利用費(fèi)曼路徑積分理論分析多光子干涉

王瑞敏,劉丹東,徐忠鋒

(西安交通大學(xué) 物理學(xué)院，陜西 西安 710049)

量子力學(xué)中，光子干涉是學(xué)習(xí)和理解光的波粒二象性的重要實(shí)驗(yàn)依據(jù).同時(shí)，由于它在量子信息處理方面的應(yīng)用潛力，也是目前量子光學(xué)研究的熱點(diǎn)之一[1]. 狄拉克曾指出：每個(gè)光子只能和自己干涉，不同光子之間的干涉是不可能發(fā)生的.狄拉克的表述是對(duì)一階干涉來(lái)說的，而雙光子干涉是二階干涉現(xiàn)象.對(duì)二階干涉，乃至高階干涉的解釋，目前存在不同的理論[2].

量子力學(xué)有3種表述形式，波動(dòng)力學(xué)、矩陣力學(xué)和費(fèi)曼路徑積分[3].目前國(guó)內(nèi)的量子力學(xué)教材都在沿用波動(dòng)力學(xué)和矩陣力學(xué)兩種最早出現(xiàn)的表述形式，幾乎沒有介紹費(fèi)曼路徑積分理論的.因?yàn)? 多數(shù)人認(rèn)為對(duì)所有路徑求積分是將該理論引入教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)[4].然而，用費(fèi)曼路徑積分處理微觀粒子的干涉，不用考慮狄拉克的表述，一階和高階干涉具有統(tǒng)一的理論解釋[5].它使得經(jīng)典力學(xué)和量子力學(xué)之間的過渡不再有任何困難.我們?cè)诮虒W(xué)中指導(dǎo)學(xué)生利用費(fèi)曼路徑積分理論，推導(dǎo)了雙光子二階干涉和三光子三階干涉，讓學(xué)生鑒賞到這種新方法的方便、直觀.同時(shí)，幫助學(xué)生進(jìn)一步理解量子干涉現(xiàn)象,也了解了目前量子力學(xué)的前沿發(fā)展.

1 兩熱光源的二階時(shí)間干涉

雙光子二階干涉的理論和實(shí)驗(yàn)研究有很多研究報(bào)道[2,6]，包括非經(jīng)典光源和熱光源.我們首先介紹用費(fèi)曼路徑積分理論得到的二階時(shí)間干涉的結(jié)果.圖1是雙光子干涉實(shí)驗(yàn)裝置圖.兩個(gè)非簡(jiǎn)并的準(zhǔn)熱光源S1和S2，發(fā)出兩個(gè)光子A和B.光子通過分束器BS后被兩個(gè)單光子探測(cè)器D1和D2接收，并觸發(fā)雙光子符合計(jì)數(shù)系統(tǒng). 實(shí)驗(yàn)中測(cè)量分束器輸出端符合計(jì)數(shù)率，根據(jù)符合計(jì)數(shù)率的極值變化判斷是否發(fā)生干涉. 對(duì)于時(shí)間干涉，我們規(guī)定兩個(gè)光源到兩探測(cè)器的距離r相同，并設(shè)兩光源的強(qiáng)度相同，中心頻率分別為ω1和ω2，頻率帶寬都為Δω. 對(duì)于多光子干涉，光源和路徑的不可區(qū)分是產(chǎn)生干涉的關(guān)鍵.雖然中心頻率不完全相同，但當(dāng)時(shí)間測(cè)量的不確定度小于1/|ω1-ω2|時(shí)，可以認(rèn)為是不可區(qū)分的[7]. 此時(shí)，就會(huì)出現(xiàn)干涉現(xiàn)象，干涉規(guī)律可以用二階關(guān)聯(lián)函數(shù)，即雙光子波函數(shù)的模方表示. 對(duì)于所有可能的積分路徑，我們可以通過列表法來(lái)直觀展現(xiàn).如表1，兩個(gè)光子A和B可以由同一個(gè)光源S1或S2產(chǎn)生，也可以分別由不同光源產(chǎn)生，存在4種情況. 在每種情況下，兩個(gè)光子到達(dá)兩個(gè)探測(cè)器又存在兩個(gè)不可區(qū)分的路徑. 第1種是光子A到達(dá)探測(cè)器D1，B到達(dá)D2.第2種是光子A到達(dá)D2，B到達(dá)D1. 根據(jù)費(fèi)曼路徑積分疊加原理，總的概率波幅是所有可能路徑的概率波幅之和.二階關(guān)聯(lián)函數(shù)Φ(2)(t1,t2)包含上述4種產(chǎn)生光子情況下對(duì)概率分布的貢獻(xiàn).

表1 二階干涉光源和路徑不可區(qū)分的各種情況

圖1 雙光子二階干涉光路圖

Φ(2)(t1,t2)=〈|Φ1j(t1,t2)+Φ2j(t1,t2)+

Φ3j(t1,t2)+Φ4j(t1,t2)|2〉

(1)

其中每一項(xiàng)又包含兩個(gè)不同路徑的貢獻(xiàn)，等于兩個(gè)路徑的概率分布之和. 如第1項(xiàng)兩光子都由光源S1發(fā)出，光子A到達(dá)探測(cè)器D1，B到達(dá)D2. 或者是光子A到達(dá)D2，B到達(dá)D1，則

(2)

第2項(xiàng)兩光子都由光源S2發(fā)出時(shí)，

(3)

在這里，觸發(fā)一次三光子符合計(jì)數(shù)的情況雖然多，但表現(xiàn)在公式里只是角標(biāo)的輪換，其它項(xiàng)具有完全相同的形式，學(xué)生不難理解. 將費(fèi)曼光傳播算子(4)式代入后可得三階關(guān)聯(lián)函數(shù)

(4)

將其代入式(1)后可得

(5)

在現(xiàn)場(chǎng)作業(yè)工作完成后，要對(duì)現(xiàn)場(chǎng)進(jìn)行仔細(xì)清理，并且注意要恢復(fù)現(xiàn)場(chǎng)的有關(guān)安全防護(hù)措施，還原原有的設(shè)備定置，防止由于作業(yè)而給現(xiàn)場(chǎng)留下日后的安全隱患。

2 兩熱光源的三階時(shí)間干涉

{1+cos[(t1-t2)(ω1-ω2)]+

圖2 三階干涉光路圖

表2 兩光源三階干涉的所有可能路徑

(6)

每種產(chǎn)生光子的情況下，A、B、C三個(gè)光子到達(dá)3個(gè)探測(cè)器D1、D2、D3，又存在6種不可區(qū)分的路徑(如表2所示). 因此，式中每一項(xiàng)又等于6種路徑的概率幅之和，如

故宮解說詞，作為一種旅游文本，集文學(xué)性、藝術(shù)性、宣傳性為一體。其英譯的目的是滿足外籍游客的基本信息需求，并實(shí)現(xiàn)跨文化交際。在連貫性原則的指導(dǎo)下，故宮的英譯文本應(yīng)使用類似目的語(yǔ)的寫作手法，提高語(yǔ)言的可讀性，提供充分的背景信息幫助外籍游客更好地了解文物的文化內(nèi)涵。而忠實(shí)法則要求譯者要注重文本的內(nèi)在邏輯，忠實(shí)于原文。

式中前3項(xiàng)代表兩光子之間的二階干涉，最后1項(xiàng)代表三光子之間的三階干涉. 由此可見，三階干涉包含二階干涉的所有信息.

(7)

其它項(xiàng)有相同的形式，只是角標(biāo)變化. 式中φi jA,B表示光子的初相位，當(dāng)光子經(jīng)BS反射時(shí)需要附加π/2的相位. 由于2個(gè)熱源是相互獨(dú)立的，式(1)中相位求統(tǒng)計(jì)平均后為零.Kαβ是光源Sα到探測(cè)器Dβ的費(fèi)曼光傳播算子，它反映光子從Sα到Dβ的概率波幅. 對(duì)于熱光源

式中sinc(x)=sinx/x,sinc2[Δω(t1-t2)/2]表示光子聚束項(xiàng)，cos(t1-t2)(ω1-ω2)表示拍頻項(xiàng).當(dāng)兩個(gè)頻率相近的光子發(fā)生量子干涉時(shí)，會(huì)出現(xiàn)拍的現(xiàn)象，稱為量子拍.

如圖2，在雙光子二階干涉的實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)上，增加一個(gè)分束器將光分為3束. 其中BS1為1:2，BS2為1:1，以保證3個(gè)探測(cè)器接收的光強(qiáng)度相同. 光源到3個(gè)探測(cè)器的距離都為r. 3個(gè)探測(cè)器的光觸發(fā)3光子符合計(jì)數(shù)系統(tǒng). 此時(shí)光源發(fā)出3個(gè)光子存在8種不可區(qū)分的情況，如表2所示. A、B、C三個(gè)光子可能由同一個(gè)光源S1或S2產(chǎn)生，也可能光源S1產(chǎn)生兩個(gè)，S2產(chǎn)生一個(gè)，或者S1產(chǎn)生一個(gè)，S2產(chǎn)生兩個(gè). 總的概率波幅是這8種情況的概率波幅之和.三階關(guān)聯(lián)函數(shù)等于8項(xiàng)相加

cos[(t2-t3)(ω1-ω2)]+cos[(t3-t1)(ω1-ω2)]}}

對(duì)所有患者開展腫瘤組織間碘-125放射性粒子植入術(shù)治療。首先,為患者開展經(jīng)皮穿刺植入法治療。針對(duì)肝癌,頸部癌癥,口腔癌,腎癌等患者,于局麻下采用放射性離子穿刺植入針開展手術(shù)?；颊哂贑T定位下按照所需間距及粒子數(shù)經(jīng)皮穿刺植入病灶內(nèi)部,保證粒子縱橫間距在1-2cm之間。針對(duì)食道癌患者,可根據(jù)患者食道病變長(zhǎng)度和狹窄程度,選擇合適的放射性離子食管覆膜支架,開展植入。方法與普通食管支架方法相同,植入放射性離子為碘-125離子。

(8)

目前,澳大利亞職前體育教師采取階段性的教育實(shí)習(xí)方式,即各個(gè)階段的教育實(shí)習(xí)并非連續(xù)整體的一個(gè)周期, 而是貫穿于本科的四年時(shí)間之中，使職前體育教師每年都有機(jī)會(huì)到合作的中小學(xué)進(jìn)行專業(yè)體驗(yàn)。以悉尼大學(xué)體育教育專業(yè)為例，從大學(xué)第一年起，學(xué)院每學(xué)期都會(huì)安排學(xué)生到中小學(xué)進(jìn)行實(shí)習(xí)(總共80天)，實(shí)習(xí)的時(shí)長(zhǎng)將隨著學(xué)生教學(xué)水平的提高而逐漸增加(表5)。

3 三熱光源的三階時(shí)間干涉

我們還可以進(jìn)一步在圖2中增加光源S3，中心頻率為ω3， A、B、C三個(gè)光子由3個(gè)光源發(fā)出，就可以得到3熱光源的三階時(shí)間干涉.用同樣的方法列表統(tǒng)計(jì)3個(gè)光源發(fā)出3個(gè)光子的所有可能情況，如表3所示，此時(shí)共存在27種光源不可區(qū)分的情況. 3熱光源的三階關(guān)聯(lián)函數(shù)包含這27種情況下被探測(cè)到的3光子概率分布的貢獻(xiàn)，即

表3 三光源三階干涉中光源不可區(qū)分的各種情況

Φ(3)(t1,t2,t3)=〈|Φ1j(t1,t2,t3)+Φ2j(t1,t2,t3)+

…+Φ27j(t1,t2,t3)|2〉

(9)

每種情況下，A、B、C三個(gè)光子到達(dá)3個(gè)探測(cè)器D1、D2、D3仍然存在6種不可區(qū)分的路徑，與表2中完全相同. 因此，上式中每一項(xiàng)概率分布表達(dá)式的形式與式(7)相同，是6項(xiàng)相加，只是做角標(biāo)的變化. 將費(fèi)曼光傳播算子代入后就可得三光子三階關(guān)聯(lián)函數(shù). 由此可見，從雙光子的二階干涉到三光子的三階干涉，乃至更高階的干涉，分析思路相同，具有完全統(tǒng)一的理論解釋. 通過這種方法可以讓學(xué)生接觸到高階光子干涉. 對(duì)于多個(gè)積分路徑的難點(diǎn)，利用列表法更容易使學(xué)生理解. 隨著干涉階次增加，關(guān)聯(lián)函數(shù)包含的項(xiàng)數(shù)增多，會(huì)變得比較復(fù)雜. 對(duì)于多光子干涉比較復(fù)雜的關(guān)聯(lián)函數(shù)，我們可以利用計(jì)算機(jī)模擬來(lái)給學(xué)生直觀地展現(xiàn)干涉結(jié)果.

根據(jù)不同的分類標(biāo)準(zhǔn)，研究方法有不同的分類方式。以研究的目標(biāo)或目的為標(biāo)準(zhǔn)，可分為“基礎(chǔ)研究”和“應(yīng)用研究”；以研究方法為標(biāo)準(zhǔn)，可分為“定性研究”和“定量研究”；以研究方式為標(biāo)準(zhǔn)，可分為“理論研究”“實(shí)驗(yàn)研究”“調(diào)查研究”等。借鑒這些分類，本文將英語(yǔ)詞匯學(xué)習(xí)研究方法分類兩大類，一類是以實(shí)驗(yàn)為基礎(chǔ)的實(shí)證研究，另一類是以理論分析為基礎(chǔ)的理論研究。

4 干涉結(jié)果的模擬

圖3是利用Mathematica軟件對(duì)二階和三階時(shí)間干涉結(jié)果進(jìn)行的理論模擬.在圖3(a)雙光子二階干涉的結(jié)果中，可以看到在sinc2函數(shù)曲線的包絡(luò)中存在很多干涉峰，它是光子聚束和拍頻項(xiàng)共同作用的結(jié)果.圖3(b)是三光子的三階時(shí)間干涉的結(jié)果.可以看到，在中間主峰兩側(cè)出現(xiàn)了次峰，它是兩光子和三光子聚束之間量子路徑干涉的結(jié)果.我們可以說，多光子干涉是光子聚束和量子拍效應(yīng)共同疊加的結(jié)果. 利用模擬結(jié)果可以讓學(xué)生清楚地觀察到多光子干涉和拍的現(xiàn)象. 圖中改變頻率和相對(duì)時(shí)間延遲，還可以得到更多干涉規(guī)律[8].

圖3 (a)非簡(jiǎn)并雙光子二階干涉模擬， (b)非簡(jiǎn)并三光子三階干涉模擬 (設(shè)定t3=0，t12=t1-t2為相對(duì)時(shí)間延遲)

5 總結(jié)

我們利用費(fèi)曼路徑積分理論推導(dǎo)了雙光子和三光子干涉的關(guān)聯(lián)函數(shù)，并且探討了將費(fèi)曼路徑積分理論引入本科量子力學(xué)教學(xué)的可能性.費(fèi)曼路徑積分對(duì)一階和高階干涉具有統(tǒng)一的理論解釋，利用這種方法可以讓學(xué)生比較容易接觸和理解高階干涉.對(duì)于多個(gè)積分路徑的難點(diǎn)，可以通過列表法來(lái)分析統(tǒng)計(jì). 對(duì)于干涉結(jié)果，可以利用計(jì)算機(jī)模擬來(lái)直觀展現(xiàn).通過上述分析，使學(xué)生在其知識(shí)水平可以理解的范圍內(nèi)，對(duì)光子干涉和量子拍的現(xiàn)象有了深入的認(rèn)識(shí). 同時(shí)，也接觸到了當(dāng)前量子光學(xué)的前沿研究問題. 這是我們教學(xué)內(nèi)容前沿性改革的一次嘗試.