一維高階非線性晶格鏈中的負(fù)微分熱阻

焦蘇蘋,杜 璁,姜騰飛,左春華,胡 濤

齊魯工業(yè)大學(xué)(山東省科學(xué)院) 電子信息工程學(xué)院(大學(xué)物理教學(xué)部),濟(jì)南 250353

最近二十年,低維體系中的熱輸運(yùn)研究一直受到人們的廣泛關(guān)注。特別是隨著納米材料和納米制備技術(shù)的快速發(fā)展,許多低維材料展現(xiàn)出良好的熱性能,但是關(guān)于低維熱輸運(yùn)的理論尚未完全建立。研究表明,在低維體系中,由于非線性作用的影響,一些體系中存在負(fù)微分熱阻效應(yīng)[1-4]。負(fù)微分熱阻表現(xiàn)為:當(dāng)體系兩端存在溫差時(shí),通過體系的穩(wěn)態(tài)熱流會(huì)隨著溫差的增加而減小。相反,如果通過體系的穩(wěn)態(tài)熱流隨著溫差的增加而增大,則體系具有正微分熱阻。負(fù)微分熱阻效應(yīng)是設(shè)計(jì)熱晶體管[5]、熱邏輯器件[6]的必要條件,這些熱器件可以實(shí)現(xiàn)對(duì)微納熱流的控制。Yang等[1]提出了具有質(zhì)量梯度的一維FPU-β晶格模型,并計(jì)算研究了體系中的熱傳導(dǎo)性質(zhì),結(jié)果顯示,當(dāng)輕粒子端溫度高,重粒子端溫度低時(shí),體系中出現(xiàn)了負(fù)微分熱阻效應(yīng)。一維質(zhì)量梯度FPU-β模型實(shí)際上只考慮了粒子間的四次非線性相互作用。我們注意到,高階非線性相互作用往往會(huì)令晶格體系表現(xiàn)出更豐富的動(dòng)力學(xué)行為,如孤立波、呼吸子[7-8],這些非線性激發(fā)在一定程度上會(huì)對(duì)熱載流子(聲子)產(chǎn)生作用,從而影響其熱輸運(yùn)行為。

本文利用非平衡分子動(dòng)力學(xué)模擬的方法研究了當(dāng)粒子間具有六次非線性作用時(shí),一維質(zhì)量梯度晶格中的熱傳導(dǎo)及負(fù)微分熱阻性質(zhì)。

1 模型與方法

考慮具有質(zhì)量梯度的一維非線性晶格鏈(圖1),體系的哈密頓量可以表示為:

圖1 一維質(zhì)量梯度晶格鏈?zhǔn)疽鈭D

(1)

其中pi、xi和Mi分別表示第i個(gè)粒子的動(dòng)量、位移和質(zhì)量；并設(shè)定粒子質(zhì)量取:

Mi=Mmax-(i-1)(Mmax-Mmin)/(N-1)。

(2)

則質(zhì)量最重的粒子將位于體系的端點(diǎn)處(圖1的左端),其質(zhì)量為Mmax；質(zhì)量最輕粒子將位于體系的另一個(gè)端點(diǎn)處(圖1的右端),質(zhì)量為Mmin；選取:

(3)

表示粒子之間的非線性相互作用,k4、k6分別表示四次非線性和六次非線性的強(qiáng)度,當(dāng)k6=0,k4≠0時(shí),就回到一維質(zhì)量梯度FPU-β晶格鏈。為了在體系中產(chǎn)生熱流,采用兩個(gè)溫度分別為TL和TH的Nosé-Hoover型熱浴,并分別耦合于體系兩端的粒子上；TL和TH分別表示低溫和高溫?zé)嵩〉臏囟?。設(shè)定系統(tǒng)具有固定邊界條件,即x0=xN+1=0。這樣,鏈中粒子的運(yùn)動(dòng)方程可表示為:

(4)

熱浴所滿足的運(yùn)動(dòng)方程分別為:

(5)

(6)

根據(jù)維里定理,單個(gè)粒子的動(dòng)能溫度定義為:

(7)

系統(tǒng)達(dá)到非平衡穩(wěn)定后,流過整個(gè)體系的熱流定義為:

(8)

其中<…>代表系綜平均,參數(shù)a是晶格常數(shù),在本文中取a=1。在計(jì)算過程中,用時(shí)間平均代替系綜平均,微分方程組通過四階龍格庫塔法則進(jìn)行求解,如無特別說明,則Mmax=10、Mmix=1、TH=0.4、n=100。

2 計(jì)算模擬與結(jié)果

首先,固定高溫?zé)嵩〉臏囟?然后分別將高溫?zé)嵩●詈系街亓Ｗ?Mmax)和輕粒子(Mmix)端,通過調(diào)節(jié)低溫?zé)嵩〉臏囟?TL),計(jì)算研究了當(dāng)體系達(dá)到非平衡穩(wěn)態(tài)時(shí),流過體系的平均熱流。結(jié)果顯示,在只有四次非線性勢(shì)(k6=0)或只有六次非線性勢(shì)(k4=0)的情況下,當(dāng)高溫?zé)嵩●詈系街亓Ｗ佣藭r(shí),隨著低溫?zé)嵩囟鹊臏p小(此時(shí)體系兩端的溫差逐漸增大,平均溫度逐漸減小),流過體系的平均熱流都是逐漸增大的,都表現(xiàn)為正微分熱阻 (圖2)。然而,當(dāng)把高溫?zé)嵩●詈系捷p粒子端時(shí),在只有四次非線性勢(shì)(k6=0)或只有六次非線性勢(shì)(k4=0)的作用下,隨著低溫?zé)嵩囟鹊臏p小,流過體系的平均熱流一開始會(huì)隨著溫差的增大而增大,表現(xiàn)為正微分熱阻；當(dāng)?shù)蜏責(zé)嵩囟鹊陀谀骋粶囟葧r(shí),則會(huì)出現(xiàn)平均熱流隨著溫差的增大而減小的情況,即在此區(qū)域表現(xiàn)為負(fù)微分熱阻(圖3),這表明六次非線性勢(shì)同樣可以令體系中出現(xiàn)負(fù)微分熱阻效應(yīng)。此外,從圖3中還可以看出,當(dāng)k4或k6很弱時(shí)(0.1),體系中的非線性效應(yīng)可以近似忽略不計(jì),體系退化為一維質(zhì)量梯度簡(jiǎn)諧晶格鏈,體系中沒有負(fù)微分熱阻效應(yīng)。

注:a)只有四次非線性勢(shì)作用；b)只有六次非線性勢(shì)作用

注:a)只有四次非線性勢(shì)作用；b)只有六次非線性勢(shì)作用

根據(jù)上述結(jié)果,當(dāng)高溫?zé)嵩●詈系街亓Ｗ佣藭r(shí),此時(shí)體系中只有正微分熱阻,我們計(jì)算研究了體系中的平均熱流隨著四次非線性勢(shì)強(qiáng)度或六次非線性勢(shì)強(qiáng)度的變化情況。圖4 a)表明,隨著非線性勢(shì)強(qiáng)度(k4或k6)的增強(qiáng),體系中的平均熱流都會(huì)趨于飽和。但是,當(dāng)高溫?zé)嵩●詈系捷p粒子端時(shí),體系中會(huì)產(chǎn)生負(fù)微分熱阻效應(yīng)。此時(shí),在正微分熱阻區(qū)域,體系中的平均熱流依然會(huì)隨著四次非線性勢(shì)或六次非線性勢(shì)的增強(qiáng)趨于飽和；不過在負(fù)微分熱阻區(qū)域,體系中的平均熱流會(huì)隨著四次非線性勢(shì)或六次非線性勢(shì)的增強(qiáng)而增大，不會(huì)出現(xiàn)飽和的狀態(tài)(圖4 b))。

注:a)高溫?zé)嵩⊥亓Ｗ佣笋詈?；b)高溫?zé)嵩⊥p粒子端耦合

圖5 不同尺寸下的平均熱流隨低溫?zé)嵩L的變化關(guān)系

注:a)只有四次非線性勢(shì)作用；b)只有六次非線性勢(shì)作用

我們還計(jì)算研究了在體系取不同的尺寸時(shí),格點(diǎn)間的六次非線性勢(shì)對(duì)負(fù)微分熱阻的影響程度。此時(shí)高溫?zé)嵩●詈显谳p粒子端,為了方便比較,同時(shí)給出了相同情況下四次非線性勢(shì)對(duì)負(fù)微分熱阻的影響情況。從圖5 a)可以看出,體系的尺寸比較小時(shí),具有六次非線性勢(shì)的晶格鏈中的負(fù)微分熱阻區(qū)域跟相同情況下具有四次非線性勢(shì)的晶格鏈中的負(fù)微分熱阻區(qū)域幾乎一樣,只是具有六次勢(shì)的體系中容許通過的平均熱流較大；但當(dāng)體系的尺寸較大時(shí),從圖5 b)至d)中可以看出,具有六次勢(shì)的晶格鏈中的負(fù)微分熱阻區(qū)域明顯小于只具有四次勢(shì)的晶格鏈中的負(fù)微分熱阻區(qū)域。也就是,當(dāng)體系的尺寸達(dá)到一定值后,晶格間的六次非線性相互作用會(huì)削弱負(fù)微分熱阻效應(yīng)。

為了進(jìn)一步說明負(fù)微分熱阻與系統(tǒng)尺寸之間的關(guān)系,模擬計(jì)算了在只考慮四次勢(shì)和六次勢(shì)時(shí),不同尺寸下體系中的平均熱流隨低溫?zé)嵩〉淖兓€。從圖6 a)中可以看出,在只考慮四次勢(shì)時(shí),負(fù)微分熱阻區(qū)域會(huì)隨著體系尺寸的增加逐漸減少,最終負(fù)微分熱阻趨于消失。其中的黃色豎線表示體系在n=200時(shí),負(fù)微分熱阻出現(xiàn)在TL<0.11的區(qū)域內(nèi),此結(jié)果跟Yang等的研究結(jié)果是一致的[1]；在只考慮六次勢(shì)時(shí),同樣出現(xiàn)負(fù)微分熱阻區(qū)域隨著體系尺寸的增加逐漸減少并最終消失的情況,但是在六次勢(shì)的作用下負(fù)微分熱阻區(qū)域減少得更快。

3 結(jié) 論

綜上所述,本文使用非平衡分子動(dòng)力學(xué)模擬的方法系統(tǒng)地研究了在考慮晶格間的六次非線性相互作用時(shí),一維質(zhì)量梯度晶格體系中的負(fù)微分熱阻效應(yīng)。從結(jié)果來看,在六次勢(shì)的作用下,體系中的負(fù)微分熱阻與只考慮四次勢(shì)作用時(shí)有所不同。此結(jié)果更接近于真實(shí)體系的情況,對(duì)進(jìn)一步設(shè)計(jì)微納熱控制器件有一定理論指導(dǎo)意義。