K頻段斐波那契網(wǎng)格稀疏陣列分析與設(shè)計(jì)*

溫 劍，陽(yáng) 昆，姚亞利，侯祿平

(中國(guó)西南電子技術(shù)研究所，成都 610036)

0 引 言

在國(guó)內(nèi)外近年來(lái)蓬勃發(fā)展的K/Ka頻段(大約20～30 GHz，非嚴(yán)格定義)低軌衛(wèi)星通信網(wǎng)絡(luò)有源相控陣天線領(lǐng)域，由于衛(wèi)星軌道高度較低(1 000 km左右)，要求采用高增益波束寬角掃描(≥±60°)形成對(duì)地球覆蓋。采用均勻網(wǎng)格排布(矩形、正方形、三角形)的常規(guī)陣列受到柵瓣條件的嚴(yán)格限制，其陣間距接近半波長(zhǎng)。而目前國(guó)內(nèi)受射頻芯片技術(shù)的限制，在高成本高可靠性的衛(wèi)星平臺(tái)上仍主要采用具有高輸出功率、低噪聲系數(shù)、抗輻照特性的砷化鎵(GaAs)芯片，但GaAs工藝集成度不高，射頻芯片尺寸與陣間距相當(dāng)。另外衛(wèi)星平臺(tái)資源緊缺，對(duì)K/Ka頻段相控陣天線提出多波束、多功能化的要求，常規(guī)陣列難以在5～8 mm的間距下排布多波束芯片及合成網(wǎng)絡(luò)。K/Ka頻段常規(guī)陣列電路布局設(shè)計(jì)和加工制造帶來(lái)非常大的困難，嚴(yán)重制約了K/Ka頻段衛(wèi)星通信有源相控陣天線向多波束、低剖面、數(shù)字化、低成本化發(fā)展，工程中對(duì)陣列大間距稀疏設(shè)計(jì)提出了迫切的需求。

K/Ka頻段有源相控陣高密度的電路、芯片集成，也要求稀疏陣列網(wǎng)格具有宏觀上的均勻性，便于陣元與芯片位置匹配。K/Ka頻段通信大瞬時(shí)帶寬要求各射頻通道長(zhǎng)度差異小，盡量減少高成本高損耗的延時(shí)器的使用。在稀疏陣布局設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)全局考慮以上通信用有源相控陣的特殊要求。

滿陣的副瓣和柵瓣是由于陣元的周期排布形成的。稀疏陣設(shè)計(jì)的核心，就是采用密度加權(quán)(規(guī)則網(wǎng)格點(diǎn)隨機(jī)采樣)、位置隨機(jī)等手段破壞周期性，達(dá)到降低副瓣峰值、抑制柵瓣的效果，同時(shí)保證增益等核心指標(biāo)達(dá)到門限值。工程中常采用遺傳算法、粒子群算法等全局優(yōu)化算法尋找的最佳的隨機(jī)陣列分布，由于沒(méi)有明顯的數(shù)學(xué)物理對(duì)應(yīng)關(guān)系，導(dǎo)致在設(shè)計(jì)陣元數(shù)超過(guò)幾百的大規(guī)模陣列時(shí)，未知量大、計(jì)算量大、收斂慢[1-4]。為了減少計(jì)算未知量常常對(duì)陣列做簡(jiǎn)化，如子陣塊隨機(jī)布陣[5],但子陣化也會(huì)造成附加的周期性，使柵瓣和旁瓣惡化。

圓環(huán)陣是另一種常用的稀疏陣列設(shè)計(jì)方案[6]。圓環(huán)陣在極坐標(biāo)中以一定的規(guī)律排布，所以優(yōu)化調(diào)整參數(shù)較少，設(shè)計(jì)較為方便快捷，易于形成在直角坐標(biāo)中無(wú)序的排列，達(dá)到柵瓣抑制效果，但是平均副瓣電平較高。環(huán)形稀疏陣的優(yōu)化參數(shù)有圓環(huán)半徑遞增量、單圈圓環(huán)上等角分布的單元數(shù)量、每圈單元起始位置角度等。對(duì)于小規(guī)模圓環(huán)陣，可使用遺傳算法優(yōu)化對(duì)上述參數(shù)進(jìn)行搜索尋優(yōu)。由于在每一步優(yōu)化過(guò)程中要對(duì)多個(gè)指向的方向圖積分再計(jì)算代價(jià)函數(shù)，其計(jì)算量巨大，優(yōu)化效率仍相對(duì)較低。如要獲得更低的副瓣則半徑遞增量較大[7]，導(dǎo)致陣元密度不均勻，不適合K/Ka頻段寬帶通信相控陣天線的要求。

如能跳出全局優(yōu)化算法的框架，利用數(shù)學(xué)、物理、仿生學(xué)等理論，尋找稀疏陣列輻射特性與陣列布局的映射關(guān)系，將大幅提高稀疏陣列的設(shè)計(jì)效率。這種思想在電磁場(chǎng)及微波學(xué)科已有多種成功案例，比如螺旋天線的非頻變超寬帶效應(yīng)[8]，分形幾何的自相似性賦予天線的超寬帶特性[9]。文獻(xiàn)[10]介紹了一種斐波那契網(wǎng)格稀疏陣列設(shè)計(jì)方案，用于實(shí)現(xiàn)大間距陣列的柵瓣抑制。這種布陣方案由解析公式給出，無(wú)需使用如遺傳算法這類大規(guī)模的數(shù)值計(jì)算，所以非常高效，在工程中可以大幅簡(jiǎn)化陣因子設(shè)計(jì)流程，直接跨入三維電磁場(chǎng)仿真。該文獻(xiàn)在標(biāo)準(zhǔn)的斐波那契網(wǎng)格上疊加徑向擴(kuò)展因子構(gòu)成密度加權(quán)陣，對(duì)旁瓣電平進(jìn)行控制。

本文從積分變換和數(shù)論等數(shù)學(xué)原理上對(duì)斐波那契網(wǎng)格稀疏陣列的柵瓣抑制特性進(jìn)行分析和解釋。相比現(xiàn)有文獻(xiàn)，增加了斐波那契網(wǎng)格的均勻性和無(wú)序性的理論分析，解釋了斐波那契網(wǎng)格用于相控陣工程中天然具有柵瓣抑制特性的機(jī)理。另外，利用輕微的幅度加權(quán)進(jìn)一步抑制旁瓣的分析，這和現(xiàn)有文獻(xiàn)采用的密度加權(quán)稀疏化抑制旁瓣的方式相比有創(chuàng)新，也更匹配寬帶K/Ka頻段通信相控陣天線的需求。本文設(shè)計(jì)出的斐波那契網(wǎng)格稀疏陣列具有大間距、網(wǎng)格均勻、低副瓣、無(wú)柵瓣、寬角高增益的特性，在K/Ka頻段有源相控陣工程中應(yīng)用前景廣闊。

1 基于斐波那契網(wǎng)格的稀疏圓陣設(shè)計(jì)

以上列舉的衛(wèi)星通信K/Ka頻段相控陣天線稀疏化柵瓣抑制布局要求可總結(jié)為陣列網(wǎng)格無(wú)序、宏觀均勻，在數(shù)學(xué)中被稱為Tammes問(wèn)題，即二維三維的裝箱問(wèn)題(Packing Problem)。用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述為：將點(diǎn)在平面或曲面上均勻鋪開(kāi)以達(dá)到各點(diǎn)的最小距離最大化[11]。六邊形網(wǎng)格是平面Tammes問(wèn)題的最優(yōu)解，但網(wǎng)格有序，應(yīng)用在大間距平面相控陣中時(shí)會(huì)出現(xiàn)柵瓣。

1.1 斐波那契網(wǎng)格定義

斐波那契網(wǎng)格是使用黃金分割比為角度增長(zhǎng)系數(shù)的密繞螺旋，可以在球面或圓平面上生成無(wú)序且宏觀均勻分布的點(diǎn)云[11-13]。

斐波那契網(wǎng)格具有簡(jiǎn)單的表達(dá)式[11]，以平面陣為例：

(1)

1.2 斐波那契網(wǎng)格均勻性解釋

圓可以用極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)表示[13]，其變換式為

(2)

直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)進(jìn)行積分變換的雅可比行列式為

(3)

則積分元為

(4)

(5)

1.3 斐波那契網(wǎng)格無(wú)序性解釋

可以用數(shù)論的連分式展開(kāi)理論[12，14]解釋以上圖形的周期性螺旋條紋。

任意一個(gè)實(shí)數(shù)a都可以展開(kāi)為連分式：

(6)

圖1 斐波那契網(wǎng)格詳圖

把a(bǔ)的連分式在某一項(xiàng)截?cái)啵玫絘的有理逼近，稱為丟番圖逼近(Diophantine Approximation)。如果截?cái)嗟絘k，化簡(jiǎn)后得到的最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)為pk/qk。pk和qk可以有以下遞推公式求得

pk=akpk-1+pk-2,

(7)

qk=akqk-1+qk-2。

(8)

式中：p0=a0，q0=1，p-1=1，q-1=0。定義逼近誤差k=|qka-pk|。

φs=0.617的連分式為[0;1,1,1,1,1,1,3,21]，各階丟番圖逼近項(xiàng)與誤差如表1所示。

表1 0.617的各階丟番圖逼近項(xiàng)與誤差

圖2畫出了φs=0.617時(shí)1～400點(diǎn)圖形，可以看出，在原點(diǎn)附近點(diǎn)云形成較明顯的13條螺旋臂，而在外圍點(diǎn)云呈47條射線狀，13和47是丟番圖逼近的分母。將螺旋臂和射線的這種顯著的排列稱為模式，本圖中的模式編號(hào)為8/13模式和29/47模式。

圖2 φs=0.617的密繞螺旋詳圖

利用丟番圖逼近，將無(wú)理數(shù)連分式截?cái)?，如產(chǎn)生截?cái)囗?xiàng)ai的激增，點(diǎn)云圖中就會(huì)出現(xiàn)十分顯著的模式。

黃金分割比的連分式項(xiàng)全為1，非常穩(wěn)定，模式切換頻繁但沒(méi)有較大的突變，這種特性正是形成無(wú)序但宏觀均勻分布點(diǎn)云的原因：均勻是因?yàn)樵谌魏伟霃教幐髂Ｊ降牟町惙浅Ｐ?，不?huì)出現(xiàn)大的間距；無(wú)序是因?yàn)槊糠N模式都不會(huì)持續(xù)很久。

圖的密繞螺旋詳圖

1.4 576元陣列數(shù)值算例

基于以上分析，斐波那契網(wǎng)格完美解決了平面點(diǎn)的均勻且無(wú)序地排列問(wèn)題。根據(jù)陣列天線的柵瓣產(chǎn)生的機(jī)理[2]，我們認(rèn)為采用斐波那契網(wǎng)格能對(duì)大間距陣列的柵瓣進(jìn)行有效抑制。以下進(jìn)行數(shù)值仿真，分析斐波那契網(wǎng)格及另外幾種具有類似幾何特性的網(wǎng)格對(duì)陣列的柵瓣、副瓣等指標(biāo)的影響，找到其關(guān)鍵設(shè)計(jì)參數(shù)。

首先對(duì)工作在20 GHz的576元陣進(jìn)行數(shù)值仿真[15]，分析其陣因子方向圖。取不同的φs，并調(diào)整縮放比例使576元分布在半徑0.3 m的口徑中，等效間距DE≈1.48λ。陣列數(shù)值仿真結(jié)果如圖4～6所示，采用天線工程中的uv空間投影方向圖形式，便于觀察整個(gè)上半空間的副瓣，其中心為法向，徑向?yàn)楦┭鼋?，周向?yàn)榉轿唤?，幅度采用歸一化增益值，單位為dB。由于陣列規(guī)模較大，可以看出能實(shí)現(xiàn)相當(dāng)于圓口徑等副加權(quán)的-17 dB副瓣電平。

圖陣列uv空間歸一化方向圖

圖5 φs=0.617陣列uv空間歸一化方向圖

圖陣列uv空間歸一化方向圖

從前面三組方向圖可見(jiàn)，副瓣區(qū)域能量分配很均勻、無(wú)序。三個(gè)參數(shù)得到的副瓣電平相當(dāng)，φs=0.617最好。但根據(jù)圖形特性，黃金分割點(diǎn)云分布最為均勻、緊湊，可以任意等比縮放，較適合于分析相控陣不同間距(即寬頻帶)的特性。

表2給出了576單元按不同縮放比例的形成陣列的副瓣電平計(jì)算結(jié)果。陣列半徑相差2倍以上，副瓣電平無(wú)明顯差異，均能達(dá)到-16 dB以上，可見(jiàn)這種陣列具有穩(wěn)定的寬帶副瓣特性。

表2 不同φs和半徑的網(wǎng)格陣因子副瓣

下面詳細(xì)分析斐波那契網(wǎng)格陣列的副瓣特性。圖7列出了576元陣列在不同方位面的方向圖，可看出，最高副瓣為第一副瓣，其電平值約為-17.3 dB，接近等功率分布的圓口徑副瓣理論值。而遠(yuǎn)副瓣分布較為平均，指向?yàn)榉ㄏ驎r(shí)遠(yuǎn)副瓣電平達(dá)到-25 dB，指向大角度(掃描θ=60°、φ=45°)時(shí)，遠(yuǎn)副瓣抬高至約-20 dB。實(shí)際遠(yuǎn)副瓣電平與陣元數(shù)量和單元方向圖有很大的關(guān)系，結(jié)合下文的156元陣列分析和電磁場(chǎng)仿真可得出結(jié)論，斐波那契網(wǎng)格稀疏陣列的副瓣電平隨單元數(shù)的增加而改善，天線單元因子及結(jié)構(gòu)件也能顯著抑制副瓣。

(a)法向

在K/Ka頻段通信中，考慮到功放芯片的效率較低并簡(jiǎn)化控制芯片的設(shè)計(jì)，一般情況下-20 dB的副瓣電平已完全滿足系統(tǒng)需求，所以未對(duì)有源相控陣天線的副瓣做進(jìn)一步的抑制。文獻(xiàn)[8]采用密度加權(quán)方式進(jìn)行副瓣抑制，這樣造成陣元間距沿徑向逐漸擴(kuò)展，陣列網(wǎng)格不均勻，TR組件芯片與陣元位置及各射頻通道的時(shí)延難以匹配。

近來(lái)低軌衛(wèi)星寬帶網(wǎng)絡(luò)提出了相控陣天線多波束復(fù)用的要求，各波束間需滿足頻域和空域的隔離度，所以副瓣電平在天線指標(biāo)體系中的重要性逐步提升。為了克服密度加權(quán)方式在K/Ka頻段有源相控陣中的不足，本文采用幅度加權(quán)抑制副瓣技術(shù)。

圖8算例中，幅度加權(quán)采取從1～576元逐漸衰減地漸變加權(quán)，電壓幅度歸一化加權(quán)系數(shù)wn=n-0.15，中心和邊緣功率加權(quán)相差約8 dB，第一副瓣電平可以抑制到-23 dB。當(dāng)電壓幅度歸一化加權(quán)系數(shù)wn=n-0.05，中心和邊緣功率加權(quán)相差約3 dB，第一副瓣電平可以抑制到-18.5 dB。

(a)法向

圖9算例中，幅度加權(quán)采取1～576元1、0.707兩檔位衰減的階梯量化加權(quán)，電壓幅度歸一化加權(quán)系數(shù)wn=1,n∈(1,288),wn=0.707,n∈(289,576)，副瓣電平可以抑制到-19.5 dB。

(a)法向

從以上幾個(gè)算例可看出，采用輕微的幅度加權(quán)，即可將第一副瓣電平抑制。工程中，K/Ka頻段相控陣控制芯片中配置有高精度數(shù)控移相器和衰減器，幅度加權(quán)易于實(shí)現(xiàn)。

采用幅度加權(quán)后，陣列口徑增益損失LGain由下式得到：

(9)

式中：N為陣元數(shù)。以上幾種輕微幅度加權(quán)，對(duì)天線的增益影響不超過(guò)0.2 dB，所以對(duì)接收天線品質(zhì)因數(shù)(增益噪聲比，G/T值)不會(huì)產(chǎn)生明顯影響，只是對(duì)于發(fā)射天線來(lái)說(shuō)要維持等效全向輻射功率(Equivalent Isotropic Radiation Power，EIRP)不變，總的有源功率輸出應(yīng)為等功率加權(quán)的N/∑wn2倍。

1.5 156元陣列數(shù)值算例

對(duì)工作在20 GHz的156元陣進(jìn)行計(jì)算，取不同的φs，并調(diào)整縮放比例使156元分布在半徑0.15 m的口徑中，實(shí)現(xiàn)約1.48λ的等效間距；或使其分布在半徑0.075 m的口徑中，實(shí)現(xiàn)約0.7λ的等效間距。

表3 156元陣陣因子副瓣

2 陣面三維電磁場(chǎng)仿真設(shè)計(jì)

2.1 陣面仿真

圖10 陣面的HFSS仿真模型圖

由于陣列的宏觀均勻性，各掃描角度均沒(méi)有顯著的副瓣，所以只列出0°方位切面的方向圖，見(jiàn)圖11、圖12、表4、圖13、圖14和圖15所示。

圖11 半徑0.15 m陣列HFSS仿真方向圖(0°方位切面掃描)

圖12 半徑0.15 m陣列HFSS仿真uv空間歸一化方向圖

表4 半徑0.15 m陣列HFSS仿真結(jié)果

圖13 半徑0.075 m陣列HFSS仿真方向圖(0°方位切面掃描)

圖14 半徑0.075 m陣列HFSS仿真uv空間歸一化方向圖

表5 半徑0.075 m陣列HFSS仿真結(jié)果

根據(jù)以上仿真結(jié)果可看出，在不同的陣列元間距條件下，掃描方向圖呈現(xiàn)不同的特性。半徑0.15 m陣列掃描至75°增益可達(dá)21.4 dB，而掃描角大于60°時(shí)副瓣電平抬高；半徑0.075 m陣列掃描至65°增益可達(dá)21.8 dB，掃描至75°時(shí)副瓣電平仍維持在10.7 dB的水平。進(jìn)一步分析可知，掃描角超過(guò)40°的情況下，最大副瓣均出現(xiàn)在90°以外，屬于相控陣掃描特有的后瓣，實(shí)際中由于天線安裝在面積遠(yuǎn)大于輻射口徑的金屬平臺(tái)中，這種副瓣能被有效抑制。可繼續(xù)深入優(yōu)化陣列半徑，尋求副瓣的最優(yōu)結(jié)果。

下面分析斐波那契網(wǎng)格大間距稀疏陣列的寬角掃描特性機(jī)理。相控陣天線口徑增益可表示為

(10)

2.2 陣面與TR組件互連設(shè)計(jì)

針對(duì)工作在20 GHz半徑為0.15 m的156元陣，按照工程化的要求，對(duì)陣元和均勻排布的TR組件進(jìn)行了接口匹配設(shè)計(jì)，如圖15所示。圖中正方形邊長(zhǎng)為0.5λ，代表一般的諧振式陣列單元占據(jù)的面積；將所有單元分成4個(gè)象限，用四種顏色區(qū)分，是工程中為了避免電路面積過(guò)大造成加工成本高、焊接變形等問(wèn)題的手段；2×2一組的紅點(diǎn)表示TR芯片輸出至天線單元的接口，間距為20 mm，則集成化的2×2通道TR芯片可利用面積為40 mm×40 mm，給工程化實(shí)現(xiàn)提供了相當(dāng)大的自由度。陣元與鄰近的TR通道一一配對(duì)形成鏈表，就可以使用布板軟件進(jìn)行轉(zhuǎn)接層圖紙自動(dòng)化設(shè)計(jì)。

圖15 稀疏陣列單元與TR組件接口示意圖

3 結(jié)束語(yǔ)