場(chǎng)論視角下的剛體運(yùn)動(dòng)學(xué)

張新華

(西安交通大學(xué)航天學(xué)院，西安710049)

剛體運(yùn)動(dòng)學(xué)是理論力學(xué)的重要組成部分。無(wú)論是剛體運(yùn)動(dòng)的速度分析還是加速度分析，均屬于重點(diǎn)學(xué)習(xí)內(nèi)容。本文試圖從場(chǎng)論的觀(guān)點(diǎn)出發(fā)，審視三維空間剛體運(yùn)動(dòng)學(xué)中的速度場(chǎng)與加速度場(chǎng)，以期在理論體系上對(duì)二者的特性進(jìn)行更完整的表述。

1 剛體運(yùn)動(dòng)速度場(chǎng)與加速度場(chǎng)的分解

如圖 1 所示，剛體運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，按照基點(diǎn)法其上任一點(diǎn)P的速度可以表示[1-2]為

式中，vB為基點(diǎn)B的速度，ω= [ω1,ω2,ω3]T為剛體的角速度矢量。

P點(diǎn)的加速度可表示為

式中，aB為基點(diǎn)B的加速度，ε=[ε1,ε2,ε3]T為剛體的角加速度矢量。

剛體上所有點(diǎn)的速度與加速度分別構(gòu)成一個(gè)光滑連續(xù)的矢量場(chǎng)。根據(jù)矢量場(chǎng)的 Helmholtz 分解定理[3]，三維空間中的任何光滑矢量場(chǎng)可以分解為一個(gè)無(wú)旋場(chǎng)(旋度為0 (零矢量))、一個(gè)無(wú)源場(chǎng)(散度為0)以及一個(gè)平庸場(chǎng)(常矢量場(chǎng)，其旋度與散度同時(shí)為零) 三者之和。

圖1 剛體運(yùn)動(dòng)的速度與加速度分析

對(duì)速度場(chǎng)的表達(dá)式 (1) 進(jìn)行分析可知：等式右端第一項(xiàng)vB表示的是基點(diǎn)B的速度?；c(diǎn)選定后，在任意瞬時(shí)，其速度對(duì)剛體上的其他點(diǎn)而言就是一個(gè)不隨空間變化的常矢量(亦即平庸場(chǎng))，其旋度為0，其散度亦為0。等式(1)右端的第二項(xiàng)表示的是一個(gè)有旋場(chǎng)，其旋度為2ω。具體推導(dǎo)與論證見(jiàn)第二節(jié)。

另一方面，由場(chǎng)論可知，有旋場(chǎng)存在相應(yīng)的矢量勢(shì)，有源場(chǎng)存在相應(yīng)的標(biāo)量勢(shì)。據(jù)此，剛體運(yùn)動(dòng)速度場(chǎng)還可以表示為

式中，Av為速度場(chǎng)的矢量勢(shì)。剛體運(yùn)動(dòng)速度場(chǎng)沒(méi)有有源場(chǎng)分量，相應(yīng)的標(biāo)量勢(shì)為0。由觀(guān)察可得，矢量勢(shì)的表達(dá)式為

類(lèi)似地，對(duì)加速度場(chǎng)的表達(dá)式 (2) 進(jìn)行分析可知：等式右端aB表示的是基點(diǎn)B的加速度?；c(diǎn)選定后，在任意瞬時(shí)，其加速度對(duì)剛體上的其他點(diǎn)而言就是一個(gè)不隨空間變化的常矢量，其旋度為0，其散度亦為0。等式(2)右端的第二項(xiàng)表示的是一個(gè)有旋場(chǎng)，其旋度為 2ε。等式 (2) 右端的第三項(xiàng)表示的是一個(gè)有源場(chǎng)，其散度為 ?2|ω|2。具體推導(dǎo)與論證見(jiàn)第二節(jié)。

類(lèi)似于對(duì)速度場(chǎng)的分析，剛體運(yùn)動(dòng)的加速度場(chǎng)還可以表示為

式中，Aa為加速度場(chǎng)的矢量勢(shì)；?為加速度場(chǎng)的標(biāo)量勢(shì)。通過(guò)觀(guān)察可知，Aa的表達(dá)式為

?的表達(dá)式為

2 速度場(chǎng)與加速度場(chǎng)的旋度、散度與梯度

剛體運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，其上各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的速度構(gòu)成一個(gè)矢量場(chǎng)，各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的加速度也構(gòu)成一個(gè)矢量場(chǎng)。下面分別推導(dǎo)這兩個(gè)矢量場(chǎng)的旋度、散度與梯度的表達(dá)式，并對(duì)其力學(xué)含義予以闡述。

2.1 速度場(chǎng)與加速度場(chǎng)的旋度

速度場(chǎng)的旋度[4]為

由于vB不隨空間變化，其旋度為0。

由式 (8) 可以看出，剛體運(yùn)動(dòng)速度場(chǎng)的旋度等于二倍的角速度 (矢量)，這是場(chǎng)論中的一個(gè)熟知的結(jié)論。

加度場(chǎng)的旋度為

類(lèi)似于速度場(chǎng)，剛體運(yùn)動(dòng)的加速度場(chǎng)的旋度等于二倍的角加速度(矢量)。

2.2 速度場(chǎng)與加速度場(chǎng)的散度

速度場(chǎng)的散度為

式中，vB不隨空間變化，所以其散度為 0。ω也不隨空間變化，其旋度亦為0。按定義計(jì)算可知，r(球?qū)ΨQ(chēng)中心場(chǎng)) 的旋度也為0。

由式(10) 可以看出，剛體運(yùn)動(dòng)的速度場(chǎng)是一個(gè)無(wú)源場(chǎng)。事實(shí)上，這也正是剛體的特性之一。如果一個(gè)物體運(yùn)動(dòng)的速度場(chǎng)是有源場(chǎng)的話(huà)，其必然是一個(gè)可變形體。

加度場(chǎng)的散度為

由式(11) 可以看出，剛體運(yùn)動(dòng)的加速度場(chǎng)是一個(gè)有源場(chǎng)。正是這個(gè)源項(xiàng)導(dǎo)致旋轉(zhuǎn)剛體出現(xiàn)了離心力。

2.3 速度場(chǎng)與加速度場(chǎng)的梯度

速度場(chǎng)的梯度可以看作是由梯度算子與速度場(chǎng)構(gòu)成的一個(gè)并矢，亦即一個(gè)二階張量，具體表達(dá)式為

速度場(chǎng)的梯度是一個(gè)二階張量，而任一二階張量皆可分解為其對(duì)稱(chēng)部分(張量) 與反對(duì)稱(chēng)部分(張量) 之和。其中，對(duì)稱(chēng)部分表示物質(zhì)的應(yīng)變率張量，而反對(duì)稱(chēng)部分則表示物質(zhì)的旋率張量[6]。式(12) 表明，剛體運(yùn)動(dòng)速度場(chǎng)的梯度的對(duì)稱(chēng)部分恒等于零，反映了剛體不會(huì)發(fā)生變形這一本質(zhì)特性；而其反對(duì)稱(chēng)部分恰好等于剛體的角速度張量，反映了剛體的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)特性。

加度場(chǎng)的梯度為

由式(14) 可以看出，剛體加速度場(chǎng)的梯度可以分解為一個(gè)對(duì)稱(chēng)張量·和一個(gè)反對(duì)稱(chēng)張量之和。其中對(duì)稱(chēng)部分反映了三維空間剛體運(yùn)動(dòng)過(guò)程中相對(duì)法向加速度的空間變化率；而反對(duì)稱(chēng)部分則反映了三維空間剛體運(yùn)動(dòng)過(guò)程中相對(duì)切向加速度的空間變化率，即角加速度張量。當(dāng)剛體作平面運(yùn)動(dòng)時(shí)，式 (15) 就自然地退化為僅與標(biāo)量ε有關(guān)的反對(duì)稱(chēng)矩陣，而式 (16) 則退化為僅與標(biāo)量ω2有關(guān)的對(duì)稱(chēng)矩陣。

3 結(jié)語(yǔ)

本文基于矢量場(chǎng)的 Helmholtz 分解定理，重新審視了三維空間剛體運(yùn)動(dòng)的速度場(chǎng)與加速度場(chǎng)的特性，得到了速度場(chǎng)的矢量勢(shì)以及加速度場(chǎng)的矢量勢(shì)與標(biāo)量勢(shì)。通過(guò)考察剛體運(yùn)動(dòng)速度場(chǎng)與加速度場(chǎng)的旋度、散度與梯度，揭示了速度場(chǎng)的旋度與角速度矢量的關(guān)聯(lián)性以及速度場(chǎng)的梯度與角速度張量的關(guān)聯(lián)性。速度場(chǎng)的旋度與梯度分別從不同方面描述了剛體的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)特性。剛體運(yùn)動(dòng)速度場(chǎng)的散度恒為零，這反映了剛體運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不會(huì)發(fā)生變形的特性。剛體運(yùn)動(dòng)加速度場(chǎng)的旋度與剛體的角加速度矢量相關(guān)聯(lián)，而加速度場(chǎng)的梯度則既與角速度張量相關(guān)聯(lián)，亦與法向加速度空間變化率張量相關(guān)聯(lián)。剛體運(yùn)動(dòng)加速度場(chǎng)的散度與剛體的角速度相關(guān)聯(lián)，這反映了剛體運(yùn)動(dòng)過(guò)程中離心力的來(lái)源。