基于Kramers-Kronig關(guān)系的油紙絕緣直流電導(dǎo)計(jì)算方法

何津, 鄒陽(yáng)

(福州大學(xué)電氣工程與自動(dòng)化學(xué)院, 福建 福州 350108)

0 引言

油紙絕緣作為一種經(jīng)典的復(fù)合絕緣介質(zhì)， 具有絕緣性能良好、 成本低廉、 取材方便等優(yōu)點(diǎn)， 廣泛應(yīng)用于電力系統(tǒng)的變壓器、 絕緣套管等設(shè)備上[1]. 油紙絕緣在運(yùn)行過程中受到電、 熱、 機(jī)械力的作用， 難免發(fā)生老化劣化的現(xiàn)象， 若不及時(shí)處理， 將導(dǎo)致設(shè)備故障， 造成不必要的損失. 目前針對(duì)油紙絕緣狀態(tài)的檢測(cè)方法分為傳統(tǒng)診斷方法和介電響應(yīng)診斷法， 而后者具有攜帶信息量大， 抗干擾強(qiáng)、 無(wú)需吊芯等優(yōu)點(diǎn)， 更適合于現(xiàn)場(chǎng)診斷， 成為研究熱點(diǎn)[2].

介電響應(yīng)診斷法有時(shí)頻域之分， 其中時(shí)域響應(yīng)有回復(fù)電壓法、 極化-去極化電流法， 頻域響應(yīng)有頻域介電譜法. 無(wú)論是時(shí)域還是頻域， 油紙絕緣的介電響應(yīng)譜線都包含豐富的絕緣狀態(tài)信息. 文獻(xiàn)[3]分析了不同絕緣狀態(tài)下回復(fù)電壓最大值、 主時(shí)間常數(shù)和初始斜率等回復(fù)電壓極化特征量的變化規(guī)律； 文獻(xiàn)[4]用極化-去極化電流法測(cè)量了不同服役時(shí)間變壓器的水分質(zhì)量分?jǐn)?shù)， 詳細(xì)地分析了變壓器老化過程與水分質(zhì)量分?jǐn)?shù)的關(guān)系； 文獻(xiàn)[5]發(fā)現(xiàn)隨著絕緣油電導(dǎo)率增加， 低頻域電導(dǎo)損耗特性逐漸向高頻擴(kuò)展， 卻無(wú)法將電導(dǎo)損耗譜線分離出來(lái)； 文獻(xiàn)[6]基于擴(kuò)展德拜等效電路， 驗(yàn)證了最小和最大時(shí)間常數(shù)支路中的RC參數(shù)能反映絕緣紙的老化狀態(tài)， 但其模型參數(shù)的確定具有隨機(jī)性； 文獻(xiàn)[7]基于去極化電流譜， 提出微分解譜法確定擴(kuò)展德拜模型的極化支路參數(shù)， 但無(wú)法確定模型中的絕緣電阻. 以上研究表明， 對(duì)于利用油紙絕緣介電響應(yīng)來(lái)診斷老化狀態(tài)取得一定的成果， 但是還存在對(duì)介電譜信息挖掘不夠深刻， 等效模型中描述電導(dǎo)的參數(shù)無(wú)法唯一確定的問題.

針對(duì)以上問題， 本研究在油紙絕緣樣品FDS測(cè)量數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上， 提出基于Kramers-Kronig關(guān)系的油紙絕緣直流電導(dǎo)計(jì)算方法. 首先， 在實(shí)驗(yàn)室的條件下制備不同水分含量的油紙絕緣樣品， 并利用Dirana介電分析儀測(cè)量其頻域響應(yīng)譜線； 然后， 根據(jù)Kramers-Kronig關(guān)系對(duì)測(cè)量復(fù)極化率實(shí)部譜線進(jìn)行積分， 獲得剔除電導(dǎo)后的弛豫損耗譜線， 進(jìn)而得到電導(dǎo)損耗譜線； 最后， 使用最小二乘法對(duì)電導(dǎo)損耗譜線進(jìn)行擬合， 結(jié)合電導(dǎo)在雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)系的頻域特性， 計(jì)算出電導(dǎo)值， 并驗(yàn)證其正確性.

1 頻域介電響應(yīng)特性分析

1.1 復(fù)電容的實(shí)部和虛部之間的關(guān)系

在交變電場(chǎng)中， 油紙絕緣介質(zhì)同時(shí)存在帶電粒子的轉(zhuǎn)移過程和表面結(jié)合效應(yīng)， 分別導(dǎo)致電導(dǎo)過程以及極化過程. 隨著電場(chǎng)頻率的變化， 極化和傳導(dǎo)過程發(fā)生不同程度的響應(yīng)， 材料中輸出電流的相位和幅度也會(huì)發(fā)生變化. 復(fù)電容是關(guān)于電流和電壓的函數(shù)， 可以反映電荷的傳導(dǎo)和極化[8]， 公式如下：

(1)

其中：I(ω)和U(ω)是響應(yīng)復(fù)電流和施加的復(fù)電壓；C′(ω)和C″(ω)是復(fù)電容C(ω)的實(shí)部和虛部.

此外， 復(fù)電容、 復(fù)介電常數(shù)及復(fù)極化率之間的關(guān)系如下：

(2)

1.2 直流電導(dǎo)與低頻色散區(qū)別

由FDS測(cè)量獲得的實(shí)際介電譜是由極化和電導(dǎo)組成的綜合響應(yīng)， 而電導(dǎo)的頻域特性為：

(3)

上式意味著電導(dǎo)G對(duì)于復(fù)極化率的實(shí)部的貢獻(xiàn)為0， 所以由FDS測(cè)量得到復(fù)極化率實(shí)部不包含電導(dǎo)， 而復(fù)極化率虛部則包含電導(dǎo)損耗和極化損耗兩個(gè)部分， 用以下式子表示：

(4)

由式(3)可以看出， 電導(dǎo)正比于ω-1， 即頻率越低， 電導(dǎo)損耗越大， 這與文獻(xiàn)[9]強(qiáng)調(diào)介電譜虛部低頻段由電導(dǎo)損耗主導(dǎo)一致， 而對(duì)低頻段的極化損耗以及其微觀響應(yīng)機(jī)制的探討較為缺乏[10]， 因此油紙絕緣FDS測(cè)量曲線的具體物理機(jī)制仍存在爭(zhēng)議[11].

文獻(xiàn)[12]在對(duì)數(shù)百種介質(zhì)的介電響應(yīng)研究后發(fā)現(xiàn)， 在低頻范圍存在一種不同于電導(dǎo)的介電現(xiàn)象， 并稱之為低頻色散(low-frequency dispersion, LFD). 低頻色散過程的特征是其復(fù)極化率的實(shí)部和虛部具有很強(qiáng)的分散性. 換而言之， 其復(fù)極化率的實(shí)部與虛部譜線會(huì)隨著頻率的增加而下降[12]， 其表達(dá)式如下：

χ(ω)=A(iω)n-1

(5)

式中：A是常數(shù)， 指數(shù)n小于1. 當(dāng)n較小時(shí)， 意味著響應(yīng)電流隨時(shí)間的變化較為緩慢， 因此可以將其描述為“準(zhǔn)直流電流”(quasi-d.c)[12]. 因此當(dāng)?shù)皖l范圍內(nèi)極化弛豫過程和直流電導(dǎo)過程耦合在一起時(shí)， 低頻色散過程常常被直流電導(dǎo)分量掩蓋， 無(wú)法對(duì)其進(jìn)一步研究， 甚至也有直流電導(dǎo)過程被誤作弛豫過程處理的情況發(fā)生[13]. 然而LFD與真正的直流電導(dǎo)之間的根本區(qū)別在于直流電導(dǎo)并不涉及系統(tǒng)中的任何電荷存儲(chǔ).

2 基于Kramers-Kronig關(guān)系的直流電導(dǎo)計(jì)算步驟

電介質(zhì)的極化率實(shí)部和虛部是由同一個(gè)介質(zhì)的響應(yīng)函數(shù)分離出來(lái)的， 因此兩者之間有不可切割的聯(lián)系， 即Kramers-Kronig關(guān)系. 直流電導(dǎo)過程不產(chǎn)生電荷的存儲(chǔ)， 對(duì)極化率實(shí)部的貢獻(xiàn)為0， 因此， 通過Kramers-Kronig變換由實(shí)部獲得的虛部譜線為剔除直流電導(dǎo)后的極化損耗譜線. 結(jié)合式(4)， 可以進(jìn)一步計(jì)算獲得直流電導(dǎo)損耗譜線.

2.1 Kramers-Kronig關(guān)系

在因果律成立的前提下， Kramers-Kronig關(guān)系可以表示為[14]：

(6)

其中： P.V.表示柯西積分主值；u為奇異點(diǎn)頻率.

從上式可以看出， 某一特定頻率點(diǎn)的復(fù)極化率虛部是由整個(gè)連續(xù)頻率范圍內(nèi)的復(fù)極化率實(shí)部積分而得到， 然而在實(shí)際的測(cè)量中， 受到設(shè)備的限制， 只能獲得有限頻率范圍內(nèi)的離散測(cè)量值. 另外， 在積分的過程中奇異點(diǎn)的存在導(dǎo)致需要用到柯西主值積分的定義， 二者都給計(jì)算帶來(lái)了極大的困難.

2.2 直流電導(dǎo)計(jì)算步驟

圖1 直流電導(dǎo)計(jì)算步驟示意圖

為解決以上問題， 本研究使用最小二乘法對(duì)復(fù)極化率測(cè)量離散點(diǎn)進(jìn)行插值或擬合， 并在最低(高)頻率測(cè)量點(diǎn)處外延一個(gè)數(shù)量級(jí)， 以保證頻率測(cè)量點(diǎn)處計(jì)算得到的剔除電導(dǎo)的復(fù)極化率虛部盡可能準(zhǔn)確； 另外， 對(duì)于奇異點(diǎn)積分， 本研究以奇異點(diǎn)頻率fu附近的兩個(gè)頻率點(diǎn)作為積分上下限， 采用直線對(duì)此區(qū)間的近似曲線進(jìn)行擬合， 最后通過牛頓-萊布尼茨公式進(jìn)行積分計(jì)算.

計(jì)算步驟示意圖如圖1所示. 具體而言， 按照以下步驟來(lái)獲得剔除電導(dǎo)的弛豫損耗譜線以及直流電導(dǎo).

1) 以f1(fN)表示測(cè)量點(diǎn)的最低(高)頻率， 用最小二乘直線對(duì)最低(最高)兩個(gè)或者三個(gè)測(cè)量頻率點(diǎn)進(jìn)行插值或擬合， 如下式所示， 并以辛普森法則計(jì)算積分：

lnχ′(f)=Blnf+C

(7)

式中，B、C表示最小二乘直線系數(shù).

2) 將直線外延一個(gè)數(shù)量級(jí)， 得到χ′(0.1f1)和χ′(10fn). 設(shè)χ′(f)在0.1f1和10fN之外的響應(yīng)均為常數(shù)， 因此會(huì)有額外的貢獻(xiàn)：

(8)

3) 根據(jù)普適弛豫定理， 介電響應(yīng)數(shù)據(jù)在雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)系下通常是非常平滑的， 因此使用拋物線對(duì)剩余測(cè)量點(diǎn)每三個(gè)點(diǎn)之間進(jìn)行插值， 如下式， 并以辛普森法則進(jìn)行積分計(jì)算.

lnχ′(f)=A(lnf)2+Blnf+C

(9)

式中：A、B、C表示插值拋物線系數(shù).

4) 設(shè)奇異點(diǎn)頻率fu附近的兩個(gè)頻率點(diǎn)分別為fu1和fu2， 采用最小二乘直線對(duì)區(qū)間(fu1,fu2)的曲線進(jìn)行擬合， 并計(jì)算積分， 表達(dá)式如下所示：

(10)

式中：a、b表示擬合直線系數(shù).

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

為驗(yàn)證電導(dǎo)計(jì)算方法的正確性， 本研究制作了三組不同含水率的油紙絕緣樣品， 并對(duì)其進(jìn)行FDS測(cè)量. 根據(jù)第2.2節(jié)所述步驟， 對(duì)頻域介電響應(yīng)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析， 最終計(jì)算得到樣品的直流電導(dǎo).

3.1 樣品制備

采用厚度為 1 mm 的普通纖維絕緣紙板和25號(hào)環(huán)烷基礦物油制備用于測(cè)試的油浸紙樣品. 首先， 將絕緣紙板裁剪為多塊 100 mm×80 mm 大小合適的長(zhǎng)方形， 絕緣油分為多組放入可密封玻璃容器中. 接著， 將絕緣紙和絕緣油分別放在105 ℃的恒溫干燥箱中干燥24 h. 然后， 將干燥處理過的絕緣紙樣品放置于高精度電子天平上， 進(jìn)行自然吸潮直至滿足目標(biāo)實(shí)驗(yàn)質(zhì)量. 最后， 將受潮的絕緣紙板浸入絕緣油中48 h， 確保絕緣油充分地浸潤(rùn)紙板空腔， 并將油紙絕緣樣品密封在專用容器中， 以防止水分進(jìn)入. 本次實(shí)驗(yàn)獲取四組油紙絕緣試品的水分含量分別為： 0.244%、 1.58%、 2.77%和 3.63%.

3.2 油紙絕緣樣品的測(cè)量數(shù)據(jù)分析

實(shí)驗(yàn)獲得了頻率范圍在10-3～103Hz之間不同含水率的油紙絕緣樣品復(fù)電容曲線， 如圖2所示.

(a) 復(fù)電容實(shí)部曲線

圖2中不同含水率樣品的復(fù)電容實(shí)部均隨著測(cè)量頻率的升高而減小， 復(fù)電容虛部同樣也是隨著頻率的升高而減小， 但是相較于實(shí)部譜線， 其數(shù)量級(jí)大了1級(jí)， 不同含水率樣品譜線之間的差別更明顯， 因此復(fù)電容虛部對(duì)于水分的敏感度更高. 隨著絕緣紙水分含量的升高， 復(fù)電容實(shí)部和虛部均呈現(xiàn)增大的趨勢(shì)， 在10-3～103Hz的低頻范圍內(nèi)變化明顯. 這是由于低頻段的譜線主要是由與劣化直接相關(guān)的電導(dǎo)和極化損耗組成的[15]： 水分含量增加， 油紙絕緣樣品的電導(dǎo)率增加， 造成電導(dǎo)損耗隨之增加； 另外， 水分增加也對(duì)油紙絕緣樣品中的LFD傳輸過程產(chǎn)生影響[16].

對(duì)于不同水分含量的復(fù)電容實(shí)部測(cè)量數(shù)據(jù)， 分別按照在第2.2節(jié)所述步驟進(jìn)行了插值擬合以及積分計(jì)算， 得到對(duì)應(yīng)的剔除電導(dǎo)后弛豫損耗譜線. 圖3 為不同含水率樣品的測(cè)量復(fù)電容虛部與剔除電導(dǎo)后的復(fù)電容虛部譜線. 由圖3可以看出， 剔除電導(dǎo)后的極化損耗曲線的峰型特征隨著水分增加而逐漸消失. 水作為強(qiáng)極性分子， 含水率增加， 介質(zhì)中的偶極子數(shù)量增加， 不同偶極子之間的排列更加規(guī)律， 因此簇間的耦合作用增強(qiáng)， 損耗峰的低頻側(cè)譜線趨于平坦[17]. 根據(jù)式(4)， 測(cè)量譜線減去極化損耗譜線獲得直流電導(dǎo)損耗譜線， 并通過最小二乘直線對(duì)其進(jìn)行擬合， 如圖4所示.

圖3 測(cè)量復(fù)電容虛部與剔除電導(dǎo)后的復(fù)電容虛部譜線

圖4 直流電導(dǎo)損耗譜線和擬合直線

電導(dǎo)計(jì)算結(jié)果和擬合公式如表1所示， 可以看出在雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)系的斜率均約等于-1， 與直流電導(dǎo)頻域特性相一致， 證明了本研究所提出電導(dǎo)計(jì)算方法的有效性和準(zhǔn)確性.

表1 直線擬合公式和電導(dǎo)計(jì)算結(jié)果

圖5 含水率-電導(dǎo)擬合曲線

從表中可以發(fā)現(xiàn)， 隨著水分含量的增加， 計(jì)算出的電導(dǎo)也隨之增加. 這是由于水分是絕緣紙主要離子來(lái)源[18]， 而形成電導(dǎo)過程的主要原因是電子的勢(shì)壘跳躍運(yùn)動(dòng)[10]： 在施加的電場(chǎng)的作用下， 電子連續(xù)穿過陷阱勢(shì)壘， 最終到達(dá)電極. 當(dāng)油紙絕緣樣品的水分含量增加時(shí)， 參與勢(shì)壘跳躍運(yùn)動(dòng)的離子隨之增加， 因此電導(dǎo)過程增強(qiáng)， 電導(dǎo)增大. 為了更直觀地研究受潮后油紙絕緣樣品的電導(dǎo)飽和特性， 繪制了含水率-電導(dǎo)曲線， 并計(jì)算斜率， 如圖5所示.

由圖5可知， 隨著含水率增加， 含水率-電導(dǎo)曲線的斜率減小， 說(shuō)明油紙絕緣樣品受潮后會(huì)逐漸達(dá)到飽和狀態(tài)， 水分子自身解離出H3O+和OH-以及溶解于水分子的雜質(zhì)離子逐漸達(dá)到最大值， 電導(dǎo)趨于飽和.

4 結(jié)論

本研究在油紙絕緣樣品的頻域測(cè)量介電譜基礎(chǔ)上， 提出了基于Kramers-Kronig關(guān)系的油紙絕緣直流電導(dǎo)計(jì)算方法. 通過對(duì)不同水分含量的油紙絕緣樣品的FDS實(shí)測(cè)譜線的電導(dǎo)計(jì)算， 驗(yàn)證所提出方法的有效性和準(zhǔn)確性. 此外， 利用Kramers-Kronig關(guān)系將復(fù)電容虛部譜線分解得到電導(dǎo)損耗譜線和弛豫損耗譜線， 對(duì)于區(qū)分電導(dǎo)過程和極化過程有重要意義， 為后續(xù)研究低頻范圍的微觀介電響應(yīng)過程奠定基礎(chǔ).