借助幾何直觀 剖析算理本質(zhì)

鐘圓照

在一次以計(jì)算為主題的教研活動(dòng)中，教師剛上完“兩位數(shù)乘兩位數(shù)——筆算乘法”，為檢測(cè)效果，當(dāng)場(chǎng)發(fā)下A、B兩份測(cè)試卷各52份，共收回104份。（A、B測(cè)試卷見(jiàn)圖1和圖2）A問(wèn)卷學(xué)生答題正確率約96%;而問(wèn)卷B正確率卻只有47%。

從問(wèn)卷的結(jié)果可了解學(xué)生的學(xué)情盲區(qū)。其一，不知“算理”為何物。在計(jì)算過(guò)程中，學(xué)生只知道怎樣將算式算對(duì)，而對(duì)于算理的理解卻少人能清楚知道。調(diào)查問(wèn)卷B中的第①題為例，學(xué)生知道如何列出豎式計(jì)算（過(guò)程），卻不知道每一個(gè)步驟背后的含義。41的1是進(jìn)位的1，這個(gè)1應(yīng)該表示10，而不是簡(jiǎn)單的“1”，學(xué)生只看表面，卻不知內(nèi)含的算理為何物。其二，不懂“算理”有何用。（見(jiàn)圖3）多數(shù)學(xué)生（甚至部分教師）都認(rèn)為計(jì)算只要會(huì)算就行了，算理根本用不上，故此不用理會(huì)。殊不知這種沒(méi)有算理只有算法的計(jì)算往往只是停留于表面，只知其一，不知其二，使得計(jì)算的學(xué)習(xí)變得膚淺。當(dāng)遇到真正要用到算理去解決問(wèn)題時(shí)，比如，B問(wèn)卷中的第③題，很多學(xué)生便難以將題目情景與式子每一步有效結(jié)合。

到底師生的“病根”何在？筆者認(rèn)為，從數(shù)據(jù)中至少暴露出以下三大“病因”：第一，教學(xué)理念沒(méi)及時(shí)更新。因只關(guān)注算法和題量的訓(xùn)練，卻忽視算理的理解與理法的結(jié)合。而中段小學(xué)生由于理解和認(rèn)知能力有限，最終導(dǎo)致“知其然而不知其所以然”的現(xiàn)象屢見(jiàn)不鮮。第二，急功近利，忽略算理。學(xué)生到了中段，隨著計(jì)算步驟增加，往往只重視算法的掌握，然后機(jī)械重復(fù)地訓(xùn)練，忽視了每步計(jì)算步驟背后的含義和對(duì)算理的深入理解，從而造成對(duì)知識(shí)一知半解。第三，形式單一，思維狹窄。平時(shí)計(jì)算練習(xí)往往是以“口算+筆算”的形式來(lái)檢測(cè)學(xué)生計(jì)算能力，導(dǎo)致計(jì)算教學(xué)只注重計(jì)算技能形成，而不關(guān)注計(jì)算素養(yǎng)的提高，久而久之造成學(xué)生思維狹窄，學(xué)生運(yùn)算思維降低。

筆者針對(duì)上述問(wèn)題，借助“幾何直觀”為藥引，以“理根絡(luò)”“定起點(diǎn)”“凸本質(zhì)”為三貼“處方診治”，效果明顯，僅供一線教師商榷。

一、對(duì)比教材，理清“根絡(luò)”

（一）對(duì)比教學(xué)內(nèi)容，尋找兩位數(shù)乘兩位數(shù)的“絡(luò)”

在實(shí)驗(yàn)版教材一般按“口算——估算——筆算”的順序編排，把解決問(wèn)題與計(jì)算整合在一起，目的是培養(yǎng)學(xué)生能運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決生活中的問(wèn)題，但在實(shí)施過(guò)程中教師卻很難把握結(jié)合的“度”，容易忽略算理的教學(xué)，反而造成學(xué)生運(yùn)算能力降低。而新教材則調(diào)整為“口算——筆算——解決問(wèn)題”，把估算穿插在解決問(wèn)題中。計(jì)算和解決問(wèn)題分開(kāi)，教師在教學(xué)中容易找到側(cè)重點(diǎn)。同時(shí)，將實(shí)驗(yàn)版“口算乘法”換成“兩位數(shù)、幾百幾十乘一位數(shù)”和“兩位數(shù)乘整十?dāng)?shù)”，這樣編排更利于學(xué)生在探究筆算乘法時(shí)想到“拆分法”。

（二）對(duì)比呈現(xiàn)方式，突顯兩位數(shù)乘兩位數(shù)的“根”

“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”這一單元，無(wú)論是實(shí)驗(yàn)教材還是新教材都非常注重讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的形成過(guò)程，掌握計(jì)算的方法。但同時(shí)新教材在教學(xué)目標(biāo)上增加了“借助幾何直觀理解算理”。而在教學(xué)內(nèi)容的呈現(xiàn)方式上，更注重利用圖形表征、實(shí)物表征來(lái)幫助學(xué)生理解算理。顯然，編者用意是想突出幾何直觀的作用。在“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”這節(jié)課中借助點(diǎn)子圖與算式一一對(duì)應(yīng)，放手讓學(xué)生去探究算法，引導(dǎo)學(xué)生親歷乘法豎式的建模過(guò)程，這樣給抽象的算理賦予了形象，有利于學(xué)生理解算理，也使學(xué)生逐步學(xué)會(huì)借助幾何直觀解決問(wèn)題、表達(dá)交流，提升數(shù)學(xué)思維水平。而實(shí)驗(yàn)版教材雖有“拆分法”的呈現(xiàn)，卻少了“點(diǎn)子圖”的輔助，造成算理教學(xué)的缺失。

二、透析學(xué)情，定準(zhǔn)“起點(diǎn)”

“新課標(biāo)”明確指出，“數(shù)學(xué)活動(dòng)必須建立在學(xué)生認(rèn)知發(fā)展水平和已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上。”為了進(jìn)一步分析幾何直觀在“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”中發(fā)揮的作用，充分了解學(xué)生學(xué)情和教材實(shí)際，筆者對(duì)三年級(jí)某班（50名學(xué)生）進(jìn)行前測(cè)。題目如下：14×12，請(qǐng)用你喜歡的方法進(jìn)行計(jì)算。調(diào)查結(jié)果如（表1）。通過(guò)前測(cè)結(jié)果的統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)學(xué)生的主要問(wèn)題：有12名學(xué)生用豎式計(jì)算，其中有5位學(xué)生出現(xiàn)以下錯(cuò)誤（圖4）。

從能正確列出豎式的學(xué)生訪問(wèn)中得知，他們是通過(guò)預(yù)習(xí)或父母教而能正確列出的。學(xué)生對(duì)筆算方法只知道如何書(shū)寫，但問(wèn)及每一步是怎么算出來(lái)，學(xué)生們不會(huì)表達(dá)。特別是對(duì)如何書(shū)寫第二步乘積的結(jié)果感到困惑，他們的方法只是停留在機(jī)械記憶層面上。另外，36名學(xué)生用了拆分法，其中“把一個(gè)乘數(shù)拆分成整十?dāng)?shù)與一位數(shù)”的人數(shù)居多。這顯然是受到上節(jié)課“口算乘法”知識(shí)遷移的影響，而恰恰這種方法與豎式計(jì)算有著密切聯(lián)系。學(xué)生掌握了這種拆分法能很好貫穿前后知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，幫助學(xué)生更好地理解筆算乘法的算理。另外也有個(gè)別學(xué)生出現(xiàn)以下錯(cuò)誤（圖5）。

通過(guò)以上的調(diào)查與分析，發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)兩位數(shù)乘兩位數(shù)的知識(shí)并非一片空白，大部分學(xué)生能利用已有的知識(shí)及經(jīng)驗(yàn)解決，只是在拆分的過(guò)程與豎式計(jì)算聯(lián)系較困難。因此，本課的關(guān)鍵應(yīng)在于教師根據(jù)學(xué)生的已有知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)，借助有效的直觀手段，幫助學(xué)生經(jīng)歷算法的抽象建構(gòu)過(guò)程，充分理解算理，進(jìn)而有效掌握算法，為運(yùn)算能力的提高奠定扎實(shí)的基礎(chǔ)。而幾何直觀就是學(xué)生從具體向抽象過(guò)渡的重要“腳手架”。故此，要給學(xué)生搭建充分的動(dòng)手操作、合作交流的平臺(tái)，提高學(xué)生的運(yùn)算能力和思維深度。

三、踐行研究，凸顯“本質(zhì)”

筆者將教學(xué)擬定為體現(xiàn)學(xué)生思維所要經(jīng)歷形成的四步曲：“以形想式”——“以形明理”——“以形懂法”——“用形轉(zhuǎn)化”。巧用幾何直觀，讓學(xué)生經(jīng)歷計(jì)算過(guò)程，揭示算理的本質(zhì)，感悟算法的實(shí)質(zhì)。

（一）以形想式，初感豎式模型

創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，激發(fā)學(xué)生強(qiáng)烈的探索欲望，為進(jìn)一步理解算理。

層次一：

（出示問(wèn)題（圖6））

師：誰(shuí)能解決這個(gè)問(wèn)題？

追問(wèn)：這個(gè)算式表示什么意思？

生：表示12個(gè)14的和是多少。

師：結(jié)果是幾？（學(xué)生表示不知道）

師：看來(lái)口算有點(diǎn)難度，我們還可以用什么方法？（生一下就想到用豎式計(jì)算）