復(fù)雜動力學(xué)網(wǎng)絡(luò)上的基于線性控制下的相繼投影同步

祝曉靜， 李科贊， 丁 勇

(1.桂林電子科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，廣西 桂林 541004;2.桂林電子科技大學(xué) 計(jì)算機(jī)與信息安全學(xué)院，廣西 桂林 541004;3.鵬城實(shí)驗(yàn)室網(wǎng)絡(luò)空間安全研究中心，深圳 518055)

網(wǎng)絡(luò)同步是一種非常普遍且十分重要的非線性現(xiàn)象，已受到數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、生物、醫(yī)學(xué)、工程技術(shù)、信息技術(shù)等領(lǐng)域?qū)W者的廣泛關(guān)注和深入研究[1-5]。網(wǎng)絡(luò)同步在英特網(wǎng)、核磁共振儀、激光設(shè)備、超導(dǎo)材料和通信系統(tǒng)等領(lǐng)域有著廣泛應(yīng)用[6]，涉及到國計(jì)民生和社會經(jīng)濟(jì)的諸多方面，具有十分廣闊的發(fā)展前景。

投影同步是一種重要的同步方式，最初是定義在低維的驅(qū)動響應(yīng)系統(tǒng)之上，并被深入研究。1999年，Mainieri和Rehacek在部分線性系統(tǒng)的耦合系統(tǒng)中，如Lorenz耦合系統(tǒng)和disk dynamo耦合系統(tǒng)，首次發(fā)現(xiàn)了投影同步現(xiàn)象[7]。投影同步指的是驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)的狀態(tài)變量在相差一個比例因子的前提下能趨于同一狀態(tài)。特別地，當(dāng)比例因子為1時，投影同步就是完全同步。利用Lyapunov函數(shù)方法，Li等[8]進(jìn)一步給出了投影同步發(fā)生的充分條件，不過比例因子無法事先確定。為了實(shí)現(xiàn)給定比例因子下的投射同步，Xu提出了一種線性反饋控制策略[9]，其中控制器是追加在驅(qū)動系統(tǒng)之上。

本世紀(jì)初期，隨著網(wǎng)絡(luò)科學(xué)的發(fā)展，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的投影同步受到廣泛關(guān)注和深入研究。2007年，為了研究復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上具有一致比例因子的投影同步問題，Hu等[10]首次將低維的驅(qū)動響應(yīng)系統(tǒng)推廣至高維的驅(qū)動響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)，其中驅(qū)動系統(tǒng)由具有部分線性動力學(xué)特征的單個節(jié)點(diǎn)構(gòu)成，響應(yīng)系統(tǒng)由多個節(jié)點(diǎn)耦合形成的動力學(xué)網(wǎng)絡(luò)(不妨稱為響應(yīng)網(wǎng)絡(luò))，獲得了投影同步判據(jù)和牽制控制方法，不過并未給出受控節(jié)點(diǎn)的選擇方法。Zheng等[11]將驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)都推廣至動力學(xué)網(wǎng)絡(luò)，研究了驅(qū)動網(wǎng)絡(luò)和響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)對應(yīng)節(jié)點(diǎn)之間的投射同步，不過需要控制響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)的所有節(jié)點(diǎn)。近年來，驅(qū)動響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)上的函數(shù)投射同步也是較為關(guān)注的問題[12-13]。如果驅(qū)動響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)局部動力學(xué)不是由部分線性系統(tǒng)來刻畫，并且節(jié)點(diǎn)之間的耦合方式是非線性的，那么投影同步是無法精確實(shí)現(xiàn)的。對于這種情形，在一定的條件下只能實(shí)現(xiàn)弱投影同步[14]，也就是說，雖然無法使得投影同步誤差趨于零，但是可以把它控制在很小的范圍之內(nèi)。近幾年，分?jǐn)?shù)階復(fù)雜動力學(xué)網(wǎng)絡(luò)和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)上的投影同步問題已成為研究熱點(diǎn)問題[15-16]。

通過上述分析，已有的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的投影同步研究存在如下3個問題值得進(jìn)一步探索。首先，比例因子的設(shè)定過于苛刻。在以往研究中，都假定投影同步的比例因子是一致的[10-14]。對于具有非一致比例因子的情形，還未見有相關(guān)研究工作。其次，為了實(shí)現(xiàn)給定比例因子下的投射同步，往往需要追加較強(qiáng)的非線性控制器，并且需要控制網(wǎng)絡(luò)的大部分節(jié)點(diǎn)，甚至所有節(jié)點(diǎn)[11]。從實(shí)際應(yīng)用的角度來看，控制代價過大。

為了解決上述問題，開展了以下主要工作：1)為了實(shí)現(xiàn)相繼投影同步這種具有非一致比例因子的同步方式，構(gòu)建了一類新的驅(qū)動響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)模型。2)制定線性反饋控制策略，將相繼投影同步控制到所期望的狀態(tài)。利用Lyapunov函數(shù)方法，獲得了相繼投影同步的全局穩(wěn)定性條件。結(jié)果表明，只要耦合強(qiáng)度足夠大，那么僅控制響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)中的任意一個節(jié)點(diǎn)，就可以實(shí)現(xiàn)該驅(qū)動響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)上的相繼投影同步。否則，需要控制多個節(jié)點(diǎn)。3)借助數(shù)值仿真分析，檢驗(yàn)了相繼投影同步理論的準(zhǔn)確性。

1 網(wǎng)絡(luò)建模及預(yù)備知識

構(gòu)建如下的驅(qū)動響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)：

(1)

以及

(2)

由上述介紹，驅(qū)動響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)(1)-(2)具有以下特點(diǎn)：(i)響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)中的所有節(jié)點(diǎn)與驅(qū)動系統(tǒng)的狀態(tài)分量x0(t)具有一致的局部動力學(xué)行為；(ii)響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)具有分布式的耦合項(xiàng)；(iii)響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)的耦合方式依賴于節(jié)點(diǎn)的編號和比例因子。當(dāng)比例因子β=1時，驅(qū)動響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)(1)-(2)退化為已有的網(wǎng)絡(luò)模型[10-12]。

定義1(相繼投影同步的全局穩(wěn)定性) 對任意的初始條件xi(0),i=0,1,2,…,n和y0(0)，若驅(qū)動響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)(1)-(2)的解滿足

(3)

其中i=1,2,…,n，則稱相繼投影同步是全局漸進(jìn)穩(wěn)定的。進(jìn)一步，若存在W>0,α>0,t0>0,使得

(4)

對所有的t>t0都成立，則稱相繼投影同步是全局指數(shù)穩(wěn)定的。如果相繼投影同步是全局漸進(jìn)穩(wěn)定的或者全局指數(shù)穩(wěn)定的，則稱驅(qū)動響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)(1)-(2)實(shí)現(xiàn)了全局的相繼投影同步。

本文的主要研究目標(biāo)就是探索簡單高效的控制方法，獲得可靠的網(wǎng)絡(luò)參數(shù)條件，使得驅(qū)動響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)(1)-(2)實(shí)現(xiàn)全局的相繼投影同步，且相繼投影同步到目標(biāo)狀態(tài)x0(t)。為了后續(xù)理論分析的需要，接下來介紹一些預(yù)備知識。

對任意實(shí)方陣G，定義矩陣Gs=(G+GT)/2為G的對稱部分。對于實(shí)對稱矩陣G，不等式G<0表示G是負(fù)定的。設(shè)G為實(shí)對稱n×n矩陣，它的特征值按從小到大排序?yàn)棣薾(G)≤λn-1(G)≤…≤λ1(G)。In為n階單位矩陣。

由文獻(xiàn)[18]的推論4.3.12(242頁)，可得如下引理1。

引理1已知G,H為n階實(shí)對稱矩陣，若H半正定，則λi(G)≤λi(G+H),i=1,2,…,n,其中等號對于某些i成立，當(dāng)且僅當(dāng)H是奇異的，且存在非零向量y使得Gy=λi(G)y，Hy=0，以及(G+H)y=λi(G+H)y同時成立。

引理2已知對稱矩陣A=(aik)∈Rn×n不可約，Rank(A)=n-1，且行和皆為零。記Di(d)為第i個主對角元為d且其它對角元皆為零的n階對角矩陣，其中d≥0。以下結(jié)論成立：

1)A-Dj(d)<0，其中d>0，j=1,2,…,n。 2)對任意j∈{1,2,…,n}，若d>d′≥0，則λi(A-Dj(d))≤λi(A-Dj(d′))，i=1,2,…,n。

3)對任意j,k∈{1,2,…,n}且j≠k,d>0,有λi(A-Dj(d)-Dk(d′))≤λi(A-Dj(d))，其中i=1,2,…,n。

證明1)由文獻(xiàn)[19]知道，λ1(A)=0，λi(A)<0，i=2,3,…,n。由引理1，可知λi(A-Dj(d))≤λi(A)，于是λ1(A-Dj(d))≤0，且λi(A-Dj(d))<0,i=2,3,…,n。從而，只需要證明λ1(A-Dj(d))<0。假設(shè)λ1(A-Dj(d))=0，由引理1，一定存在y≠0，使得Ay=λ1(A)y，且Dj(d)y=0。下面說明，這是矛盾的。一方面，由于A滿足行和為零，由Ay=λ1(A)y=0，可得到特征向量y=α(1,1,…,1)T，其中常數(shù)α≠0。另一方面，由Dj(d)y=0，得到α=0。此矛盾說明λ1(A-Dj(d))<0，從而A-Dj(d)<0。

2)顯然，Dj(d-d′)是半正定的。由引理1，可知λi(A-Dj(d))≤λi(A-Dj(d)+Dj(d-d′))=λi(A-Dj(d′))。

3)Dk(d′)是半正定的。由引理1可知，結(jié)論成立。

引理3[18]對于任意實(shí)對稱n×n矩陣G和H，其特征值滿足λk(G)+λn(H)≤λk(G+H)≤λk(G)+λ1(H)，其中k=1,2,…,n。

2 主要結(jié)論

依定義1，定義相繼投影同步誤差：

ei(t)=x0(t)-βi-1xi(t),i=1,2,…,n。

定理1設(shè)計(jì)如下線性反饋控制器:

ui(t)=cdiei(t),

(5)

式中，反饋增益di≥0,i=1,2,…,n。令U={i1,i2,…,ip}，且di>0,i∈U;di=0,i?U。對任意給定的耦合強(qiáng)度c>0，若存在t0，當(dāng)t>t0時，控制增益滿足

c(A-D(β,d1,d2,…,dn))?Im+In?

Ms(y0(t))<0，

(6)

其中對角陣

則驅(qū)動響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)(1)-(2)的相繼投影同步是全局指數(shù)穩(wěn)定的。

證明在控制法則(5)下，驅(qū)動響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)(1)-(2)的相繼投影同步誤差系統(tǒng)為

cdiei(t)]=M(y0(t))ei(t)-cβi-1diei(t)+

(7)

構(gòu)造如下的Lyapunov函數(shù)：

(8)

沿著誤差系統(tǒng)(7)的軌線，對Lyapunov函數(shù)關(guān)于時間t求導(dǎo)可得

(9)

Ms(y0(t))e(t)+c(A-D(β,d1,d2,…,dn)?

Im]e(t)≤-εeT(t)e(t),

(10)

其中，‘?’為矩陣運(yùn)算中的Kronecker積。不等式(10)兩邊在[t0,t]上積分,可得V(t)≤V(t0)exp{-2ε(t-t0)},表明V(t)=O(exp{-2εt}),從而驅(qū)動響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)(1)-(2)的相繼投影同步是全局指數(shù)穩(wěn)定的。證畢。

注1一般來說，時變的矩陣不等式是難以判斷的。不過對于矩陣不等式(6)，由于系統(tǒng)(1)最終有界，所以只需在其混沌吸引子上判定是否成立。

注2事實(shí)上，定理1給出了牽制節(jié)點(diǎn)的選取方法。這里只需控制第i1,i2,…,ip個節(jié)點(diǎn)，當(dāng)鄰接矩陣、耦合強(qiáng)度和控制增益滿足不等式條件(6)時，就能保證相繼投影同步的全局穩(wěn)定性。 Horn等[18]利用牽制控制方法，研究了網(wǎng)絡(luò)上的投影同步問題，但是并沒有給出受控節(jié)點(diǎn)的選取方法，在應(yīng)用上上面討論控制方法更具可操作性。

事實(shí)上，由引理2的結(jié)論(1)，當(dāng)耦合強(qiáng)度較大時，這里只需要控制任意一個節(jié)點(diǎn)，就能保證相繼投影同步的全局穩(wěn)定性。下面的結(jié)論說明了這一點(diǎn)。

定理2任選i0∈{1,2,…,n}，線性反饋控制器由(5)給出，且滿足di0>0,i=i0；di=0,i≠i0。對任意給定的反饋增益di0>0，若存在t0，當(dāng)t>t0時，耦合強(qiáng)度滿足

(11)

則驅(qū)動響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)(1)-(2)的相繼投影同步是全局指數(shù)穩(wěn)定的。

證明由定理1，只需證明

λ1(In?Ms(y0(t))+

c(A-βi0-1Di0(di0))?Im)<0。

由引理1，以及Kronecker積的性質(zhì)，可知，

λ1(In?Ms(y0(t))+c(A-βi0-1Di0(di0))?

Im)≤λ1(In?Ms(y0(t)))+cλ1((A-

βi0-1Di0(di0))?Im)=λ1(Ms(y0(t)))+

cλ1(A-βi0-1Di0(di0))。

由引理2的結(jié)論(1)，知

λ1(Α-βi0-1Di0(di0))<0。

于是，式(11)成立時，必有

λ1(In?Ms(y0(t))+c(A-βi0-1Di0(di0))?Im)<0。定理得證。

注3由假設(shè)1，當(dāng)t≥t0時，λ1(Ms(y0(t)))必定有界，從而(11)的右邊一定有界。只要耦合強(qiáng)度足夠大，就有(11)成立，也就是說，只需要控制任意一個節(jié)點(diǎn)，就能保證相繼投影同步的全局穩(wěn)定性。對于耦合強(qiáng)度較小的情形，由引理2的結(jié)論(2)，(11)的右邊關(guān)于di0是單調(diào)遞減的，那么可以通過嘗試調(diào)大di0使得式(11)成立。如果足夠大的di0仍然不能夠使得式(11)成立，那么由引理2的結(jié)論(3)，可以在控制第i0個節(jié)點(diǎn)的基礎(chǔ)之上，進(jìn)一步增加受控節(jié)點(diǎn)，來減小λ1(A-D(β,d1,d2,…,dn))，以使(6)滿足，從而保證相繼投影同步的全局穩(wěn)定性。

3 仿真檢驗(yàn)

(12)

其中:參數(shù)σ=10,α=28,b=(8/3)，

f(x0(t),y0(t))=-by3(t)+y1(t)y2(t)，且

(13)

響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)大小為n=5，其耦合矩陣選取為

(14)

計(jì)算得到

λ1(Ms(y0(t)))=

Horn等[18]給出了Lorenz系統(tǒng)(12)的混沌吸引子的球體估計(jì)，在吸引子上一定有

-R1+σ+α≤y0(t)≤R1+σ+α，

λ1(Ms(y0(t)))≤

方便起見，只考慮控制第一個節(jié)點(diǎn)，即U={1}，且設(shè)定控制增益d1=20。計(jì)算得到

λ1(A-D1(d1))=-0.374 3。

由定理2可知，只要耦合強(qiáng)度滿足

c>-14.634/(-0.374 3)≈39.097，

那么在任意的比例因子下相繼投影同步都是全局指數(shù)穩(wěn)定的。定義相繼投影同步的整體誤差為

任意選取初值xi(0)∈[0,1]2，y0(0)∈[0,1]。

當(dāng)設(shè)定c=35，β=2時，圖1給出了同步誤差的變化情況，其中比例因子β=2?？梢娝苎杆偈諗康搅?。圖2給出了各個節(jié)點(diǎn)的相圖，為了區(qū)分，第i個節(jié)點(diǎn)的相圖向下平移了50i，其中i=0,1,…,5?？梢姷趇個節(jié)點(diǎn)和第i+1個節(jié)點(diǎn)剛好相差一個比例β=2。當(dāng)設(shè)定c=35，β=0.5時，圖3給出了同步誤的變化情況。同樣，它能迅速收斂到零。圖4給出了各個節(jié)點(diǎn)的相圖，為了區(qū)分，第i個節(jié)點(diǎn)的相圖向下平移了300i，其中i=0,1,…,5。可見第i個節(jié)點(diǎn)和第i+1個節(jié)點(diǎn)剛好相差一個比例β=0.5。

圖1 相繼投影同步誤差

圖2 網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的相圖

圖3 相繼投影同步誤差

圖4 網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的相圖

4 結(jié)束語

為了實(shí)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)上的相繼投影同步，提出了一類新的驅(qū)動響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)模型。各節(jié)點(diǎn)按照分布式耦合方式進(jìn)行擴(kuò)散耦合，邊的權(quán)重依賴于給定的比例因子和節(jié)點(diǎn)編號。為了使網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)相繼投影同步到目標(biāo)狀態(tài)，分別設(shè)計(jì)了線性反饋控制策略。利用Lyapunov函數(shù)方法和矩陣?yán)碚摚@得了一系列相繼投影同步的全局穩(wěn)定性判據(jù)。結(jié)果表明，當(dāng)耦合強(qiáng)度較大的時候，這里只需要控制響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)中的任意一個節(jié)點(diǎn)，就能保證相繼投影同步的全局穩(wěn)定性；否則，需要控制多個節(jié)點(diǎn)，并且給出了受控節(jié)點(diǎn)的選擇方法。