Neumann 邊界條件的半空間調(diào)和方程基于廣義函數(shù)的求解1)

趙福垚

(長治醫(yī)學(xué)院生物醫(yī)學(xué)工程系，山西長治046000)

彈性力學(xué)是固體力學(xué)最基本的分支[1]，其中的應(yīng)力分析和應(yīng)變分析事實(shí)上可被視作一切固體力學(xué)分支的基本范式。此外它是一個非常優(yōu)美的學(xué)科：在理論上，數(shù)學(xué)彈性力學(xué)已經(jīng)建立了一個比較完整的公理體系；在工程上，土木、材料、機(jī)械、航空航天乃至生物醫(yī)學(xué)等工程領(lǐng)域都有著彈性力學(xué)的大量應(yīng)用[2-4]。因?yàn)閺椥粤W(xué)基本方程在偏微分方程的分類中屬于二階常系數(shù)橢圓型偏微分方程，與調(diào)和方程相似，所以兩者有很大的聯(lián)系。在數(shù)學(xué)彈性力學(xué)中，比較常見的一種求解手段就是將某些彈性力學(xué)問題轉(zhuǎn)化為調(diào)和方程的問題，半空間問題便是其中比較經(jīng)典的問題之一。傳統(tǒng)的彈性半空間(z0)的位移邊值問題的提法為(可參見圖1)

其中?為向量微分算子，ν為泊松比，u為位移矢量，是z= 0 處的位移邊界條件。求解時可假定式 (1) 的解 (可類比文獻(xiàn) [1] 第十一章§4) 為

圖1 彈性半空間邊值問題示意圖

其中k為z方向單位矢量，f為假設(shè)的調(diào)和矢量。即

其中?為調(diào)和算子。將式(2)代入式(1)，方程自動滿足，z=0 處的邊界條件變?yōu)?/p>

至此，問題(1)就變成了半空間調(diào)和方程(3)在Neumann 邊界條件(4) 下的求解，也就是本文要討論的問題。

1 問題的解

考慮到式 (3) 和式 (4) 中的待求量是矢量還是標(biāo)量并無原則性區(qū)別，故這里將待求量和邊界條件的寫法稍作改動，問題變?yōu)?/p>

此問題(5) 的解為 (參見文獻(xiàn) [5] 第一章§8)

定理：給定只在有限域上非零的非奇異函數(shù)(x,y)，則對于式(6) 成立以下兩個命題：

命題 1：當(dāng)r →+∞時，f →0；且對于z >0，?f=0 成立。

此定理一般的證明是利用勢論[6]，但相關(guān)內(nèi)容需要較多的預(yù)備知識，無論對科研、教學(xué)還是工程應(yīng)用都有較大難度，故本文提供一個基于廣義函數(shù)的簡潔證明。此外為了簡化證明過程，對非奇異函數(shù)(x,y) 做了一個一般而言并不過分的“只在有限域上非零” 的限制。但需請讀者注意此限制可能導(dǎo)致的與原問題不適定的情況，感興趣的讀者可參見文獻(xiàn)[6] 中在不依賴此限制下給出的證明。

2 對定理的證明

首先證明命題1。當(dāng)r →+∞時，f →0 顯然成立，下面證明對于z >0 成立?f= 0。已知有等式成立[7]

其中δ在本文中表示 Dirac 函數(shù)。對f作用調(diào)和算子?

其次證明命題 2。首先引入一個引理，取輔助函數(shù)

引理：g(x,y)=δ(x,y)。

下面證明函數(shù)g(x,y) 具有與函數(shù)δ(x,y) 相同的三條基本性質(zhì)。

性質(zhì) 1：x=y=0 顯然是g(x,y) 的奇點(diǎn)。

性質(zhì)2：在奇點(diǎn)以外的地方，有

性質(zhì) 3：計(jì)算g(x,y) 在邊界為x2+y2=M2的圓域內(nèi)的積分(M需要足夠大，以至于可以包住(x,y) 的非零域)。根據(jù)性質(zhì)2，此積分等價于全平面的積分

以上過程中 “求積分” 和 “令z= 0” 這兩步的換序可從廣義函數(shù)的角度來理解[7]。

由性質(zhì) 1 到性質(zhì) 3 可知函數(shù)g(x,y) 與函數(shù)δ(x,y) 的基本性質(zhì)完全一致，故g(x,y) =δ(x,y)，引理得證。將引理改寫為

下面證明命題 2。在?f/?z中令z=0，并利用式 (12) 可得

故命題 2 得證。至此原定理得證。以上定理主要針對彈性靜力學(xué)。對于彈性動力學(xué)相關(guān)問題[8-9]，由于慣性力的影響，相關(guān)結(jié)論不再成立。

3 相關(guān)應(yīng)用

半空間問題在工程領(lǐng)域中有著非常廣闊的應(yīng)用。本文前面探討的雖然是位移邊值問題，但對應(yīng)力邊值問題的處理方法是類似的(可參見文獻(xiàn)[1]第十一章§4 和文獻(xiàn)[5] 第一章§8)。如令半空間表面在原點(diǎn)處承受集中載荷，則式(2) 變?yōu)榻?jīng)典的Boussinesq 解。此解答可用于基礎(chǔ)工程中附加應(yīng)力作用下的地基變形量的計(jì)算[10]，具體的方法被稱為“分層總和法”。

此外，材料微觀測試的納米壓痕/劃痕技術(shù)的原理是接觸力學(xué)，但其具體形式亦與半空間問題相關(guān)。其物理圖景是將探針尖端假設(shè)為微小的球面，將被測試材料假設(shè)為半無窮大介質(zhì)空間，利用接觸擠壓的變形量反分析材料力學(xué)性質(zhì)。具體公式可參見文獻(xiàn) [5] 第一章§9。

4 對二維問題的退化

前文針對的是三維問題，但當(dāng)某一個維度對問題不產(chǎn)生影響時，三維問題實(shí)際上可以退化為二維問題。例如半平面表面受豎向集中載荷的Melan 問題實(shí)際上可以被視作半空間表面受豎向集中載荷的Boussinesq 問題在某一方向上的積分。對應(yīng)地，如果將式(9)對變量y從?∞到+∞進(jìn)行積分，可在形式上得到一維的 Dirac 函數(shù)，從而用于分析半平面問題。

5 關(guān)于空間連續(xù)性的說明

前一節(jié)的討論得以成立的基礎(chǔ)是二維空間和三維空間的變換過程中，空間本身具有某種連續(xù)/連通性。一旦這種空間上的連續(xù)性被破壞，則相應(yīng)結(jié)論并不能成立。這一論述表面上看起來似乎是顯然的，但在實(shí)際分析問題的時候 (尤其從二維問題推廣到三維問題時)，這一點(diǎn)很容易被忽略。例如，文獻(xiàn)[1] 第七章§1 給出了如下引理：若fx(x,y) 和fy(x,y) 為某平面連通區(qū)域G上給定的函數(shù)，則存在φ(x,y)和F(x,y)，使

表面看來，這一結(jié)論對三維問題的推廣似乎并不困難，但其中的注又指出：有反例表明，對三維問題此引理一般不成立。這是因?yàn)?，對于三維問題，原定理證明中的二維平面實(shí)際上變成了某個三維區(qū)域G的二維平截面Gz。倘若三維區(qū)域G是一個實(shí)心的汽車輪胎，那么Gz可能是兩個分離的圓，也可能是有一個交點(diǎn)的兩個圓，等等。還有可能是更復(fù)雜的情況。本反例源于參考文獻(xiàn)[1]第一作者的郵件。本節(jié)的說明在Radon 變換應(yīng)用于彈性力學(xué)[11]或計(jì)算機(jī)斷層掃描(CT) 等情況時需特別注意。

6 結(jié)論

基于廣義函數(shù)，本文針對經(jīng)典彈性力學(xué)的半空間邊值問題的求解給出了一個簡潔的證明以利相關(guān)問題的學(xué)習(xí)探討，并簡單介紹了此問題在工程中的應(yīng)用。為了簡化證明過程，本文使用了一個大多數(shù)情況下并不過分的限制，但并不影響結(jié)論的成立。更進(jìn)一步的分析可以參見文獻(xiàn) [6] 等數(shù)學(xué)物理方程領(lǐng)域的相關(guān)文獻(xiàn)。

致謝

作者誠摯地感謝太原科技大學(xué)李毅偉副教授對文稿有益的建議。