數(shù)形結(jié)合在數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透探析

馬美霞 趙華新

基金項目：陜西省教育廳基金項目（19BZ031）;延安大學(xué)研究生教育教學(xué)改革項目。

作者簡介：馬美霞（1991-），女，漢族，陜西榆林人，延安大學(xué)，碩士研究生，研究方向為學(xué)科教學(xué)（數(shù)學(xué)）;趙華新（1964-），男，漢族，陜西延長人，延安大學(xué)教授，碩士生導(dǎo)師，研究方向為學(xué)科教學(xué)（數(shù)學(xué)）（通訊作者）。

摘 要：數(shù)形結(jié)合思想是一種以“形”直觀表達數(shù)，以“數(shù)”抽象探究形的思想方法，其在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的實踐，是對復(fù)雜、抽象數(shù)學(xué)問題的簡化與具體化，更是高中數(shù)學(xué)有效教學(xué)的重要手段和尋找解題思路的核心思想。細看近幾年的高考試題，我們會發(fā)現(xiàn)高考對數(shù)學(xué)思想方法的考查比重在不斷上升而且很多高考題看似異常復(fù)雜，但是運用數(shù)形結(jié)合的思想去審題和分析，就能少走很多彎路并能迅速找到解題思路進而求出解，為做其他題贏得了寶貴的時間。因此，縱觀高中數(shù)學(xué)教學(xué)現(xiàn)狀，具體闡述了數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的巧妙運用，希望能為高中數(shù)學(xué)教學(xué)高效高質(zhì)的發(fā)展增磚添瓦。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);數(shù)形結(jié)合思想;數(shù)學(xué)教學(xué)

中圖分類號：G4 文獻標識碼：A doi：10.19311/j.cnki.1672-3198.2021.15.070

1 以數(shù)思形，將抽象問題圖形化、簡單化

以形助教，就是以直觀且通俗易懂的圖形來為解決抽象難解的數(shù)學(xué)問題提供思路。美國數(shù)學(xué)家斯蒂恩說過：“如果一個特定的問題可以被轉(zhuǎn)化為一個圖形，那么思想就整體地把握了問題，并且能創(chuàng)造性地思索問題的解法?！痹诟咧袛?shù)學(xué)教材中，一些數(shù)量關(guān)系很抽象，拘囿于知識的抽象性，學(xué)生無法透過題面找到解題突破口，并理清思路去解題，但如果教師啟發(fā)學(xué)生結(jié)合圖形來進行分析，以定性的思維來觀察圖形的大小、形狀和位置，并在畫圖示“意”中不斷審視圖形中的數(shù)量關(guān)系，就會直觀、形象地將抽象思維提煉出來，也就是要把“數(shù)”對應(yīng)的“形”找出來，將“數(shù)的問題”變成“圖的問題”，那抽象的問題就迎刃而解了，且很快能完成題型的解答。因此，在解題過程中，我們要正確認識、掌握并運用以形助教進行解題。恰到好處地使用以形助教，不僅能有效避開冗長的推理計算，還可以讓學(xué)生把抽象的知識領(lǐng)悟的更透徹，從而使教師的“教”與學(xué)生的“學(xué)”實現(xiàn)雙贏。

例如，在教學(xué)“直線與圓錐曲線的位置關(guān)系”時，會涉及求弦長、弦中點、對稱、公共點、參數(shù)的取值范圍、最值等角度的問題，解答該類型題時，對于高考大題可以先運用轉(zhuǎn)化思想將其轉(zhuǎn)化為求直線方程與圓錐方程聯(lián)立的方程組的解的問題進行求解即可。若是選擇、填空類題型可以借助幾何知識的應(yīng)用，運用“數(shù)形結(jié)合”式解題方法進行求解。例1：以已知直線y=k（x+3）和雙曲線x2-4y2=4有且僅有一個公共點，則k的不同取值有（）個。（A）1，（B）2，（C）3，（D）4的選擇題為例，首先，我們畫出雙曲線的草圖，仔細分析題干條件會發(fā)現(xiàn)已知直線是過定點（-3，0）的直線系，雙曲線的漸近線方程為y=±12x，因此過（-3，0）點并和漸近線平行的直線與雙曲線有且僅有一個公共點，此時k有兩個不同的取值，另外一種情況，過（-3，0）點且和雙曲線位置關(guān)系相切的直線與雙曲線也有且僅有一個公共點，此時k可以取兩個不同的值，所以此道選擇題的正確答案是（D）。

再例如以求圓錐曲線弦的中點為例，除了可以聯(lián)立方程利用根與系數(shù)的關(guān)系外，教師也可以利用變式教學(xué)模式，通過已知條件畫出幾何圖形，指引學(xué)生對點的坐標進行假設(shè)，設(shè)出弦的兩個端點，然后將所設(shè)端點代入圓錐曲線方程利用“點差法”作差分解因式，在作差中，利用已知的幾何條件求出直線的斜率并與其聯(lián)系起來求出所問，這樣就可以降低解題難度和減少計算量。綜上所述，數(shù)形結(jié)合思想的運用，不僅能讓學(xué)生輕而易舉解決此類題型，更能對其舉一反三意識進行啟發(fā)。

2 以形變數(shù)，將圖形數(shù)量化

當(dāng)然，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，雖然圖形能將抽象問題直觀地呈現(xiàn)出來，但在定量方面，同樣需要借助代數(shù)來計算，特別是對于復(fù)雜或難度較大的圖形，讓學(xué)生盲目觀察是無法得出結(jié)論的。教師要引導(dǎo)學(xué)生正確繪制圖形，并以定性和定量的雙向思維來從已知圖形挖掘出潛在的條件，進而找出圖形中的數(shù)量關(guān)系，把模糊的圖形澄清、量化，也就是要把“數(shù)”對應(yīng)的“形”找出來，再從“形”中挖掘“隱含的數(shù)”，將“數(shù)的問題”變成“圖的問題”，然后將“圖的問題”與“隱含的數(shù)”相聯(lián)系，最后將圖形與計算結(jié)合起來，做到定性又定量，那抽象的問題就迎刃而解了，也能充分發(fā)揮以形變數(shù)中圖形的判定作用。

例如，在講解“已知圓上到定直線L的距離為某個定值的點的個數(shù)”類題型時，就可以將圖形信息數(shù)量化，進行解決問題。例2：以求圓x2+y2+2x+4y-11=0上到直線L：x+y+1=0的距離為2的點共有幾個？為例。解決這類題，首先我們應(yīng)從平面幾何知識分析出到定直線L：x+y+1=0的距離為2的點的軌跡是平行直線L的兩條直線。從而問題就轉(zhuǎn)化成判斷這兩條直線與已知圓的交點個數(shù)的問題了。分析到這里，我們就可以著手去做題。首先將已知圓的方程變形為標準方程的形式：（x+1）2+（y+2）=16，得出已知圓的圓心是C（-1，-2），半徑r=4，而圓心到直線L的距離為2，由此可以斷定平行于定直線L且距離為2的兩條直線中，一條通過圓心C，另一條與圓C相切，因此這兩條直線與圓C共有3個交點，所以很快得出結(jié)論：圓x2+y2+2x+4y-11=0上到直線L：x+y+1=0的距離為2的點共有3個。這樣先正確畫出草圖，再以定性和定量的雙向思維模式觀察圖形，將圖形與圖形中隱含的數(shù)量關(guān)系找出來并聯(lián)系起來分析題干，便很快能解決問題。

3 形數(shù)互變，不斷提高學(xué)生自我直觀想象素養(yǎng)

在一些高中數(shù)學(xué)問題中，單純憑借前兩種數(shù)形結(jié)合方式的某一種不能解決問題時，就要考慮把圖形和數(shù)字進行轉(zhuǎn)化，切實把握“數(shù)”與“形”的對應(yīng)關(guān)系，以數(shù)思形，以形想數(shù)。

例如，在教學(xué)“求函數(shù)零點的個數(shù)”相關(guān)題型的解題方法時，教師要善于指引學(xué)生將導(dǎo)數(shù)和數(shù)形結(jié)合中形數(shù)互變的數(shù)學(xué)思想結(jié)合起來進行求解。解決這類問題的技巧是：（1）構(gòu)造函數(shù)，并求其定義域，這是解決該類問題的關(guān)鍵環(huán)節(jié);（2）求其導(dǎo)數(shù)，進而判斷出其單調(diào)區(qū)間和極值點;（3）根據(jù)前兩環(huán)節(jié)提煉出的信息及已知條件，畫出函數(shù)草圖;（4）以數(shù)思形，以形想數(shù)，提煉出題設(shè)中的隱含條件，大致確定圖像與橫軸的交點有幾個，然后進行求解。當(dāng)然，在借助數(shù)形結(jié)合思想分析題設(shè)條件和解題時，要注意以下三點：首先，教師要強調(diào)學(xué)生快速找到解題思路解決該類型題是以足夠熟悉相關(guān)概念和運算的幾何意義以及圖形的代數(shù)特征為前提的，而且要以幾何意義和代數(shù)意義雙向思維來考量已知題目中的條件和結(jié)論;其次，要恰當(dāng)假設(shè)參數(shù)，合理運用參數(shù)，把“數(shù)”對應(yīng)的“形”找出來，從“形”中思考“數(shù)”，建立關(guān)系，做好數(shù)形轉(zhuǎn)化;最后，不管是“有圖考圖”還是“無圖考圖”類題型，都需要正確確定參數(shù)的取值范圍。

當(dāng)然，教師在指引學(xué)生運用數(shù)形結(jié)合思想解決實際數(shù)學(xué)問題時，強調(diào)學(xué)生要有并且會審結(jié)論的思維意識。要明白得出結(jié)論或判斷出結(jié)論的正確與否就是實現(xiàn)問題解決的終極目標，所以解數(shù)學(xué)題時的思維過程大多都是從題設(shè)問題找突破口，再進行思考，會審題就是在題設(shè)問題的啟發(fā)下，挖掘出條件與題設(shè)問題之間的內(nèi)在聯(lián)系和轉(zhuǎn)化規(guī)律，要善于從題設(shè)問題中捕捉解題信息，再聯(lián)系圖形轉(zhuǎn)化題設(shè)問題，最終發(fā)現(xiàn)和確定解題方向，進而快速求解。

4 將數(shù)形結(jié)合思想融入學(xué)生自主探究空間

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)為學(xué)生創(chuàng)設(shè)良好的教學(xué)情境，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)形結(jié)合思想的視角對問題進行分析和思考，從而提高學(xué)生學(xué)習(xí)積極性和主動性。在此過程中，要讓學(xué)生感受到“數(shù)學(xué)好玩”，打破原有對數(shù)學(xué)抽象、枯燥的固勢思維，讓學(xué)生在分析與思考中意識到生活中處處有數(shù)學(xué)。教師通過將數(shù)形結(jié)合思想巧妙地引入課堂或試題講解中，激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)中形數(shù)互變的強烈求知欲，在這種專業(yè)訓(xùn)練潛移默化的熏陶下，使學(xué)生可以靈活運用數(shù)學(xué)思想方法，進行積極主動地解決數(shù)學(xué)問題。

例如，在教學(xué)“空間幾何體”環(huán)節(jié)，教師可以利用智能教學(xué)助手，將生活中常見的三維或多維建筑和幾何體呈現(xiàn)給學(xué)生，讓學(xué)生以三視圖與立體模型圖的視角感受眼前的物體，進而直觀、形象的了解物體的基本空間結(jié)構(gòu)，這樣不僅可以降低學(xué)習(xí)抽象幾何體的難度，而且親眼目睹后印象更深刻，更有助于學(xué)生自主探究性的學(xué)習(xí)。在計算空間幾何體面積時，教師可以啟發(fā)學(xué)生嘗試展開空間幾何體的表面和原立體幾何體的各個面進行對比，看有沒有新的發(fā)現(xiàn)進而引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系立體和幾何平面圖進行計算，進而使學(xué)生在對空間構(gòu)型的想象能力和表面積的計算能力方面一矢雙穿。當(dāng)然，教師也可以提示同學(xué)們挑選自己周圍的一些熟悉的立體幾何物體，進行計算并和同學(xué)們互相分享自己的解題思路和計算過程。

教師也可以圍繞教學(xué)內(nèi)容，制定一些以幾何知識為背景的“微視頻”，通過視頻把一些較難、較復(fù)雜的知識點以幾何意義的角度呈現(xiàn)給學(xué)生，讓學(xué)生在觀看了微視頻及預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)案的基礎(chǔ)上，對課程內(nèi)容進行自主學(xué)習(xí)，在自我理解下對圖形和知識進行內(nèi)化，并在探索、質(zhì)疑中，為課堂教學(xué)的更有效開展提供良好的教學(xué)環(huán)境。微視頻式課堂教學(xué)手段的引入，讓教學(xué)內(nèi)容以更直觀、形象、生動的形式呈現(xiàn)在學(xué)生面前，給學(xué)生留下深刻的印象，能激發(fā)學(xué)生對接下來內(nèi)容學(xué)習(xí)的那種強烈的求知欲，可以避免很多因教師傳統(tǒng)僵硬的授課方法，導(dǎo)致學(xué)生將抽象、復(fù)雜的知識掌握的模棱兩可，進而產(chǎn)生對數(shù)學(xué)的排斥和逆反心理的狀況。例如，在“拋物線及其標準方程”的教學(xué)中，教師可以“數(shù)學(xué)好玩”式微視頻的教學(xué)方式代替?zhèn)鹘y(tǒng)僵硬的教學(xué)模式，讓學(xué)生通過微視頻認識拋物線、了解拋物線，并能發(fā)現(xiàn)和找出生活中哪些熟悉的運動軌跡屬于拋物線，在微視頻的引導(dǎo)下，教師要趁熱打鐵進一步闡述并教授拋物線的定義、性質(zhì)并及時鞏固訓(xùn)練，并與前幾課時學(xué)的橢圓進行對比，讓學(xué)生對拋物線知識掌握的更透徹，提高對拋物線的解題運用能力。綜上所述，微視頻“新血液”的注入，不僅能為教師課堂教學(xué)順利開展作好鋪墊，而且能為學(xué)生課中、課后的學(xué)習(xí)和鞏固奠定良好的基礎(chǔ)。

在這種潛移默化的教學(xué)影響下，讓學(xué)生意識到數(shù)形結(jié)合思想在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中的重要性，進而帶動學(xué)生將數(shù)形結(jié)合思想融入自身學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)各類知識中，逐步提升自身解決數(shù)學(xué)問題的思維方式。

5 結(jié)束語

總之，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生利用“數(shù)形結(jié)合”的思想解決問題是很有必要的，不僅可以使教學(xué)效果顯著提升，還可以開拓學(xué)生解決相關(guān)數(shù)學(xué)問題的思維。因此，在實際教學(xué)中，教師要貫徹并落實教學(xué)要求，創(chuàng)新自身的教學(xué)模式和教學(xué)理念，給予數(shù)形結(jié)合思想足夠的重視，結(jié)合學(xué)生的實際情況，加強對學(xué)生利用這種思想解決數(shù)學(xué)問題的訓(xùn)練與引導(dǎo)，進而讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中提高效率與水平。

參考文獻

[1]孫東耀.淺談數(shù)形結(jié)合方法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2011，（24）：15-16+62.

[2]崔炳霞.“數(shù)形結(jié)合”在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].高中數(shù)理化，2012，（16）：13-14.

[3]化剛.解析數(shù)形結(jié)合在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)之友，2015，（05）：57-58.

[4]李春長.談數(shù)形結(jié)合在高中教學(xué)中的應(yīng)用[J].課程教育研究，2015，（02）：156.

[5]張宇.基于核心素養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)研究[J].中國校外教育，2018，（11）：69+72.

[6]任劉勇.思維外顯，促進學(xué)生數(shù)學(xué)認知發(fā)展[J].數(shù)學(xué)大世界（下旬），2020，（03）：98.