按圖索驥，追根溯源

桂小兵

摘要：高中階段平面解析幾何教學(xué)是教學(xué)的一個(gè)階段性難點(diǎn)，在高考中的考查要求也比較高。解析幾何的特點(diǎn)是數(shù)與形的完美結(jié)合，學(xué)生可以用代數(shù)方法解決幾何問題，亦可以將代數(shù)問題幾何化，其中解題思路的拓展是解題中的重要環(huán)節(jié)。我們可以通過分析幾何元素之間的關(guān)系來拓展思路，通過點(diǎn)的產(chǎn)生、點(diǎn)的變化、線的移動等來分析變化過程，幫助學(xué)生拓展解題思路。

關(guān)鍵詞：平面解析幾何? 解題思路拓展? 幾何元素? 解題素養(yǎng)

偉大的數(shù)學(xué)教育家波利亞在《怎樣解題》一書中指出，在解題活動中，首先分析清楚已知元素和未知元素，并找到已知元素與未知元素之間的關(guān)聯(lián)。當(dāng)然，有時(shí)候二者的關(guān)聯(lián)性并不明顯，得不到二者的直接關(guān)聯(lián)。這時(shí)，我們需要引入一些輔助元素，或預(yù)設(shè)一些輔助問題，來溝通這些量之間的聯(lián)系，從而得到一個(gè)求解問題的可行計(jì)劃。這里的數(shù)泛指已知元素，如幾何中的點(diǎn)、線等。解析幾何解題時(shí)，求解計(jì)劃的擬定是非常重要的，它是思路拓展的最終結(jié)果，這也就意味著，已知元素與未知元素的聯(lián)系分析至關(guān)重要。

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》亦指出，在平面解析幾何教學(xué)中，通過指引學(xué)生認(rèn)真作圖，分析幾何圖形特點(diǎn)，分析點(diǎn)的產(chǎn)生、點(diǎn)的變化、線的移動的運(yùn)動過程，形成解決解析幾何問題的思路。當(dāng)然，在思路形成的過程中，會產(chǎn)生多種想法，要通過運(yùn)算來看看哪一種想法更便捷。同時(shí)，教師在教學(xué)現(xiàn)場，可以利用信息技術(shù)工具，向?qū)W生展示圖形中點(diǎn)、線運(yùn)動關(guān)聯(lián)性，充分體會變化過程中的相互依賴、相互影響，體會參數(shù)的變化對整個(gè)曲線問題的影響，使學(xué)生理解它們之間的聯(lián)系，并利用這些聯(lián)系形成解題思路，拓展解題思路。

下面結(jié)合三個(gè)典型例題談?wù)劯咧衅矫娼馕鰩缀谓忸}思路的拓展教學(xué)。

一、一線而連，按圖索驥

典型例題1：已知拋物線C：x2=-4y，過焦點(diǎn)F作一條斜率不為0的直線l與拋物線C交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，記為M、N。連接OM、ON，直線y=-1分別與直線OM、ON交于A點(diǎn)和B點(diǎn)。

求證：以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的兩個(gè)定點(diǎn)。

解題思路拓展分析：

（1）教師利用幾何畫板軟件，在課堂上分析關(guān)系并作出圖形，從而演示點(diǎn)的產(chǎn)生及相互動態(tài)聯(lián)系。在作圖時(shí)，要利用幾何畫板重點(diǎn)演示：直線斜率變化時(shí)，首先引起M、N點(diǎn)發(fā)生變化，從而引起直線OM、ON隨之發(fā)生移動變化，最終引起A、B兩點(diǎn)發(fā)生移動變化，此時(shí)以AB為直徑的圓自然亦在移動。演示過程要簡潔明了，相互影響與變化過程要清晰直觀。動點(diǎn)M、N的運(yùn)動變化受直線的位置影響，這個(gè)影響可以用直線MN的斜率k來刻畫，改變k的取值，直線MN的位置就會發(fā)生變化，M、N兩點(diǎn)就會相應(yīng)的發(fā)生移動。

（2）A、B點(diǎn)是由直線OM、ON與y=-1相交得到的，故M、N點(diǎn)移動時(shí)，A、B點(diǎn)也會隨之變化。反過來說，當(dāng)k確定時(shí)，直線MN確定，M、N兩點(diǎn)也確定了，直線OM、ON與y=-1相交的點(diǎn)A、B也就隨之確定了。因而運(yùn)動的根源在于直線MN的相對位置變化，直線MN的位置變化成為線索，且可以用斜率k來刻畫。從坐標(biāo)運(yùn)算的相互關(guān)系來說，點(diǎn)M、N、A、B都與參數(shù)k有關(guān)，則它們都可以用k來刻畫，即可以表達(dá)為關(guān)于k的表達(dá)式。

（3）引導(dǎo)學(xué)生利用k表達(dá)圖形中的基本元素點(diǎn)、線。設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），聯(lián)立方程

lMN：y=kx-1x2=-4y，得x2+4kx-4=0。

所以x1+x2=-4k，x1x2=-4。（M、N點(diǎn)坐標(biāo)與k的關(guān)系）

直線OM：y=-14x1x與y=-1聯(lián)立得A4x1，-1，同理可得B4x2，-1。

由于動點(diǎn)A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)的移動受點(diǎn)M、N運(yùn)動影響，傳遞下去，自然與k相關(guān)。

下面用圓的直徑式方程表達(dá)以AB為直徑的圓的方程。

x-4x1x-4x2+（y+1）2=0，

化簡可得x2-4x1+4x2x+16x1x2+（y+1）2=0，

將x1+x2=-4k，x1x2=-4代入化簡，可得x2-4kx-4+（y+1）2=0，

再令x=0，解得y=1或-3，即圓過y軸上的兩個(gè)定點(diǎn)（0，1）和（0，-3）。

在整個(gè)求解過程中，k的變化是整個(gè)圖形運(yùn)動變化的起源，順著這條脈絡(luò)走下去，結(jié)合A、B點(diǎn)的產(chǎn)生過程，用k表達(dá)它們的代數(shù)關(guān)系，思路一線而連，連貫自然。

二、多點(diǎn)串聯(lián)，尋根探源

典型例題2：設(shè)橢圓C：x24+y23=1的右焦點(diǎn)為F。橢圓右頂點(diǎn)為A，在橢圓上任取一點(diǎn)B（B不為左、右頂點(diǎn)），連接AB，記為l，直線l1垂直于直線l，并交直線l于點(diǎn)M，交y軸于點(diǎn)H。若BF⊥HF，且MO≥MA，求直線l的斜率的取值范圍。

解題思路拓展分析：

（1）教學(xué)過程中，先讓學(xué)生作出圖形的形狀，發(fā)現(xiàn)有不少學(xué)生無法畫出后面的M、H兩點(diǎn)及相關(guān)直線，同時(shí)這也反映了學(xué)生沒有把握幾何圖形的特點(diǎn)，沒有追根溯源。

（2）利用幾何畫板給出一種參考作圖順序：作出AB，連接BF，過F作FH⊥FB交y軸于H點(diǎn)，再過H點(diǎn)作HM⊥AB交AB于M。從這個(gè)作圖順序中可以看出，當(dāng)B點(diǎn)確定好以后，BF就確定了，H點(diǎn)就確定了，繼續(xù)往下，HM也就確定，因?yàn)橐cAB直線垂直，所以M點(diǎn)確定了。

（3）利用幾何畫板移動直線位置，B點(diǎn)變化，點(diǎn)H、M也就隨之變化，這便是運(yùn)動的追根溯源，解題過程從圖形的運(yùn)動聯(lián)系角度來表達(dá)就可以了。教師在演示作圖時(shí)，要強(qiáng)調(diào)通過作圖順序發(fā)現(xiàn)運(yùn)動規(guī)律，并用動點(diǎn)動態(tài)變化展示相互之間的影響。

用直線l的斜率k來表示B點(diǎn)坐標(biāo)，聯(lián)立直線AB：y=k（x-2）與橢圓x24+y23=1，消去y，得到方程（3+4k2）x2-16k2x+16k2-12=0。

所以A點(diǎn)橫坐標(biāo)與B點(diǎn)橫坐標(biāo)為上述方程的兩個(gè)根。

2·xB=16k2-123+4k2，

所以xB=8k2-63+4k2，則yB=-12k3+4k2，此時(shí)B點(diǎn)坐標(biāo)用參數(shù)k表達(dá)。

接著表達(dá)直線HF：kBF=-12k4k2-9，則kHF=4k2-912k，

lHF：y=4k2-912k（x-1），所以yH=9-4k212k，

再用k表達(dá)直線HM：y-9-4k212k=-1kx，直線l與l1，所以xM=9+20k212k2+12，

要使得MO≥MA，則xM=9+20k212k2+12≥1，解得k≥64或k≤-64。

在對B、H、M三個(gè)點(diǎn)的分析串聯(lián)過程中，k是整個(gè)過程中的線索，直線的斜率變化是圖形變化的起因。在實(shí)際教學(xué)時(shí)采用幾何畫板動態(tài)演示變化過程，能夠進(jìn)一步加深學(xué)生的解題印象。

三、一脈相連，兵分兩路

典型例題3：設(shè)橢圓C：x24+y23=1，P1，32點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，M、N為橢圓上異于P點(diǎn)的兩個(gè)動點(diǎn)，且kPM+kPN=0，連接MN，記MN斜率為k.求證：k=12。

解題思路拓展分析：

（1）教學(xué)過程中，首先設(shè)計(jì)一個(gè)繪圖展示活動，學(xué)生認(rèn)真審題，利用題干信息，繪制出本題的圖像，并清晰地介紹自己的作圖思路。在活動過程中，學(xué)生之間可以相互交流、分享，培養(yǎng)其作圖能力和準(zhǔn)確表達(dá)信息的能力。

（2）師生親密合作，教師利用剛剛的作圖展示活動結(jié)果，并借助幾何畫板，繪制本題的動態(tài)展示課件。作圖時(shí)，要體現(xiàn)出直線PM與直線PN的對稱性，即二者斜率互為相反數(shù)。作圖時(shí)，先作出動點(diǎn)M，利用對稱性映射到直線PN，并找到動點(diǎn)N，即最終呈現(xiàn)出的效果是，當(dāng)M點(diǎn)發(fā)生移動時(shí)，N點(diǎn)隨之發(fā)生移動，二者密切聯(lián)系，且一一對應(yīng)。此時(shí)，教師可以指出引起M點(diǎn)移動的關(guān)鍵，是直線PM的位置，可以用直線PM的斜率k來刻畫。當(dāng)k確定時(shí)，M點(diǎn)確定，結(jié)合點(diǎn)M、N一一對應(yīng)性，N點(diǎn)亦確定，最終MN的斜率也就與k相關(guān)。這里的輔助元素k便體現(xiàn)了一脈相承。

（3）教師設(shè)計(jì)活動，兵分兩路。引入輔助元素直線PM的斜率k。

一方面，從M點(diǎn)的產(chǎn)生角度，用k來表達(dá)M點(diǎn)坐標(biāo)。直線PM：y-32=k（x-1）與橢圓x24+y23=1聯(lián)立，得到關(guān)于P點(diǎn)、M點(diǎn)坐標(biāo)的一元二次方程：

（3+4k2）x2+8k32-kx+4k2-12k-3=0，

所以xP·xM=4k2-12k-33+4k2，即xM=4k2-12k-33+4k2，yM=k（xM-1）+32。

另一方面，從運(yùn)算的類比性角度，用k來表達(dá)N點(diǎn)坐標(biāo)。教師在指出運(yùn)算的類比性之前，讓學(xué)生先借助M點(diǎn)的求解過程，表達(dá)出N點(diǎn)坐標(biāo)。學(xué)生會經(jīng)歷相同的過程，直線PN：y-32=-k（x-1）與橢圓x24+y23=1聯(lián)立，得到關(guān)于P點(diǎn)、N點(diǎn)坐標(biāo)的一元二次方程：

（3+4k2）x2-8k32+kx+4k2+12k-3=0，

所以xP·xN=4k2+12k-33+4k2，即xN=4k2+12k-33+4k2，yN=-k（xN-1）+32。

教師利用此時(shí)的最佳的時(shí)機(jī)，介紹運(yùn)算的類比性，學(xué)生恍然大悟，定然會印象深刻。

（4）合二為一，直指目標(biāo)。整理兵分兩路的結(jié)果，用k表達(dá)MN的斜率：

kMN=yM-yNxM-xN=k（xM+xN-2）xM-xN=k8k2-63+4k2-2-24k3+4k2=12。

教師利用輔助元素k，充分發(fā)揮題目的示范作用，在解題活動中，有助于學(xué)生形成多維角度的思維溝通和交流。此外，它揭示了解析幾何解題的元素關(guān)聯(lián)性，通過解題實(shí)際體驗(yàn)，理解代數(shù)運(yùn)算的類比性。

數(shù)學(xué)解題探索是一件有趣又奇妙的事情。解析幾何既有代數(shù)運(yùn)算特征，又有幾何圖形特征，對數(shù)學(xué)能力要求較高。在分析動態(tài)變化問題時(shí)，要學(xué)會追根溯源，從開始到結(jié)束，對全局變化有一個(gè)清楚的認(rèn)識，逐步形成良好的解題素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018.

[2]G·波利亞.怎樣解題：數(shù)學(xué)思維的新方法[M].涂泓，馮承天，譯.上海：上海科技教育出版社，2017.