小問(wèn)題2021-2

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2021-2如圖1 所示，一船(可以看作一點(diǎn)) 在北半球以勻速度v并始終與經(jīng)線成θ角的方向向南偏東航行，已知地球半徑為R，船所在地的緯度為φ。試用剛體定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)知識(shí)求船相對(duì)于地球的加速度。

(選自上海交通大學(xué)吳鎮(zhèn)編《理論力學(xué)》上冊(cè) 11-24 題，江蘇大學(xué)張孝祖改編)

圖1

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*《小問(wèn)題》2021-1 解答*

問(wèn)題：如圖1 所示，已知平面上質(zhì)點(diǎn)A和B的運(yùn)動(dòng)rA(t),rB(t)。C點(diǎn)為A和B速度(速度大小不為零，方向不平行)方向延線的交點(diǎn)。

圖1

(1) 求點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)方程和速度。

(2) 已知點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)為rA(t)=ti+t2j/2，質(zhì)點(diǎn)B點(diǎn)質(zhì)量為m，作用在B上的作用力為f。若將隨點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)的自然坐標(biāo)系作為動(dòng)系，求點(diǎn)B的相對(duì)運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程。

(3) 已知點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)為rA(t) =ti+t2j/2，點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)為rB(t) = 2ti+t2j/2， 求點(diǎn)C的加速度。(問(wèn)題及以下答案供稿：寶音賀西，清華大學(xué)航天航空學(xué)院)

解答：

(1) 若設(shè)垂直于平面的單位矢量為n，并設(shè)存在比例系數(shù)k滿足r=rB+kvB。則計(jì)算

進(jìn)一步可以解得

即點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)方程為

點(diǎn)C的速度為

(2) 由rA可得點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)的速度和加速度為

因此點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)的自然坐標(biāo)系的角速度和角加速度為

設(shè)動(dòng)系中點(diǎn)B的位置矢量為r，由加速度合成定理得點(diǎn)B的相對(duì)運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程為

進(jìn)一步整理得

(3) 將點(diǎn)A和B的運(yùn)動(dòng)方程代入點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)方程，可得

即