運用數(shù)學(xué)思想，提升學(xué)生思維能力
——數(shù)形結(jié)合思想例談

顧麗鳳

（江蘇省無錫市甘露實驗小學(xué) 江蘇無錫 214117）

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011 版）》把“數(shù)學(xué)的基本思想”作為“四基”目標之一，并明確指出：“數(shù)學(xué)課程內(nèi)容不僅包括數(shù)學(xué)的結(jié)果，也包括數(shù)學(xué)結(jié)果的形成過程和蘊涵的數(shù)學(xué)思想?！睌?shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識的靈魂和精髓，是知識轉(zhuǎn)化為能力的橋梁[1]。掌握數(shù)學(xué)思想方法，對提升學(xué)生的思維品質(zhì)，對數(shù)學(xué)學(xué)科的后續(xù)學(xué)習(xí)，對其他學(xué)科的學(xué)習(xí)，乃至對學(xué)生的終身發(fā)展都具有十分重要的意義。那么，在課堂教學(xué)中，教師就要有意識地挖掘數(shù)學(xué)思想方法，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中逐步感悟數(shù)學(xué)思想，切實提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。下面就以“數(shù)形結(jié)合思想”為例，粗淺地談?wù)勎以诮虒W(xué)時是如何運用數(shù)學(xué)思想方法，幫助學(xué)生提高數(shù)學(xué)思考能力的。

“數(shù)”與“形”是貫穿整個小學(xué)數(shù)學(xué)教材的兩條主線，是貫穿小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)始終的基本內(nèi)容。我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生說過：“數(shù)無形，少直觀；形無數(shù)，難入微?！睌?shù)形結(jié)合思想是小學(xué)階段的一種重要數(shù)學(xué)思想，數(shù)形結(jié)合，優(yōu)勢互補，相輔相成，各展其長，有機地使邏輯思維和形象思維統(tǒng)一了起來。因此，教師在教學(xué)時，要根據(jù)數(shù)與形之間的對應(yīng)關(guān)系，把數(shù)與形有機地結(jié)合在一起，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化，培養(yǎng)學(xué)生“見數(shù)想形，因形思數(shù)，數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)意識，引導(dǎo)學(xué)生有效解決問題。

一、數(shù)形結(jié)合，化解學(xué)習(xí)難點

數(shù)形結(jié)合不僅是一種數(shù)學(xué)思想，也是一種很好的數(shù)學(xué)方法。對于題型結(jié)構(gòu)復(fù)雜、抽象，學(xué)生難于理解和掌握的教學(xué)內(nèi)容，在教學(xué)時，教師可以充分利用“形”的直觀、形象，引導(dǎo)學(xué)生有效地運用數(shù)學(xué)知識、探尋解題的方向和入口，使數(shù)學(xué)思想方法在知識能力的形成過程中共同生成。

案例：《行程問題》（四下）

出示例題：小明和小芳同時從家出發(fā)走向?qū)W校。小明每分鐘走70 米，小芳每分鐘走60 米，經(jīng)過4 分鐘兩人在校門口相遇。他們兩家相距多少米？

師：你能結(jié)合圖，說說小明和小芳兩人上學(xué)時的情景嗎？

生1：小明和小芳兩人是同時從家出發(fā)的。

生2：小明和小芳兩人是面對面地走。

師：兩人面對面地走，這是“相向而行”。

生3：小明和小芳最后在校門口相遇。

師：你能用畫圖的方法來整理題目中的條件和問題嗎？

引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題意畫出線段圖。

師：現(xiàn)在從圖中你能一眼看出題中的條件和問題了嗎？

你能根據(jù)所畫的圖來解決這個問題了嗎？

由于相遇問題是形式化的數(shù)學(xué)模型，問題的結(jié)構(gòu)比較抽象，且涉及運行時間、方向等諸多因素，學(xué)生理解起來有一定的困難。為此，根據(jù)題意畫圖整理題中的條件和問題，并借助直觀圖分析數(shù)量關(guān)系 ，化解了學(xué)習(xí)的難點，從而能幫助學(xué)生順利進行解答。

二、數(shù)形結(jié)合， 理解數(shù)量關(guān)系

實際問題中的數(shù)量關(guān)系是抽象化的，對于一些學(xué)生來說，很難理解題中的數(shù)量關(guān)系，為幫助學(xué)生更好地解答實際問題，提高學(xué)生的解題能力，教師在教學(xué)中可以引導(dǎo)學(xué)生通過畫圖，進行“數(shù)”與“形”的轉(zhuǎn)化，把“看不見”變“看得見”，化抽象的數(shù)量關(guān)系為形象的圖形，從而更好地幫助學(xué)生理解數(shù)量關(guān)系，提升學(xué)生的思維能力。

案例：《畫示意圖》（四下）

出示例題：梅山小學(xué)有一塊長方形花圃，長8 米。在修建校園時，花圃的長增加了3 米，這樣面積就增加了18 平方米。原來花圃的面積是多少平方米？

師：根據(jù)題中的條件和問題，你能想到什么？

生1：花圃的長增加了3 米是什么意思？

生2：要求“原來花圃的面積是多少平方米？”，寬未知，怎么求寬呢？

師：想一想，要把題里數(shù)量之間的關(guān)系看得很清楚，有沒有什么好的辦法？

生：用畫圖的方法，應(yīng)該可以看得更清楚。

師：那就請同學(xué)們試著畫圖吧。

學(xué)生在教師的幫助下畫出了示意圖。

師：你能根據(jù)示意圖分析數(shù)量關(guān)系，確定先算什么嗎？

生1：要求原來花圃的面積，要先算它的寬是多少米。

生2：花圃的長增加了3 米，實際上就是增加了一個寬為3米的小長方形。

生3：原來花圃的寬，就是增加的小長方形的長。

生4：面積增加了18 平方米，就是增加的小長方形的面積。

生5：根據(jù)18 平方米和3 米，可以求出增加的小長方形的長，也就是原來花圃的寬。

這一教學(xué)片斷，通過引導(dǎo)學(xué)生畫示意圖，在分析數(shù)量關(guān)系和解決問題之間架設(shè)起了一座橋梁，學(xué)生從示意圖中直觀地理解了題意，發(fā)現(xiàn)了數(shù)量之間的關(guān)系，從而使抽象的數(shù)學(xué)問題具形化，輕松簡單地解決了問題，同時通過這道題的講解，學(xué)生切實感受到了畫圖的重要作用，對數(shù)形結(jié)合思想在解題中的運用起到了潛移默化的作用。

三、數(shù)形結(jié)合，探索數(shù)學(xué)規(guī)律

學(xué)生的學(xué)習(xí)應(yīng)當是一個生動活潑的，主動的和富有個性的探索和思考的過程。運用數(shù)形結(jié)合的思想方法，有助于學(xué)生探索數(shù)學(xué)規(guī)律。在教學(xué)中，教師要抓住時機，適時引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷知識的形成過程，學(xué)會構(gòu)造模型來直觀描述數(shù)學(xué)問題，從中感悟數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)學(xué)生思維的創(chuàng)造性，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

案例：《轉(zhuǎn)化》（五下）

第一步：讓學(xué)生仔細觀察給出的算式，引導(dǎo)學(xué)生用自己的方式說清楚算式的特點。

第二步：讓學(xué)生嘗試用自己的方法計算出結(jié)果，并要求他們在小組內(nèi)交流各自的計算方法。

第四步：引導(dǎo)學(xué)生將根據(jù)圖形想到的計算方法與自己先前采用的計算方法進行對比 ，說說哪一個更簡便?；仡櫧忸}過程，反思解題方法，讓學(xué)生說說哪個環(huán)節(jié)對自己的啟發(fā)最大。

這一教學(xué)過程，在學(xué)生觀察算式特點后，啟發(fā)他們產(chǎn)生采用非常規(guī)思路進行計算的解題需求，教師適時出示“形”，引導(dǎo)學(xué)生借助圖形的直觀來解決問題?！靶巍钡某霈F(xiàn)，豐富了學(xué)生的表象，引發(fā)了學(xué)生更深層次的思考，他們清晰地發(fā)現(xiàn)了規(guī)律，從而化難為易，把一組連加計算轉(zhuǎn)化成了簡單的減法計算。在此思考過程中，學(xué)生實實在在地感受到了數(shù)形結(jié)合的思想方法對于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的價值。

四、數(shù)形結(jié)合，揭示圖形特點

“形”有其直觀形象的優(yōu)勢，但也有其粗略、不便于表達的劣勢。在教學(xué)中，教師要順勢引導(dǎo)學(xué)生數(shù)形結(jié)合，讓學(xué)生借助數(shù)的優(yōu)勢來彌補形的不足，使學(xué)生在獲得知識的同時，感悟到數(shù)學(xué)思想方法的價值，使數(shù)形結(jié)合的思想方法扎根學(xué)生心中。

案例：三塊邊長都是12 厘米的正方形鐵皮，分別按下圖剪下不同規(guī)格的圓片。剩下的鐵皮面積相等嗎？（五下）

(1)

(2)

(3)

這是一個圖形的面積問題，但是如果我們只從形的角度直觀觀察是無法得到結(jié)果的，即便學(xué)生能猜到結(jié)果，但也是沒有依據(jù)的。因此在教學(xué)中必須引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)的角度，通過計算去加以說明驗證。

圖（1）圓的面積：π×（12÷2）2=36π

圖（2）圓面積之和：π×（12÷2÷2）2×4=36π

圖（3）圓面積之和：π×（12÷4÷2）2×16=36π

這樣，通過計算，學(xué)生對正方形里圓面積之間的關(guān)系有了更加理性和深入的認識，學(xué)生也深刻體會到了數(shù)形結(jié)合思想在解決問題中的有利作用。

數(shù)學(xué)思想方法是溝通知識與能力的橋梁，在課堂教學(xué)中，教師要深入鉆研教材，做教學(xué)的有心人，努力挖掘教材中可以進行數(shù)學(xué)思想方法滲透的各種因素，從學(xué)生發(fā)展的全局著眼，從具體的教學(xué)過程入手，把滲透數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)作為一種有意識的教學(xué)行為，引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中不僅僅滿足于正確知識結(jié)論的獲得，更應(yīng)著力于對知識形成過程的理解，領(lǐng)會蘊涵其中的數(shù)學(xué)思想方法，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。