居民最優(yōu)消費與投資組合

彭涓 楊金強 劉澤華 趙思琦

基金項目：國家自然科學基金項目（71772112;71972122;72072108）、上海財經(jīng)大學創(chuàng)新團隊建設(shè)項目（2016110241）

作者簡介：彭 涓（1986—），女，湖南湘潭人，博士，華東政法大學商學院講師， 研究方向：行為金融，資產(chǎn)定價;通訊作者：楊金強（1983—），男，河北衡水人，博士，上海財經(jīng)大學金融學院教授，博士生導師，教育部青年長江學者，國家自然科學基金委優(yōu)秀青年基金獲得者，上海市領(lǐng)軍人才， 研究方向：公司金融、數(shù)理金融、 風險管理。

摘 要：運用動態(tài)最優(yōu)控制理論與隨機金融分析方法，研究由勞動收入的特質(zhì)風險與借貸約束導致的非完全市場對消費者最優(yōu)投資和消費策略、波動及福利損失的影響，得到相應的動態(tài)最優(yōu)投資和消費策略。研究發(fā)現(xiàn)：非完全市場會顯著抑制消費者的消費動機和投資動機，并加劇消費波動和投資波動。此外，財務困境下非完全市場會對消費者造成高達40%的福利損失。

關(guān)鍵詞：特質(zhì)風險;非完全市場;投資組合;借貸約束

中圖分類號：F830.59 文獻標識碼：A 文章編號：1003-7217（2021）06-0075-07

一、引 言

經(jīng)濟沖擊隨時都可能發(fā)生，不管是商業(yè)周期波動、國際金融市場波動還是貿(mào)易政策不確定性等都會對居民的收入產(chǎn)生很大的影響。最近的新冠肺炎疫情只是眾多例子中的一個。面對這樣的沖擊，許多居民可能面臨收入減少，甚至出現(xiàn)入不敷出的艱難時期。如何平滑自己的消費以及怎樣優(yōu)化自己的投資策略顯得尤為重要。消費具有較強的穩(wěn)定性，它是宏觀經(jīng)濟中很平穩(wěn)的變量。黨的十一屆三中全會制定的一系列改革開放政策，使經(jīng)濟得到持續(xù)快速發(fā)展。隨著收入水平的大幅提升，居民的消費需求快速增長，消費水平迅速提高。2011-2019年間，我國的最終消費率平均約為53%。雖然受新冠肺炎疫情的影響，2020年最終消費率接近55%，但是總體趨勢還是比較平穩(wěn)的。

一般來說，發(fā)展成熟的金融市場能夠通過風險分擔來降低消費的波動程度。隨著我國金融市場的快速發(fā)展，越來越多的居民開始選擇將一部分資金投資于金融市場，可選的金融資產(chǎn)的種類不斷增加，但是儲蓄和購買股票或基金仍然是居民的主要選擇。我國居民的儲蓄率在家庭金融資產(chǎn)中占比例偏高（大部分年份都在50%以上，1995年更是高達87.1%），而股票和基金的比例偏低（常年低于20%）。因此，在一定的預算約束下，居民如何進行合理的消費、儲蓄和金融資產(chǎn)投資，對其實現(xiàn)終身效用最大化有著重要的作用。

從20世紀70年代開始，Merton （1969）和 Samuelson （1969）首先證明了在完全市場和沒有勞動收入的假設(shè)下[1，2]，最優(yōu)投資組合選擇在整個生命周期中是常數(shù)。隨后，許多經(jīng)濟學家在此基礎(chǔ)上進行了大量的拓展研究。在現(xiàn)實中，市場為消費者提供的資源是有限的，消費者在面對收入波動等特質(zhì)風險時如何平滑自己的消費以及如何調(diào)整自己的投資策略是非常重要的問題。

Cox和 Huang （1989）研究了不確定條件下連續(xù)時間內(nèi)的最優(yōu)消費組合問題[3]。Munk（2008）研究了一個具有偏好形成習慣的投資者的動態(tài)消費以及最優(yōu)投資組合[4]。Wang和 Hou（2015）考察了習慣形成、資本主義精神、遞歸效用和穩(wěn)健性這四個因素對消費和投資組合選擇、消費動態(tài)和資產(chǎn)定價的影響[5]。宋靜靜等（2014）研究了有限期限上的最優(yōu)投資消費問題[6]。姜奎等（2016）探討了通貨膨脹對投資者的消費投資策略的影響[7]。費為銀等（2016）研究了當隨機利率服從CIR模型時，帶有隨機勞動收入的最優(yōu)消費投資問題[8]。彭涓等（2017）研究了過度外推下消費者的最優(yōu)消費策略和投資組合[9]。李仲飛等（2017）探討了具有隨機收入和時變相對風險厭惡系數(shù)的消費者的最優(yōu)投資消費問題[10]。

然而，這些研究并沒有考慮借貸約束和特質(zhì)風險。Wang C，Wang N 和Yang J（2012，2016） 雖然假設(shè)借貸約束和特質(zhì)風險會導致非完全市場[11，12]，但是他們僅考慮了最優(yōu)消費，而沒有將投資組合考慮進來。本文在借貸約束下，研究在存在收入波動等特質(zhì)風險時的最優(yōu)消費與投資組合問題，研究問題更貼合實際，結(jié)論和啟示對發(fā)展和完善我國金融市場具有直接的借鑒意義。

二、假設(shè)和模型

在連續(xù)時間下，假定消費者可以無限期生存，且可以獲得永久性的隨機收入流。金融市場上具有無風險資產(chǎn)和與系統(tǒng)風險完全相關(guān)的風險資產(chǎn)兩種金融產(chǎn)品。另外，為了保證消費者凈財富時刻為正，假定消費者不能進行借款，這體現(xiàn)了借貸約束和信貸市場的非完全。

（一）勞動收入過程

廣泛應用的勞動收入過程均會考慮臨時性和永久性沖擊，這在模型中都會得到體現(xiàn)。為了方便，在基準模型中假定Y僅包括永久性沖擊。

財經(jīng)理論與實踐（雙月刊）2021年第6期2021年第6期（總第234期）彭 涓，楊金強，劉澤華等：居民最優(yōu)消費與投資組合

假定勞動收入服從下列幾何布朗過程：

其中，B是標準的布朗運動，μ是收入的期望增長率，σ是收入的波動率。

（二）投資組合

正如Merton（1971）[13]所假設(shè)的，消費者面臨以下兩種金融資產(chǎn)：支付固定利率的無風險資產(chǎn)和反映市場風險的投資組合。假設(shè)時間段dt內(nèi)，市場投資組合的收益服從獨立同分布（i.i.d.），即：

其中，μR和σR代表市場投資組合回報的均值和波動率，Z是標準的布朗運動。令

式（3）表示市場投資組合的夏普比率。假設(shè)消費者的勞動收入與市場組合回報的相關(guān)系數(shù)為φ，其中φ≠1表示消費者的勞動收入風險不能被完全對沖。不可對沖的勞動收入風險則為特質(zhì)風險，定義為ε=σ2（1-ρ2），其中ε>0體現(xiàn)了金融市場的非完全。可見，市場的非完全性同時體現(xiàn)在金融市場的非完全和信貸市場的非完全。

（三）Epstein-Zin期望遞歸效用函數(shù)

在投資消費文獻中，常相對風險厭惡效用函數(shù)（CRRA）是最常見的偏好函數(shù)，然而該類型的效用函數(shù)也存在一定的局限性，比如它不能將跨期替代彈性系數(shù)（EIS）和風險厭惡系數(shù)進行區(qū)分。為更好地體現(xiàn)非完全市場下偏好對投資消費的影響，采用比較常用的非期望遞歸效用函數(shù)，它是由Epstein和Zin（1989）以及Weil（1990）在Kreps和Porteous（1978）的工作基礎(chǔ)上創(chuàng)立的，能夠很好地將風險厭惡系數(shù)和EIS系數(shù)分離開來[14-16]。非期望效用函數(shù)的連續(xù)形式如下：

其中，fC，V是有關(guān)C和V的正規(guī)化算子。Duffie和Epstein（1992）[17]指出，在Epstein-Zin效用下，fC，V的表達式如下：

其中，θ=1-ψ-11-γ。這里，ψ是EIS系數(shù)，γ是相對風險厭惡系數(shù)，ρ是主觀貼現(xiàn)因子。值得一提的是，當風險厭惡系數(shù)等于EIS的倒數(shù)時， 即γ=1/ψ， CRRA效用函數(shù)是遞歸效用函數(shù)的一個特例。此時可得f（C，V）=U（C）-ρV，其中U（C）=ρ C1-γ/（1-γ）。也就是說，CRRA效用函數(shù)將C和V分割開來。若θ≠1，則f（C，V）無法拆分C和V。

（四）金融財富動態(tài)過程與借貸約束

定義W為消費者的金融財富，Πt為消費者投資于市場風險資產(chǎn)的價值，根據(jù)上面的假設(shè)可得金融財富動態(tài)過程如下：

假設(shè)消費者不能借用未來的勞動收入，即在任意時刻消費者的財富均不為負，即Wt≥0。這也就意味著當Wt=0時，Ct≤Yt。

總而言之，給定勞動收入過程式（1），財富積累過程式（7）以及借貸約束，消費者的目標是最大化其效用函數(shù)，即式（4）和式（5）。在分析非完全市場模型之前，首先闡述完全市場下的求解過程并介紹基于確定性等價財富過程的永久性收入假說（PIH）。

三、完全市場（CM）和永久收入假說（PIH）

為更好地分析非完全市場對投資消費與收入估值的影響，首先給出完全市場下的解。為了使模型具有動態(tài)完備性，假定金融市場中還有一個可交易的金融資產(chǎn)，該資產(chǎn)與收入的特質(zhì)風險是完全相關(guān)的。通過運用Black和Scholes（1973）[18]提出的動態(tài)投資組合復制策略，在動態(tài)無摩擦的環(huán)境下交易無風險資產(chǎn)和新引進的風險資產(chǎn)，能夠得到完全市場下的解。接下來，與Friedman（1957）[19]和Hall（1978）[20]一樣，定義人力財富（用H表示）為未來所有勞動收入的貼現(xiàn)值：

在完全市場下，式（7）表示勞動收入的市場價值，因為勞動收入風險被完全分散化，且沒有風險溢價的補償，因此勞動收入的貼現(xiàn)率為無風險利率r。為了保證人力財富在完全市場下是有限且收斂的，假設(shè)勞動收入的期望增長率μ-ρησ小于市場利率r，即：

可以得到，人力財富與當期收入水平是成比例的，即：

本文的模型（在完全市場以及非完全市場下）關(guān)于財富W和收入Y具有齊次性的特性。用小寫字母（大寫字母除以當期收入Y）表示單位收入對應的變量。例如，wt=Wt/Yt，ct=Ct/Yt和πt=Πt/Yt分別表示金融財富收入比、消費收入比與投資組合收入比。為保證完全市場下解的收斂性，還需進一步假設(shè)：

它意味著，主觀貼現(xiàn)因子ρ需要足夠大，以保證能夠產(chǎn)生足夠大的消費動機，使得財富積累速度不會過快，從而確保最優(yōu)化問題具有收斂的解。下面的定理總結(jié)了完全市場下的主要結(jié)論：

定理1 在保證收斂性的條件1和條件2同時滿足的情況下，完全市場下消費者的價值函數(shù)V*W，Y為

四、非完全市場

基于前文的基本假設(shè)，運用猜測和驗證方法，可得到價值函數(shù)VW，Y為：

其中，b同樣由式（12）給出。在式（17）中，PW，Y可以解釋為確定性等價財富，即t時刻使得消費者在：（1）現(xiàn)狀（擁有財富W和收入Y）;（2）以后永遠沒有收入，這兩種情況下無差別的總財富。因而VW，Y為

為什么選擇分析確定性等價財富PW，Y而不是分析價值函數(shù)VW，Y呢？首先，確定性等價財富是比較直觀的概念，其單位是消費品的數(shù)量，而價值函數(shù)VW，Y的單位是效用，這個單位是不能被直接衡量的;其次，PW，Y有利于分析。例如，通過計算PW，Y以及其導數(shù)，即金融財富的邊際價值PWW，Y，可以衡量金融摩擦的影響。

用cw=CW，Y/Y表示單位收入對應的確定性等價消費，用pw=PW，Y/Y表示單位收入對應的確定性等價財富。運用齊次特征，可得到單位收入對應的金融財富w=W/Y以及金融財富的邊際價值PWW，Y=p′w。定理2歸納了關(guān)于cw和pw的主要結(jié)論。

五、經(jīng)濟學分析

（一）參數(shù)選取

本文模型較為簡單，僅包含八個參數(shù)。為進行合理的經(jīng)濟學分析和產(chǎn)生有現(xiàn)實意義的經(jīng)濟學啟示，借鑒消費儲蓄領(lǐng)域權(quán)威文獻的參數(shù)。首先，根據(jù)Deaton（1991）[21]和Carroll（1997）[22]設(shè)置收入過程的兩個參數(shù)值為：期望增長率μ=1.5%，波動率σ=10%。然后，借鑒Guvenen（2006）[23]和Wang C，Wang B和Yang J（2016）[12]，選定偏好相關(guān)的三個參數(shù)值為：風險厭惡系數(shù)γ=3，跨期替代彈性ψ=1，主觀貼現(xiàn)因子ρ=4%。最后，參考Wang C，Wang N和Yang J（2012， 2016）[11，12]，選取市場相關(guān)的兩個參數(shù)為：無風險利率r=3.5%，夏普比率η=30%，風險和收益相關(guān)系數(shù)φ=0。

（二）估值與福利損失

圖1（a）和圖1（b）反映了非完全市場對消費者單位收入對應的確定性等價財富pw和勞動收入的（主觀）價值qw的影響。特質(zhì)風險ε越大，表示消費者的特質(zhì)風險越大;w越小，意味著消費者面臨更大的借貸約束，這兩個因素都造成了市場的非完全。不難發(fā)現(xiàn)，市場非完全程度越高，消費者單位收入對應的確定性等價財富越低，勞動收入的價值也越低。進一步研究發(fā)現(xiàn)當消費者單位收入對應的金融財富越高（w越大），借貸約束和特質(zhì)風險對消費者的負面影響越小，此時消費者單位收入對應的確定性等價財富和勞動收入的價值就越高。反之，當消費者單位收入對應的確定性等價財富很低（w很小）時，消費者面臨財務困境，此時金融財富的略微增加都可能極大緩解借貸約束和特質(zhì)風險的影響，因此相應的金融財富的邊際價值p′w很高，1單位金融財富的增加會帶來雙倍的價值（見圖1（c））。特別地，特質(zhì)性風險對金融財富的邊際價值的影響取決于金融財富水平大?。ㄒ妶D1（c））。對于金融財富水平不足的消費者而言，更大的異質(zhì)性風險對財富的邊際價值產(chǎn)生非單調(diào)的影響，而對于金融財富較高的消費群體來說，更大的異質(zhì)性風險只會提高財富的邊際價值。最后，圖1（d）顯示，非完全市場會對消費者的福利損失lw造成顯著影響，比如在基準參數(shù)下（ε=0.1），消費者的福利損失大約為40%。隨著金融財富的增加，消費者的借貸需求逐漸降低，特質(zhì)風險的規(guī)避能力逐漸增強，因此福利損失逐漸減小。

（三）投資與消費

圖2 分別展示了非完全市場對消費策略cw，投資策略πw，消費的邊際傾向c′w，投資的邊際傾向π′w，以及消費波動σcw與投資波動σΠw的影響。其中，由圖2（a）和圖2（b）可見，非完全市場會導致消費者消費不足和投資不足。這是因為消費者通過抑制消費和金融投資以增加預防性儲蓄，從而更好地規(guī)避特質(zhì)風險和借貸約束。圖2（c）和圖2（d）給出了非完全市場對消費傾向和投資傾向的影響，不難發(fā)現(xiàn)，當消費者面臨財務困境（w較?。r，每增加1單位的金融財富，會引致消費者0.2單位的消費增加和超過4單位的金融投資，在定量上約四倍于完全市場下的值。這意味著，財務困境下的信貸放寬或金融資產(chǎn)多樣化（減小特質(zhì)風險ε），會顯著降低消費不足和投資不足，從而在極大程度上緩解非完全市場對消費者消費與投資行為的扭曲。最后，由圖2（e）和圖2（f）可見，非完全市場會增加消費者的消費與投資的波動性，這意味著通過降低特質(zhì)風險或放寬借貸約束提高市場的完備性，可有效平滑消費者的消費和投資行為。

六、結(jié)束語

特質(zhì)風險與借貸約束是導致市場非完全的重要因素。以上通過在經(jīng)典的最優(yōu)消費與投資組合模型基礎(chǔ)上，考慮了由勞動收入的特質(zhì)風險與借貸約束導致的非完全市場對消費者最優(yōu)投資和消費策略、波動及福利損失的影響。研究表明：（1）非完全市場會抑制消費者的消費與投資組合動機，引致顯著的消費不足和投資不足，并且消費與投資行為的扭曲可能會導致消費者的福利損失高達40%;（2）在財務困境中，充裕的財富會極大緩解借貸約束和特質(zhì)風險的負面影響，此時，金融財富的增加會帶來雙倍的價值體現(xiàn);（3）市場的非完全性會加劇消費者消費與投資策略的波動性。

由此可見，發(fā)展和完善金融股票市場和借貸市場，可以降低居民由于市場不完全可能導致的投融資風險，提高居民的福利水平，是平滑消費者消費和投資行為的有效手段。尤其在當前復雜的形勢下，發(fā)展完善的金融市場可以提升金融對消費和投資的支撐，對推動消費發(fā)展和促進國內(nèi)大循環(huán)等有積極的影響。

參考文獻：

[1] Merton R C. Lifetime portfolio selection under uncertainty：The continuous time case[J]. Review of Economics and Statistics， 1969，51（3）：247-257.

[2] Samuelson P A . Lifetime portfolio selection by dynamic stochastic programming[J]. Review of Economics and Statistics， 1969，51（3）：239-246.

[3] Cox J C， Huang C F. Optimal consumption and portfolio policies when asset prices follow a diffusion process[J]. Journal of Economic Theory，1989， 49（1）：33-83.

[4] Munk C. Portfolio and consumption choice with stochastic investment opportunities and habit formation in preferences[J]. Journal of Economic Dynamics and Control， 2008，32 （11）：3560-3589.

[5] Wang H， Hou L S. Robust consumption and portfolio choice with habit formation， the spirit of capitalism and recursive utility[J]. Annals of Economics and Finance， 2015，16（2）：393-416.

[6] 宋靜靜，畢秀春，張曙光.有限期限上具有隨機利率的最優(yōu)投資消費模型[J].系統(tǒng)科學與數(shù)學，2014，34（8）：914-924.

[7] 姜奎，費為銀，杜宏俊. 基于通脹和勞動收入的最優(yōu)消費投資問題研究[J].安徽工程大學學報，2016，31（1）：65-70.

[8] 費為銀，王曉弟，夏登峰. CIR利率模型下帶有隨機勞動收入的最優(yōu)消費投資策略[J]. 東華大學學報（自然科學版），2016，42（2）：306-312.

[9] 彭涓， 靳玉英， 楊金強.基于過度外推的最優(yōu)投資與消費策略[J].管理科學學報，2017，20（3）：56-62.

[10]李仲飛，陳崢. 帶有隨機收入與時變風險厭惡系數(shù)的最優(yōu)投資-消費問題[J].系統(tǒng)工程理論與實踐，2017，37（7）：1665-1678.

[11]Wang C， Wang N， Yang J. A unified model of entrepreneurship dynamics[J]. Journal of Financial Economics， 2012， 106（1）：1-23.

[12]Wang C， Wang N， Yang J. Optimal consumption and savings with stochastic income and recursive utility[J]. Journal of Economic Theory， 2016，165（5）：292-331.

[13]Merton R C. Consumption and portfolio rules in a continuous-time model[J]. Journal of Economic Theory，1971，3（4）：373-413.

[14]Epstein L ， Zin S E. Substitution， risk aversion， and the temporal behavior of consumption and asset returns：A theoretical frame work[J]. Econometrica ，1989，57（4）：937-969.

[15]Weil P. Non-expected utility in macroeconomics[J]. Quarterly Journal of Economics， 1990，105（1）：29-42.

[16]Kreps D M， Porteous E L. Temporal resolution of uncertainty and dynamic choice theory[J]. Econometrica，1978，46（1）：185-200.

[17]Duffie D，Epstein L G. Stochastic differential utility[J]. Econometrica， 1992， 60（2）：353-394.

[18]Black F. Scholes， M. The pricing of options and corporate liabilities[J]. Journal of Political Economy， 1973， 81（3）：637-659.

[19]Friedman M. A Theory of the Consumption Function[M]. Princeton：Princeton University Press，1957.

[20]Hall R E.Stochastic implications of the life cycle-permanent income hypothesis：theory and evidence[J]. Journal of Political Economy，1978， 86（6）：971-987.

[21]Deaton A. Saving and liquidity constraints[J]. Econometrica，1991， 59（4）：1221-1248.

[22]Carroll C D. Buffer-stock saving and the life cycle/permanent income hypothesis[J]. The Quarterly Journal of Economics， 1997，112 （1）：1-55.

[23]Guvenen F. Reconciling conflicting evidence on the elasticity of intertemporal substitution：A macroeconomic perspective[J]. Journal of Monetary Economics， 2006，53（7）：1451-1472.

（責任編輯：厲 亞）