用電阻定義式求特殊電容器直流電阻

黃紹書(shū)，馮俊杰

(1. 六盤(pán)水師范學(xué)院，貴州 六盤(pán)水 553000；2. 六盤(pán)水市第八中學(xué)，貴州 六盤(pán)水 553004)

這一常規(guī)的計(jì)算方法，由于電流密度J和電場(chǎng)強(qiáng)度E的矢量性，在實(shí)際計(jì)算過(guò)程中還是比較麻煩的，特別是對(duì)于一些特殊形狀的電容器電阻的計(jì)算就顯得更為突出.

1 特殊電容器電阻的計(jì)算

1.1 球冠形電容器

如圖1所示，設(shè)球冠的高為H，對(duì)應(yīng)的球半徑為R，最大圓半徑為r，最大圓的直徑兩端與球心連線的夾角為φ，那么球冠的面積為

圖1 球冠形電容器

(1)

圖2 兩個(gè)同心球冠構(gòu)成的電容器的截面圖

(2)

即

(3)

因此，整個(gè)球冠形電容器的電阻為

(4)

當(dāng)φ=2π時(shí)，球冠形電容器就過(guò)渡為球形電容器.這時(shí)，式(4)可簡(jiǎn)化為

(5)

很顯然，式(5)即為球形電容器的電阻表達(dá)式.

1.2 柱冠形電容器

若柱冠的長(zhǎng)為L(zhǎng)、半徑為R、圓心角為θ，那么，柱冠的面積可表示為

S=LRθ

(6)

如圖3所示是內(nèi)、外柱面半徑分別為R1和R2、長(zhǎng)為L(zhǎng)、圓心角為θ的同軸柱冠形電容器示意圖.設(shè)兩柱冠之間充滿(mǎn)電導(dǎo)率為σ的電介質(zhì)，同樣可將兩柱冠之間的介質(zhì)層看作是由許多同軸的厚度為dr的薄介質(zhì)柱冠串聯(lián)組成，而每一個(gè)薄介質(zhì)柱冠又同樣相當(dāng)于由許多面積為ΔS的方柱體形電阻元并聯(lián)組成.

本文研究了帶有噪聲的等級(jí)群體,通過(guò)伊藤公式、比較定理和數(shù)學(xué)歸納法,證明了噪聲強(qiáng)度足夠弱時(shí),群體可以無(wú)條件達(dá)到群集運(yùn)動(dòng)。本文研究的等級(jí)群體是基于全局領(lǐng)導(dǎo)者速度是勻速時(shí)分析的,對(duì)領(lǐng)導(dǎo)者變化速度的情形有待進(jìn)一步研究。

圖3 同軸柱冠形電容器示意圖

(7)

即

(8)

因此，整個(gè)柱冠形電容器的電阻為

(8)

當(dāng)θ=2π時(shí)，柱冠形電容器就過(guò)渡為圓柱形電容器.這時(shí)，式(9)可簡(jiǎn)化為

(10)

很顯然，式(10)即為圓柱形電容器的電阻表達(dá)式.

1.3 正多棱柱形電容器

如圖4所示，設(shè)正n(n∈N且n>2，下同)棱柱形電容器高為H，每個(gè)側(cè)面與軸之間的距離為R，相鄰兩條棱對(duì)軸的張角為φ，那么棱柱的每個(gè)側(cè)面面積為

圖4 棱柱形電容器

(11)

如圖5所示是正n棱柱形電容器的截面示意圖.設(shè)內(nèi)、外兩側(cè)面之間充滿(mǎn)電導(dǎo)率為σ的電介質(zhì)，內(nèi)、外兩側(cè)面與軸之間的距離分別為R1和R2.將兩側(cè)面之間的介質(zhì)層看作是由許多同軸的厚度為dr的薄介質(zhì)層串聯(lián)組成，而每一個(gè)薄介質(zhì)層又相當(dāng)于由許多截面積為ΔS的方柱體形電阻元并聯(lián)組成.

圖5 棱柱形電容器的截面示意圖

(12)

即

(13)

所以，每個(gè)等腰梯形狀電容器的電阻為

(14)

顯然，正n棱柱形電容器的電阻為n個(gè)相同的等腰梯形狀電容器的電阻并聯(lián)的等效電阻.即

(15)

(15)

即簡(jiǎn)化為

(16)

很顯然，式(16)與(10)是一致的.這就說(shuō)明，當(dāng)n→∞時(shí)，正n棱柱形電容器就過(guò)渡為圓柱形電容器.

2 結(jié)語(yǔ)

本文對(duì)特殊形狀的電容器電阻的計(jì)算方法的主要特點(diǎn)在于直接應(yīng)用電阻的串聯(lián)和并聯(lián)關(guān)系，簡(jiǎn)潔明了的簡(jiǎn)化了計(jì)算過(guò)程，并使知識(shí)回歸本源.

有文獻(xiàn)[12-15]采用與此類(lèi)似的方法對(duì)一些特殊形狀的電容器電容進(jìn)行了計(jì)算，同樣收到化繁為簡(jiǎn)的效果.