。

圖4 考慮溫度變化影響的幅頻響應(yīng)曲線(f5=0.000 4和σ2=0)

由圖3和圖4可知，動(dòng)態(tài)分岔受溫度變化的影響明顯強(qiáng)于靜態(tài)分岔。因此圖5描述了系統(tǒng)在兩個(gè)霍普分岔點(diǎn)附近的動(dòng)態(tài)解，其中實(shí)心圖形和空心圖形分別表示穩(wěn)定和不穩(wěn)定的動(dòng)態(tài)解。如圖所示，HB1和HB2均為超臨界霍普分岔，從兩點(diǎn)出來(lái)的動(dòng)態(tài)解均為穩(wěn)定；此外動(dòng)態(tài)解中將出現(xiàn)兩個(gè)倍周期分岔PD1和PD2。受溫度上升影響，兩個(gè)霍普分岔HB1和HB2以及倍周期分岔PD2明顯向左移動(dòng)，將出現(xiàn)在更小的激勵(lì)頻率附近。倍周期分岔PD1受溫度變化的影響并不明顯，但兩個(gè)倍周期分岔PD1和PD2之間的范圍在升溫時(shí)會(huì)明顯減小。

圖5 考慮溫度變化影響時(shí)霍普分岔點(diǎn)處的動(dòng)態(tài)解

由于倍周期分岔是系統(tǒng)進(jìn)入多周期、擬周期或者混沌運(yùn)動(dòng)的一種途徑。因此圖6給出了一組調(diào)諧參數(shù)下(σ1=-0.047和σ2=0)，該非線性系統(tǒng)振動(dòng)的時(shí)程曲線、相位圖、頻率譜以及龐加萊截面。如圖5所示，當(dāng)環(huán)境溫度上升和下降時(shí)，PD2將分別出現(xiàn)在-0.048 8和-0.027 2。為了探究不同溫度條件下的周期運(yùn)動(dòng)，外激勵(lì)的調(diào)諧參數(shù)σ1取為-0.047 0如果激勵(lì)頻率由大到小變化，此時(shí)系統(tǒng)在降溫環(huán)境中已超過(guò)倍周期分岔PD2(-0.027 2)，而在升溫環(huán)境中，尚未到達(dá)倍周期分岔PD2(-0.048 8)。

如圖6所示，時(shí)程曲線對(duì)于溫度的變化非常敏感，對(duì)比相位圖，升溫時(shí)一個(gè)圈，降溫時(shí)八個(gè)圈。根據(jù)頻率譜以及龐加萊截面不難看出，溫度下降時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)頻率將出現(xiàn)約八個(gè)峰值，而溫度上升時(shí)，卻只有一個(gè)明顯的峰值。再對(duì)比龐加萊截面，降溫時(shí)為八個(gè)點(diǎn)，升溫時(shí)為一個(gè)。從這些振動(dòng)特性均不難看出，一個(gè)系統(tǒng)做八周期運(yùn)動(dòng)，另一個(gè)則是一周期運(yùn)動(dòng)。由此可見(jiàn)，在內(nèi)共振區(qū)域，受溫度變化的影響，盡管調(diào)諧參數(shù)相同，但是系統(tǒng)會(huì)展現(xiàn)出截然不同的周期運(yùn)動(dòng)。

圖6 考慮溫度變化影響的時(shí)程曲線、相位圖、頻譜以及龐加萊截面(f5=0.000 4，σ1=-0.047,σ2=0)

當(dāng)激勵(lì)由直接作用在高階模態(tài)轉(zhuǎn)換為低階模態(tài)時(shí)，低階模態(tài)振幅直接被激發(fā)，高階模態(tài)振幅則通過(guò)模態(tài)間內(nèi)共振被激發(fā)，此時(shí)能量將直接從低階模態(tài)傳遞到高階模態(tài)。圖7給出了當(dāng)激勵(lì)直接作用在低階模態(tài)時(shí)，系統(tǒng)的激勵(lì)響應(yīng)幅值曲線受溫度變化的影響(σ1=0.2和σ2=0)。對(duì)比圖7和圖3不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)激勵(lì)幅值f2從零開(kāi)始增加時(shí)，高階模態(tài)振幅a5一開(kāi)始就不等于0。且隨著激勵(lì)幅值的不斷增加，a2和a5均不斷增大。而隨著溫度上升，直接激勵(lì)模態(tài)的響應(yīng)幅值a2不斷增加，而高階模態(tài)振幅a5受溫度變化的影響則不明顯。當(dāng)激勵(lì)幅值f2從0.01不斷減小時(shí)，選取合適初始條件，可以得到另外一根共振曲線。此時(shí)，通過(guò)內(nèi)共振激發(fā)的振幅a5大于直接激發(fā)的振幅a2。而且隨著激勵(lì)幅值的不斷減小，系統(tǒng)會(huì)出現(xiàn)鞍結(jié)點(diǎn)分岔SN1，但是該分岔受溫度變化的影響并不明顯。此時(shí)無(wú)論是低階還是高階模態(tài)，其振動(dòng)幅值均隨著溫度的降低而減小。

圖7 溫度變化對(duì)激勵(lì)響應(yīng)幅值曲線影響(σ1=0.2和σ2=0)

圖8給出了激勵(lì)直接作用在低階模態(tài)時(shí)，系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線受溫度變化影響，此時(shí)外激勵(lì)幅值f2選取為0.006，內(nèi)共振調(diào)諧參數(shù)σ2=0。系統(tǒng)展現(xiàn)出兩個(gè)鞍結(jié)點(diǎn)分岔點(diǎn)(SN1和SN2)和兩個(gè)霍普分岔點(diǎn)(HB1和HB2)。直接激勵(lì)模態(tài)的響應(yīng)幅值a2明顯大于因內(nèi)共振而激發(fā)的響應(yīng)幅值a5，且前者受溫度變化的影響更加明顯。對(duì)于低階模態(tài)，隨著溫度的降低，曲線向左偏轉(zhuǎn)的程度加劇，系統(tǒng)響應(yīng)幅值a2降低。溫度變化對(duì)霍普分岔點(diǎn)的影響明顯大于鞍節(jié)點(diǎn)分岔點(diǎn)，當(dāng)外激勵(lì)調(diào)諧參數(shù)σ1從0.4不斷減小時(shí)，在升溫的環(huán)境中，霍普分岔的出現(xiàn)明顯滯后，該結(jié)論與激勵(lì)作用在高階模態(tài)時(shí)的均一致。

圖8 溫度變化對(duì)幅頻響應(yīng)曲線影響(f2=0.006和σ2=0)

4 結(jié) 論

本文以懸索同時(shí)發(fā)生主共振和2∶1內(nèi)共振為例，研究了該非線性系統(tǒng)共振響應(yīng)特性受溫度變化的影響。研究結(jié)果表明：溫度會(huì)明顯改變懸索模態(tài)頻率，影響系統(tǒng)內(nèi)共振響應(yīng)，溫度上升時(shí)，內(nèi)共振更容易發(fā)生在Irvine參數(shù)較小的懸索，反之就更容易發(fā)生于較大Irvine參數(shù)的懸索；無(wú)論激勵(lì)直接作用在高階還是低階模態(tài)，共振響應(yīng)的幅值隨著溫度上升而增加，反之則減??；直接激發(fā)的模態(tài)響應(yīng)幅值與因內(nèi)共振激發(fā)的響應(yīng)幅值受溫度變化影響的敏感程度有明顯區(qū)別；溫度變化對(duì)動(dòng)態(tài)分岔(霍普和倍周期分岔)影響要比對(duì)靜態(tài)分岔(鞍結(jié)點(diǎn)和叉形分岔)明顯得多；動(dòng)態(tài)分岔會(huì)隨著溫度上升，向更小激勵(lì)幅值和頻率方向移動(dòng)；系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)解和周期運(yùn)動(dòng)與溫度變化密切相關(guān)，相同的調(diào)諧參數(shù)，不同的溫度，系統(tǒng)的周期運(yùn)動(dòng)可能截然不同。研究懸索內(nèi)共振響應(yīng)受溫度變化的影響，可以為其他同時(shí)包含平方和立方非線性系統(tǒng)(比如：淺拱、索梁和旋轉(zhuǎn)葉片等)振動(dòng)特性的溫度效應(yīng)提供參考和依據(jù)。