不同齒根裂紋深度的嚙合剛度與振動響應(yīng)分析?

劉 杰，孫玉鳳，李環(huán)宇

（沈陽工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院 沈陽，110870）

引言

齒輪嚙合剛度的周期性變化是齒輪系統(tǒng)產(chǎn)生振動的主要內(nèi)部激勵。嚙合剛度會隨輪齒的變形而改變，從而導(dǎo)致系統(tǒng)產(chǎn)生振動和噪聲等問題，影響機(jī)械設(shè)備的正常工作。吳家騰等［1］利用解析有限元法分析了不同裂紋深度下的嚙合剛度并研究了其對振動響應(yīng)的影響。Wu等［2］通過能量法計(jì)算出不同裂紋模型下的齒輪嚙合剛度，同時分析了含裂紋故障的齒輪系統(tǒng)振動響應(yīng)的變化。萬志國等［3-4］分析了齒根裂紋擴(kuò)展及不同深度的齒根裂紋對時變嚙合剛度的影響。王旭等［5］考慮齒輪的時變嚙合剛度、傳動誤差和軸承支撐剛度的影響，分析了故障齒輪系統(tǒng)的信號特征。文獻(xiàn)［6-7］在分析齒輪時變嚙合剛度時，考慮較為真實(shí)的過渡曲線，對現(xiàn)有的能量法計(jì)算齒輪嚙合剛度作了進(jìn)一步修正。胡信鵬［8］利用能量法推導(dǎo)出齒根裂紋深度不超過半齒厚時的嚙合剛度計(jì)算公式，分析了含齒根裂紋故障的齒輪嚙合剛度。楊文廣等［9］將行星齒輪的太陽輪斷齒故障等效到時變嚙合剛度中，對其正常和斷齒狀態(tài)下的動力學(xué)模型進(jìn)行求解。劉杰等［10］將輪齒簡化為懸臂梁分析齒輪的剛度計(jì)算方法，研究了太陽輪齒根裂紋對系統(tǒng)響應(yīng)的影響。Wang等［11］提出了一種計(jì)算齒輪副時變嚙合剛度的解析模型，分析了齒輪嚙合剛度與振動特征在時域和頻域的關(guān)系。Shao等［12］建立了行星輪系的動力學(xué)模型，分析了齒根裂紋對系統(tǒng)振動響應(yīng)的影響。Rezaei等［13］提出了一種用來檢測斜齒輪中含多裂紋位置的方法。Yu等［14］分析了含齒根裂紋故障的齒輪對系統(tǒng)動態(tài)特性的影響。Jin等［15］利用小波原理去噪，再利用經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解特性，分析裂紋齒對系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)的影響。崔玲麗等［16］利用能量法與有限元法，研究了齒輪嚙合剛度，但沒有根據(jù)裂紋深度的不同對齒根裂紋模型分類細(xì)化。國內(nèi)外許多著名學(xué)者都對含裂紋故障的齒輪嚙合剛度進(jìn)行了大量的研究，但是對于劃分出不同深度的裂紋模型所對應(yīng)的彎曲剛度與剪切剛度原理的研究相對較少。

筆者把齒根裂紋劃分為3種情況，即根據(jù)裂紋尖端到單齒中線的距離（hc1，hc2）與1/2齒頂圓齒厚（hr）的關(guān)系分為：hc1≥hr，hc1≤hr，hc2≤hr裂紋深度q＞qmax時。利用能量法原理及不同齒根裂紋模型下的彎曲剛度、剪切剛度公式，分析了齒輪嚙合剛度隨裂紋深度增大的變化。同時，利用ANSYS有限元軟件，建立齒輪系統(tǒng)有限元模型，計(jì)算出不同齒根裂紋模型的齒輪嚙合剛度，從而驗(yàn)證了把齒根裂紋模型分為3種情況所計(jì)算出的嚙合剛度的準(zhǔn)確性。在嚙合剛度的基礎(chǔ)上，建立多自由度齒輪系統(tǒng)動力學(xué)模型分析了裂紋對齒輪系統(tǒng)振動響應(yīng)的影響。

1 齒輪副嚙合剛度計(jì)算原理

1.1 健康齒輪嚙合剛度計(jì)算

能量法計(jì)算齒輪的嚙合剛度是一種較為精確的計(jì)算方法，在直齒圓柱齒輪上可以把每個輪齒當(dāng)作一個變截面的懸臂梁。輪齒的嚙合剛度為齒面法向作用力與變形量之比，因而齒輪嚙合剛度可以看作是法向力與懸臂梁在作用力下的變形之比。齒輪中所存儲的能量主要包括赫茲能量、彎曲能量、壓縮能量及剪切能量，與各能量相對應(yīng)的為赫茲剛度、彎曲剛度、壓縮剛度及剪切剛度，各嚙合剛度的串聯(lián)為總嚙合剛度。

各能量公式為

其 中：Uh為 赫 茲 能 量；Ub為彎曲能量；Ua為 壓 縮 能量；Us為 剪 切 能 量；F為 嚙 合 點(diǎn) 處 的 作 用 力；kh為赫 茲 接 觸 剛度；kb為 彎 曲 剛度；ka為 壓 縮 剛 度；ks為剪切剛度。

根據(jù)赫茲定理可知，赫茲剛度與接觸位置無關(guān)。赫茲接觸剛度［17］可表示為

其中：E為彈性模量；L為齒輪寬度；v為泊松比。

根據(jù)材料力學(xué)懸臂梁理論并結(jié)合圖1可知，彎曲能量、壓縮能量和剪切能量公式可表示為

圖1 齒輪受力示意圖Fig.1 Force diagram of gear

其中：Ix為距離齒根x處的截面面積慣性矩；M為彎矩；Ax=2hxL為橫截面積；G為剪切模量；Fa為嚙合力沿水平方向的分力；Fb為嚙合力沿垂直線方向的分力；d為嚙合點(diǎn)到齒根的距離；x為嚙合區(qū)任意點(diǎn)到齒根圓的距離。

由式（1），（3）可以推導(dǎo)出彎曲剛度、壓縮剛度、剪切剛度其中：α為距離基圓位置x處嚙合壓力角；α1為嚙合力和豎直線的夾角，等于嚙合壓力角；α2為基圓半齒厚所對的中心角。

由于沒有考慮齒輪基體的柔性變形，使得以上方法計(jì)算出的嚙合剛度值偏大。為了使得計(jì)算值更加準(zhǔn)確，文獻(xiàn)［18］考慮了基體變形對嚙合剛度的影響，基體變形所引起的剛度公式為

其中：各參數(shù)詳見文獻(xiàn)［18］。

齒輪的嚙合剛度，即為赫茲剛度、彎曲剛度、壓縮剛度及剪切剛度和基體變形引起的剛度的串聯(lián)形式。因此，齒輪嚙合剛度公式由式（8），（9）所示。

當(dāng)一對齒輪嚙合時嚙合剛度為其中：下角標(biāo)1，2表示主動輪、從動輪。

當(dāng)兩對齒輪嚙合時嚙合剛度［16］為

其 中：i=1時為第1對 齒 輪嚙合；i=2時 為 第2對 齒輪嚙合。

1.2 裂紋齒輪嚙合剛度計(jì)算

當(dāng)齒輪產(chǎn)生裂紋時，彎曲剛度和剪切剛度會隨裂紋的產(chǎn)生而變化，赫茲接觸剛度、壓縮剛度及基體剛度不變。因此，當(dāng)齒輪產(chǎn)生裂紋時只需對彎曲剛度、剪切剛度進(jìn)行相應(yīng)的調(diào)整即可。根據(jù)本研究實(shí)際模型，假設(shè)裂紋沿著A到B再到C的路徑逐次擴(kuò)展，當(dāng)裂紋深度q為2.95 mm時達(dá)到最大值，裂紋擴(kuò)展角β為45°，如圖2（a）所示，而在實(shí)際建模時裂紋的增長趨勢如圖2（b）所示。結(jié)合文獻(xiàn)［2］所述，本模型中含齒根裂紋的彎曲剛度、剪切剛度可分為3種情況，如圖3～5所示。

圖2 齒根裂紋Fig.2 Root crack

圖3 齒根裂紋模型1 Fig.3 Root crack model 1

齒根產(chǎn)生裂紋時，有效截面慣性矩和橫截面積會發(fā)生改變。當(dāng)裂紋深度q＜qmax時，有效截面慣性矩和橫截面積可表示為

圖4 齒根裂紋模型2 Fig.4 Root crack model 2

圖5 齒根裂紋模型3 Fig.5 Root crack model 3

其中：hx為嚙合區(qū)內(nèi)任意一點(diǎn)到齒根圓的距離；gc為嚙合點(diǎn)到齒根處的距離。

第1種情況：當(dāng)hc1≥hr，α1＜90°時，此時裂紋深度q較?。ㄎ闹心Ｐ蛁≤1.84 mm），如圖3所示，含裂紋齒的彎曲剛度和剪切剛度可表示為

第2種情況：當(dāng)hc1＜hr，α1＞90°時，此時裂紋深度q增大，q≤qmax（文中模型1.84 mm＜q≤qmax），如圖4所示，含裂紋齒的彎曲剛度和剪切剛度可表示為

第3種情況：當(dāng)hc2＜hr，α1＞90°時，裂紋深度q＞qmax，如圖5所示，含裂紋齒的彎曲剛度和剪切剛度可表示為

根據(jù)不同模型下的裂紋齒輪彎曲剛度和剪切剛度原理，并結(jié)合齒輪綜合嚙合剛度公式（8）、公式（9）及表1中的齒輪系統(tǒng)基本參數(shù)，在裂紋深度q為10%，30%，50%，70%的情況下（q為所占2qmax的百分比），建立模型分析含齒根裂紋齒輪的嚙合剛度。當(dāng)q=10%，30%時，運(yùn)用公式（12），（13）；當(dāng)q=50%時，運(yùn)用公式（14），（15）；當(dāng)q=70%時，運(yùn)用公式（16），（17），不同模型下的裂紋齒輪嚙合剛度分析結(jié)果如圖6所示。

由圖6可知，當(dāng)裂紋產(chǎn)生時齒輪副的嚙合剛度減小。當(dāng)裂紋深度q=10%時，嚙合剛度相較于健康齒輪嚙合剛度減小3.50%；當(dāng)裂紋深度q=30%時，嚙合剛度相較于q=10%時裂紋齒輪嚙合剛度減小5.86%；當(dāng)裂紋深度q=50%時，齒輪副嚙合剛度相較于q=30%時裂紋齒輪嚙合剛度減小10.06%；當(dāng)裂紋深度q=70%時，齒輪副嚙合剛度相較于q=50%時裂紋齒輪嚙合剛度減小20.50%。由此可知，隨著裂紋深度的增大，齒輪嚙合剛度的減小幅度逐步增大，當(dāng)大于q=50%后嚙合剛度的減小幅度加劇。

表1 齒輪副基本參數(shù)Tab.1 Basic parameters of gear pair

圖6 能量法不同深度的裂紋齒輪嚙合剛度Fig.6 Meshing stiffness of cracked gear with different depth by energy method

2 有限元法計(jì)算裂紋齒輪嚙合剛度

建立齒根裂紋有限元模型如圖7所示，裂紋深度q為10%，30%，50%，70%，裂紋擴(kuò)展角β=45°，裂紋深度q為10%時的齒輪模型如圖7（a）所示。由于裂紋尖端附近的應(yīng)力應(yīng)變具有奇異性，采用1/4節(jié)點(diǎn)位移法把裂紋尖端附近設(shè)置為奇異單元，如圖7（b）所示。

圖7 齒根裂紋模型Fig.7 Root crack model

齒輪單雙齒交替嚙合產(chǎn)生的周期性變形是引起齒輪剛度激勵的原因，輪齒變形的大小直接影響齒輪的嚙合剛度。

嚙合剛度公式為

扭轉(zhuǎn)嚙合剛度公式為

扭轉(zhuǎn)嚙合剛度與嚙合剛度的關(guān)系為

因此齒輪嚙合剛度公式為

其中：T為齒輪轉(zhuǎn)矩；Δθ為齒輪轉(zhuǎn)角變形值；rb為基圓半徑。

根據(jù)有限元法嚙合剛度計(jì)算理論及表1中的參數(shù)，計(jì)算出不同深度的裂紋齒輪嚙合剛度如圖8所示。

由圖8可知，當(dāng)齒輪產(chǎn)生裂紋時其嚙合剛度會隨之減小。當(dāng)裂紋深度q為10%時，嚙合剛度相較于健康齒輪嚙合剛度減小3.47%；當(dāng)裂紋深度q為30%時，嚙合剛度相較于q為10%時嚙合剛度減小5.87%；當(dāng)裂紋深度q為50%時，嚙合剛度相較于q為30%時減小10.44%；當(dāng)裂紋深度q為70%時，嚙合剛度相較于q為50%時減小16.52%。隨著裂紋深度的增大，嚙合剛度的減小幅度逐步增大。

圖8 有限元法不同深度的裂紋齒輪嚙合剛度Fig.8 Meshing stiffness of cracked gear with different depth by finite element method

ISO6336-1：2006規(guī)定了齒輪嚙合剛度均值與單齒嚙合剛度最大值的求解方法，與能量法和有限元法計(jì)算出的結(jié)果相比較，如表2所示。

表2 嚙合剛度計(jì)算誤差比較Tab.2 Comparison of calculation errors of meshing stiffness

由表2可知，能量法與ISO標(biāo)準(zhǔn)計(jì)算出的齒輪嚙合剛度均值相差5.03%，與單齒嚙合剛度最大值相差4.68%；有限元法與ISO標(biāo)準(zhǔn)值計(jì)算出的齒輪嚙合剛度均值相差-5.45%，與單齒嚙合剛度最大值相差-5.02%。由此可知，能量法更精確。

3 含齒根裂紋故障的齒輪系統(tǒng)振動響應(yīng)分析

為了分析含齒根裂紋故障的齒輪嚙合剛度對系統(tǒng)振動響應(yīng)的影響，建立6自由度齒輪系統(tǒng)動力學(xué)模型［5］，如圖9所示。采用集中參數(shù)法，假設(shè)齒輪嚙合無誤差，在不考慮齒輪間的摩擦力和齒輪箱體共振的情況下，把軸的質(zhì)量和慣性集中到齒輪上，分析不同裂紋深度的齒輪嚙合剛度的振動響應(yīng)。

圖9 齒輪系統(tǒng)動力學(xué)模型Fig.9 Gear system dynamic model

其中：m1，m2分別為主、從動輪質(zhì)量；J1，J2分別為主、從動輪轉(zhuǎn)動慣量；Kp1，Kp2為軸承支撐剛度；Cp1，Cp2為阻尼系數(shù)；T1，T2為主、從動輪轉(zhuǎn)矩；α為壓力角；θ1，θ2分別為主、從動輪x方向、y方向的轉(zhuǎn)角位移。

齒輪系統(tǒng)的時變嚙合力Fm可表示為

其中：cm為齒輪嚙合阻尼；km（t）為時變嚙合剛度；δ為沿嚙合線齒輪相對位移，可表示為

其中：e（t）為傳遞誤差。

f（δ）為間隙非線性函數(shù)，其可以表示為

其中：b為齒輪間隙。

根據(jù)表1、表3及動力學(xué)理論，采用能量法計(jì)算出的嚙合剛度和Runge-Kutta迭代方式求解齒輪動力學(xué)方程。設(shè)主動輪轉(zhuǎn)速Ω1=1 000 r/min，在求出不同深度的齒根裂紋齒輪嚙合剛度的基礎(chǔ)上，分析不同裂紋深度下齒輪系統(tǒng)在y方向的振動位移、頻譜圖、相位圖及龐加萊截面圖，如圖10所示。

圖10 不同裂紋深度的齒輪系統(tǒng)振動響應(yīng)Fig.10 Vibration response of gear system with different crack depth

表3 齒輪系統(tǒng)動力學(xué)模型參數(shù)Tab.3 Dynamic model parameters of gear system

圖10 中：a1，b1，c1，d1為健康齒輪的振動響應(yīng)；a2，b2，c2，d2為齒根裂紋q=10%時的振動響應(yīng)；a3，b3，c3，d3為齒根裂紋q=30%時的振動響應(yīng)；a4，b4，c4，d4為齒根裂紋q=50%時的振動響應(yīng)；a5，b5，c5，d5為齒根裂紋q=70%時的振動響應(yīng)。

由圖10（a1～a5）可知，健康齒輪的振動幅度比較平穩(wěn)，位移在-1.1×10-6～3.9×10-6m之間，當(dāng)產(chǎn)生裂紋并隨著裂紋深度的增加，振動位移會隨之遞增，由圖（a2）中的-2.016×10-6～4.564×10-6m增大到圖（a5）中的-2.185×10-6～4.705×10-6m且振動響應(yīng)發(fā)生不平穩(wěn)現(xiàn)象。由圖10（b1～b5）可知，在健康齒輪中嚙合頻率fm為主導(dǎo)響應(yīng)且存在2fm，3fm，4fm，當(dāng)裂紋產(chǎn)生并隨著裂紋深度的增加，在fm和2fm的附近產(chǎn)生微小的雜頻并隨著裂紋的增長雜頻隨之增加。由圖10（c1～c5）可知，健康齒輪的軌跡較為規(guī)則，當(dāng)裂紋產(chǎn)生時軌跡寬度變大，并隨著裂紋的增大軌跡寬度隨之增大且出現(xiàn)交叉軌跡。由圖10（d1～d5）可知，龐加萊圖中健康齒輪系統(tǒng)的所有離散點(diǎn)聚集在一個區(qū)域，當(dāng)齒輪產(chǎn)生裂紋并隨著裂紋的增加所有離散點(diǎn)聚集區(qū)域逐步增大。

4 結(jié)論

1）根據(jù)裂紋尖端到單齒中線的距離（hc1，hc2）與1/2齒頂圓齒厚（hr）的關(guān)系把齒根裂紋模型分為3種情況，利用裂紋嚙合剛度理論計(jì)算出含裂紋齒輪嚙合剛度更加精確。隨著裂紋的增長嚙合剛度隨之減小，嚙合剛度的減小幅度隨裂紋的增長而逐步加劇。

2）有限元法計(jì)算出的嚙合剛度與能量法計(jì)算出的嚙合剛度值較為接近，在健康齒輪情況下，能量法計(jì)算出的單齒嚙合剛度最大值為3.13×108N/m，嚙合剛度均值為5.01×108N/m而有限元法計(jì)算出的單齒嚙合剛度最大值為2.84×108N/m，嚙合剛度均值為4.51×108N/m，單齒最大值相差10%，嚙合剛度均值相差9%。與ISO標(biāo)準(zhǔn)相比，能量法更為精確。

3）通過對含裂紋故障齒輪系統(tǒng)動力學(xué)分析可知，在裂紋齒參與嚙合時由于嚙合剛度減小引起振動沖擊。隨著裂紋深度的增長，振動的幅值會隨之增大，在頻域圖中雜頻逐步增加，在相位圖中軌跡寬度逐步增大并產(chǎn)生交叉軌跡，龐加萊圖中的離散點(diǎn)聚集區(qū)域逐步增大，為進(jìn)一步故障診斷奠定基礎(chǔ)。