基于小波分解和IIR濾波器的最優(yōu)均衡器設(shè)計(jì)

梁 彥，凌永權(quán)

（廣東工業(yè)大學(xué) 信息工程學(xué)院，廣東 廣州 510000）

1 研究背景

均衡器是一種以補(bǔ)償方式修補(bǔ)傳輸系統(tǒng)固有缺陷，減少傳輸系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)造成的失真的電子設(shè)備，通常通過(guò)一組濾波器以串聯(lián)或者并聯(lián)的方式實(shí)現(xiàn)［1］。均衡器可以顯著提高音頻的質(zhì)量，因此被廣泛應(yīng)用于音樂(lè)會(huì)和廣播等音頻傳輸系統(tǒng)。

均衡器一般關(guān)注中心頻率、帶寬及增益3個(gè)重要特征。根據(jù)這3個(gè)特征是否可調(diào)，可將均衡器分為圖示均衡器和參數(shù)均衡器兩個(gè)類(lèi)別［2］。通過(guò)預(yù)設(shè)圖示均衡器濾波器組中每個(gè)濾波器的中心頻率和帶寬，使用者只需調(diào)整濾波器增益即可實(shí)現(xiàn)信號(hào)的均衡化，使用方便簡(jiǎn)單［3］；參數(shù)均衡器的每個(gè)濾波器的中心頻率、帶寬及增益都是可控的，使用靈活度更高，也能實(shí)現(xiàn)更高精度的均衡化，但使用者需要具備一定的專(zhuān)業(yè)知識(shí)［4-6］。由于使用簡(jiǎn)單、方便明了，圖示均衡器被廣泛應(yīng)用于人們的日常生活［7］。

一般情況下，為了彌補(bǔ)精度上的不足，圖示均衡器會(huì)將音頻通頻帶切分為多個(gè)不同的頻段，其中一個(gè)濾波器負(fù)責(zé)處理一個(gè)頻段的均衡化［8］。例如，房間均衡器將音頻通頻帶切分為32個(gè)頻段［9］，意味著均衡器的每個(gè)濾波器的帶寬都很窄，導(dǎo)致鄰近頻段濾波器之間相互干擾嚴(yán)重［3,10］。降低相互干擾的最直接方法是使用高階FIR濾波器，但是這種情況下濾波器的階數(shù)往往高達(dá)數(shù)千［1,5］。系統(tǒng)的時(shí)延與階數(shù)成正比，因而使用高階FIR濾波器會(huì)給系統(tǒng)帶來(lái)時(shí)延高和設(shè)計(jì)過(guò)程計(jì)算量大的問(wèn)題。

針對(duì)這些問(wèn)題，考慮采用IIR濾波器來(lái)構(gòu)建圖示均衡器。IIR濾波器響應(yīng)長(zhǎng)度無(wú)限長(zhǎng)，同時(shí)具有非線(xiàn)性相位的特點(diǎn)，因而無(wú)法保證穩(wěn)定性［11］。但是，同規(guī)格的IIR濾波器的實(shí)現(xiàn)成本要遠(yuǎn)低于FIR濾波器，同時(shí)可以節(jié)省更多的空間資源。因此，基于IIR濾波器的圖示均衡器可以應(yīng)用在線(xiàn)性相位要求較低的場(chǎng)景，只要設(shè)計(jì)得當(dāng)，也能同時(shí)保證IIR濾波器的系統(tǒng)穩(wěn)定性［12-13］。

雙線(xiàn)性變換是設(shè)計(jì)圖示均衡器IIR濾波器的最常用方法。然而，雙線(xiàn)性變換會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)高頻處的頻率響應(yīng)失真［1,4-5］。為了解決這個(gè)問(wèn)題，通常需修正濾波器高頻處的頻率響應(yīng)［14］，但依然無(wú)法保證IIR濾波器的穩(wěn)定性。

為了解決上述問(wèn)題，本文從優(yōu)化角度出發(fā)，提出一種基于小波分解的圖示均衡器設(shè)計(jì)方法。具體地，使用小波分解將信號(hào)分解成不同頻段的頻率成分。在各個(gè)需要處理的頻段，理想均衡化和實(shí)際均衡化之間的絕對(duì)誤差作為優(yōu)化問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)被最小化，同時(shí)對(duì)優(yōu)化問(wèn)題添加每個(gè)頻率點(diǎn)的誤差約束條件和IIR濾波器穩(wěn)定性約束條件。當(dāng)找到一個(gè)優(yōu)化問(wèn)題的最優(yōu)解時(shí)，一個(gè)能對(duì)該頻段提供有效穩(wěn)定均衡化的IIR濾波器的系數(shù)也將隨之確定。設(shè)計(jì)所有頻段對(duì)應(yīng)的IIR濾波器后，以并聯(lián)方式連接濾波器，使用各濾波器的輸出重構(gòu)均衡化后的信號(hào)。

2 基于IIR濾波器組的均衡器設(shè)計(jì)

本文提出的圖示均衡器設(shè)計(jì)方法采用分頻段處理方法，通過(guò)小波分解將傳輸系統(tǒng)的輸入輸出信號(hào)分解為對(duì)應(yīng)頻段的分量，使用輸入輸出信號(hào)相同頻段的頻率分量設(shè)計(jì)出負(fù)責(zé)該頻段均衡化的IIR濾波器。當(dāng)?shù)玫剿蓄l段對(duì)應(yīng)的IIR濾波器后，即可組建完整的圖示均衡器。本節(jié)主要講述基于小波分解的頻段劃分和針對(duì)單個(gè)頻段設(shè)計(jì)IIR濾波器的方法。

2.1 基于小波分解的頻帶劃分

小波分解是一種多尺度的信號(hào)處理方法，對(duì)選定的小波基進(jìn)行壓縮平移，配以適當(dāng)?shù)南禂?shù)復(fù)現(xiàn)原信號(hào)，能同時(shí)得到信號(hào)局部的時(shí)域和頻域信息。若需要更小局部的時(shí)頻信息，只需對(duì)信號(hào)做更大尺度的小波分解即可。

國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)化組織（International Organization for Standardization，ISO）標(biāo)準(zhǔn)根據(jù)人耳聽(tīng)力敏感程度劃分的10段倍頻頻帶分布與采樣率為44.1 kHz（一般音頻信號(hào)采樣率）的信號(hào)10層小波分解的各頻帶對(duì)比，如表1所示。

表1 10段倍頻頻帶與10層小波分解的頻段對(duì)比

由表1可見(jiàn)，10段倍頻的各頻段與10層小波分解的各頻段相差無(wú)幾。因此，可對(duì)原系統(tǒng)的輸入輸出信號(hào)采用10層小波分解，得到輸入輸出信號(hào)對(duì)應(yīng)頻段的頻率分量。

2.2 單個(gè)頻段的IIR濾波器設(shè)計(jì)

針對(duì)輸入輸出信號(hào)相同頻段的頻率分量，從最優(yōu)化的角度設(shè)計(jì)負(fù)責(zé)對(duì)應(yīng)頻段均衡化的IIR濾波器。首先，對(duì)需要均衡化的信號(hào)進(jìn)行10層小波分解，得到對(duì)應(yīng)頻段的頻率分量；其次，通過(guò)對(duì)應(yīng)頻段的IIR濾波器，得到均衡化后的各頻率分量；最后，將所有IIR濾波器的輸出重構(gòu)得到均衡化后的信號(hào)。處理流程如圖1所示。

假設(shè)x(n)和y(n)（n=0,1,…,L-1）分別是原系統(tǒng)輸入輸出信號(hào)經(jīng)10層小波分解得到的相同頻段的頻率分量，由二者的離散時(shí)間傅里葉變換得到原系統(tǒng)在該頻段內(nèi)的頻率響應(yīng)為：

假設(shè)需要設(shè)計(jì)的IIR濾波器的頻率響應(yīng)模型為：

式中，N和M分別是IIR濾波器頻率響應(yīng)中分子和分母多項(xiàng)式的階數(shù)。一般情況下，N和M的取值越大，能得到的均衡化精度越高，但相應(yīng)的計(jì)算量也越大。bi(i=0,1,…,N)和ak(k=0,1,…,M)分別是IIR濾波器頻率響應(yīng)分子和分母的系數(shù)。

圖1 均衡器處理流程圖

考慮到IIR濾波器的非線(xiàn)性相位特點(diǎn)，為了簡(jiǎn)化問(wèn)題，后文只考慮幅頻響應(yīng)。將IIR濾波器連接在原音頻傳輸系統(tǒng)后，理想情況下能得到如下的均衡化效果：

式中，C是圖示均衡器可控的增益，BP為需要此IIR濾波器均衡化的頻段。由于分頻段的工作已通過(guò)小波分解完成，此處需要均衡化的頻段為信號(hào)分量的全頻帶，即BP為［0,2π］。

對(duì)式（3）作變換，可得到：

由式（4）出發(fā)，定義頻段內(nèi)單個(gè)頻率點(diǎn)處的誤差方程為：

為了簡(jiǎn)化誤差方程（5），定義以下向量：

則誤差方程（5）可被簡(jiǎn)化為：

由于需要被最小化的是頻段BP中理想均衡化和實(shí)際均衡化間的絕對(duì)誤差，即頻段BP中每個(gè)頻率點(diǎn)絕對(duì)誤差的疊加，因此需要對(duì)式（24）的絕對(duì)值在頻段BP內(nèi)積分，以此作為優(yōu)化問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)：

為了防止IIR濾波器在均衡化過(guò)程中出現(xiàn)某個(gè)頻率點(diǎn)處存在較大誤差的問(wèn)題，為每個(gè)頻率點(diǎn)處的誤差添加約束條件：

值得注意的是，當(dāng)且僅當(dāng)IIR濾波器傳遞函數(shù)所有分母的根都在單位圓內(nèi)時(shí)，IIR濾波器是穩(wěn)定的。文獻(xiàn)［12，15］有此條件的等價(jià)條件。因此，為了保證IIR濾波器的穩(wěn)定性，對(duì)優(yōu)化問(wèn)題添加以下穩(wěn)定性約束條件：

至此，得到完整的優(yōu)化問(wèn)題：

通過(guò)調(diào)用遺傳算法，使用合適的算法參數(shù)能解此優(yōu)化問(wèn)題，得到優(yōu)化問(wèn)題的最優(yōu)解，即為所設(shè)計(jì)IIR濾波器所有系數(shù)的集合。將最優(yōu)解中的元素代回式（2）對(duì)應(yīng)的位置，即可得到負(fù)責(zé)此頻段均衡化的IIR濾波器的頻率響應(yīng)。

3 實(shí)驗(yàn)仿真與分析

3.1 實(shí)驗(yàn)仿真

實(shí)驗(yàn)采用從普通音頻文件截取出的片段作為信號(hào)，長(zhǎng)度為40 000（即L=40 000），采樣率為44.1 kHz（即fs=44 100 Hz），信號(hào)中含有［0，22 050］Hz的有效信息，涵蓋人耳聽(tīng)力范圍。原音頻傳輸系統(tǒng)的輸入信號(hào)和輸出信號(hào)在時(shí)域和頻域中的對(duì)比，分別如圖2和圖3所示。

實(shí)驗(yàn)中，IIR濾波器的階數(shù)為50。通過(guò)小波分解將音頻分解成10個(gè)頻率分量，各分量的頻率范圍如表1所示。對(duì)輸入輸出信號(hào)對(duì)應(yīng)頻段的分量使用上述單個(gè)頻段IIR濾波器的設(shè)計(jì)方法，設(shè)計(jì)出負(fù)責(zé)各個(gè)頻段均衡化的IIR濾波器。為了使對(duì)比效果明顯，將均衡器各個(gè)頻段的增益值設(shè)為1（即C=1），盡可能將均衡器的輸出恢復(fù)到信號(hào)經(jīng)過(guò)音頻傳輸系統(tǒng)前。

圖2 信號(hào)經(jīng)過(guò)音頻傳輸系統(tǒng)前后在時(shí)域中的對(duì)比

圖3 信號(hào)經(jīng)過(guò)音頻傳輸系統(tǒng)前后的幅頻響應(yīng)對(duì)比

在得到對(duì)應(yīng)各個(gè)頻段的IIR濾波器后，以并聯(lián)的方式連接各IIR濾波器。需要均衡化的信號(hào)先經(jīng)過(guò)10重小波分解得到對(duì)應(yīng)各IIR濾波器處理頻段的各頻率分量，再由各IIR濾波器實(shí)現(xiàn)均衡化，最后由各IIR濾波器的輸出重構(gòu)得到經(jīng)過(guò)均衡化的信號(hào)。經(jīng)過(guò)均衡器處理后的信號(hào)與處理前的信號(hào)在時(shí)域和頻域上的對(duì)比，分別如圖4和圖5所示。

圖4 信號(hào)經(jīng)過(guò)均衡器處理前后在時(shí)域中的對(duì)比

圖5 信號(hào)經(jīng)過(guò)均衡器處理前后在頻域中的對(duì)比

3.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)論

從圖4可以看出，經(jīng)過(guò)均衡器處理后，均衡器的輸出信號(hào)與原信號(hào)在時(shí)域上相差無(wú)幾。從圖5的頻域圖可以看到各個(gè)頻率成分在均衡器處理前后的對(duì)比，其中原傳輸系統(tǒng)的輸出信號(hào)在規(guī)范化頻率［0,0.4π］區(qū)間內(nèi)衰減嚴(yán)重，個(gè)別頻率成分的幅值甚至只有-30 dB。經(jīng)過(guò)均衡器處理后，衰減嚴(yán)重的頻率分量的幅值也有大約20 dB，和原來(lái)的信號(hào)相比只有微弱的衰減。此外，均衡器處理帶來(lái)的高頻噪聲也只有約-20 dB的幅值，對(duì)聲音質(zhì)量的影響很小。

4 結(jié) 語(yǔ)

本文針對(duì)一般圖示均衡器時(shí)延高、計(jì)算量大以及相鄰頻帶間相互干擾的問(wèn)題，從優(yōu)化問(wèn)題的角度，提出了一種基于小波分解和IIR濾波器的圖示均衡器設(shè)計(jì)方法。相對(duì)于一般的圖示均衡器，本文濾波器的階數(shù)低了兩個(gè)數(shù)量級(jí)，仍然能提供有效的均衡化，同時(shí)極大地降低了系統(tǒng)的時(shí)延和設(shè)計(jì)的計(jì)算量，解決了相鄰頻段相互干擾的問(wèn)題。若要實(shí)現(xiàn)更高精度的均衡化，可適當(dāng)加大IIR濾波器的階數(shù)，但系統(tǒng)的延時(shí)和設(shè)計(jì)的計(jì)算量也會(huì)相應(yīng)增加。