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    非負(fù)象限權(quán)互補(bǔ)問題的免導(dǎo)數(shù)非單調(diào)光滑牛頓法

    2021-04-23 05:30:36劉文麗遲曉妮李紹剛
    關(guān)鍵詞:收斂性牛頓象限

    劉文麗, 遲曉妮,2,3, 張 璐, 李紹剛

    (1.桂林電子科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,廣西 桂林 541004;2.桂林電子科技大學(xué) 廣西自動(dòng)檢測(cè)技術(shù)與儀器重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,廣西 桂林 541004;3.桂林電子科技大學(xué) 廣西密碼學(xué)與信息安全重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,廣西 桂林 541004)

    非負(fù)象限權(quán)互補(bǔ)問題(wCP)定義為尋找一組向量(x,s)∈Rn×Rn,使得

    (1)

    其中xs=(x1s1,x2s2,…,xnsn)T∈Rn,ω≥0為給定權(quán)向量,f(x):Rn→Rn是連續(xù)可微函數(shù)。若f(x)為線性函數(shù),則對(duì)應(yīng)的權(quán)互補(bǔ)問題是非負(fù)象限線性權(quán)互補(bǔ)問題,否則為非負(fù)象限非線性權(quán)互補(bǔ)問題。由式(1)知,當(dāng)權(quán)向量ω=0時(shí),wCP退化為互補(bǔ)問題(CP)。

    wCP最早由Potra[1]提出。該問題在金融、大氣、化學(xué)等領(lǐng)域有著重要應(yīng)用,如Fisher市場(chǎng)均衡問題[1]及線性規(guī)劃與加權(quán)中心問題[2]等皆可通過建立權(quán)互補(bǔ)問題來求解。雖然帶有非零權(quán)向量的wCP比一般的CP理論更加復(fù)雜,但wCP模型在某些情況下會(huì)提供一個(gè)更有效的數(shù)值解法。目前關(guān)于wCP理論和算法研究已取得了一定的成果。Potra[1]提出了求解非負(fù)象限上單調(diào)線性wCP的2種內(nèi)點(diǎn)算法,并建立了算法的計(jì)算復(fù)雜度。2019年,Gowda[3]研究了歐幾里得約當(dāng)代數(shù)上線性wCP和內(nèi)點(diǎn)系統(tǒng)的共正線性變換。張睿婕等[4]給出一種求解線性wCP的全牛頓步可行內(nèi)點(diǎn)算法,定義了迭代點(diǎn)到中心路徑的鄰近測(cè)度,并證明了算法具有多項(xiàng)式時(shí)間迭代復(fù)雜度。

    光滑牛頓法因其理論上良好的收斂性,被廣泛用于CP的求解[5-8],因此利用光滑牛頓法求解wCP引起了眾多學(xué)者關(guān)注。Zhang[9]運(yùn)用光滑牛頓法求解單調(diào)線性wCP,證明了在適當(dāng)假設(shè)下算法是局部二次收斂的。Tang[10]給出求解線性wCP的光滑方法,并在非嚴(yán)格互補(bǔ)條件下分析了算法的全局和局部二次收斂性。遲曉妮等[11]研究了求解二階錐wCP的光滑牛頓法,證明了算法的全局和局部超線性收斂性質(zhì)。

    針對(duì)非線性方程組問題,Griewank[12]最先提出免導(dǎo)數(shù)搜索技術(shù),該搜索技術(shù)使得算法不依賴于目標(biāo)函數(shù)的雅可比矩陣,但當(dāng)目標(biāo)函數(shù)的范數(shù)和目標(biāo)函數(shù)正交時(shí),該搜索技術(shù)可能會(huì)搜索失敗,因此Li等[13]給出了新的免導(dǎo)數(shù)搜索技術(shù)。免導(dǎo)數(shù)搜索技術(shù)被用于各類優(yōu)化問題的求解[14-16]。最近,Tang等[17]研究了求解圓錐非線性互補(bǔ)問題的光滑牛頓法,采用新的免導(dǎo)數(shù)非單調(diào)線搜索技術(shù),確保了其全局和局部超線性收斂性和二次收斂性。

    基于此,構(gòu)造一個(gè)新的權(quán)互補(bǔ)光滑函數(shù),并分析其性質(zhì),然后基于該函數(shù)將式(1)轉(zhuǎn)化為光滑方程組。結(jié)合文獻(xiàn)[13,17-18]的算法思想,提出求解該方程新的免導(dǎo)數(shù)非單調(diào)光滑牛頓法,在一定條件下證明算法的全局收斂性,并通過數(shù)值算例驗(yàn)證算法的有效性。

    1 光滑函數(shù)及其性質(zhì)

    給定權(quán)向量ω≥0,構(gòu)造式(1)的一個(gè)新光滑函數(shù)Φ(μ,a,b):R×R×R→R:

    (2)

    其中α≥0為實(shí)參數(shù)。若ω=0,易證Φ(μ,a,b)退化為CP的光滑函數(shù)

    若α=0,則Φ(μ,a,b)退化為Chen-Harker-Kanzow-Smale權(quán)互補(bǔ)光滑函數(shù)[10]

    命題1對(duì)任意ω,α≥0,函數(shù)Φ(μ,a,b)滿足如下性質(zhì)。

    1)Φ(0,a,b)是權(quán)互補(bǔ)函數(shù),即

    Φ(0,a,b)=0?a、b≥0,ab=ω,

    (3)

    2)Φ(μ,a,b)處處連續(xù)可微,強(qiáng)半光滑,且若(a,b)≠(0,0),

    否則

    aΦ(μ,a,b)=bΦ(μ,a,b)=0,

    證明由函數(shù)Φ(μ,a,b)的定義和引理5.1[19]知,Φ(μ,a,b)連續(xù)可微且強(qiáng)半光滑,結(jié)合導(dǎo)數(shù)鏈?zhǔn)椒▌t可得2)成立。以下證明1)成立。

    1)必要性顯然成立。設(shè)Φ(0,a,b)=0,根據(jù)a不同取值分情況討論。

    即ab=ω,這與假設(shè)ab-ω<0矛盾,因而該種情況不存在;若ab-ω>0,有

    4(ab-ω)。

    因ab-ω>0,則

    (4)

    由α的任意性知式(4)不成立,故該種情況不存在.

    綜上所述,Φ(0,a,b)=0,當(dāng)且僅當(dāng)a,b≥0且ab=ω成立。證畢。

    (5)

    由式(1)~(3)式知,z*=(μ*,x*,s*)是G(z)=0的解當(dāng)且僅當(dāng)(0,x*,s*)是非負(fù)象限上wCP(1)的解。

    定義1[20]P0矩陣和P0函數(shù)定義如下:

    1)若矩陣N∈Rn×n的所有主子式非負(fù),則N為P0矩陣。

    2)設(shè)函數(shù)F∶Rn→Rn,對(duì)任意x,y∈Rn且x≠y,存在指標(biāo)i0∈{1,2,…,n},使得

    xi0≠yi0,(xi0-yi0)(Fi0(x)-Fi0(y))≥0

    成立,則稱F為P0函數(shù)。

    引理1[20]設(shè)F:Rn→Rn是連續(xù)可微函數(shù),則對(duì)任意x∈Rn,F(x)是P0矩陣當(dāng)且僅當(dāng)F是P0函數(shù)。

    定理1若G(z)如式(5)定義,則以下結(jié)論成立。

    (6)

    其中:

    (7)

    (8)

    i=1,2,…,n。

    2)設(shè)函數(shù)f連續(xù)可微且單調(diào),則G(z)在任意點(diǎn)z(μ,x,s)∈R++×Rn×Rn處非奇異。

    證明由命題1式(2)得式(1)成立。由于f為單調(diào)函數(shù),由定義1式(2)和引理1知,f(x)為P0矩陣,又因D2和D3為負(fù)對(duì)角矩陣,則對(duì)任意μ>0,

    是非奇異的。證畢。

    2 免導(dǎo)數(shù)非單調(diào)光滑牛頓法

    定義

    算法1非負(fù)象限wCP的免導(dǎo)數(shù)非單調(diào)光滑牛頓法

    3)解以下方程組,得搜索方向

    G(zk)+G(zk)Δzk=0。

    (9)

    4)令λk=δmk,mk為滿足

    (10)

    的最小非負(fù)整數(shù),其中:

    Qk+1=ηkQk+1;

    (11)

    (12)

    成立。

    引理3[21]對(duì)任意μ>0,有

    引理4設(shè){μk}為算法1生成的迭代序列,則對(duì)任意k,有μk≥0,且{μk}為遞減序列。

    證明由式(9)知,

    (13)

    假設(shè)μk>0,由引理1和式(13),對(duì)任意λk∈(0,1]有

    μk+1=μk+λkΔμk≥(1-λk)μk≥0。

    又因μ0>0,故μk≥0。再由式(13)得Δμk=e-μk-1≤0,從而

    μk+1=μk+λkΔμk≤μk+λk(e-μk-1)≤μk。

    證畢。

    引理5若函數(shù)f連續(xù)可微且單調(diào),則算法1適定,且對(duì)任意k≥0有H(zk)≤Ck成立。

    證明由定理1和引理4知,G(z)非奇異,故步2)適定。假設(shè)對(duì)任意k有H(zk)≤Ck成立,將式(11)、(12)代入式(10)得

    (14)

    則步3適定。由步3)得

    (15)

    根據(jù)式(12)、(15)有

    (16)

    從而結(jié)合式(16)和H(z0)=C0得H(zk)≤Ck。證畢。

    引理6設(shè){zk}是算法1生成的迭代數(shù)列,則{zk}包含于如下水平集中:

    證明由式(10)、(16)知,

    (17)

    由引理2[13]可得

    (18)

    從而結(jié)合式(17)、(18)得H(zk+1)≤eξH(z0),且顯然H(z0)≤eξH(z0)。證畢。

    3 收斂性分析

    G(z*)+G(z*)Δz*=0。

    (19)

    因?qū)θ我鈑≥0有λk≥0,故考慮以下2種情況:

    G(z*)=0。

    根據(jù)引理5得

    (20)

    對(duì)式(20)兩邊取極限得

    2G(z*)TG(z*)Δz*≥0。

    結(jié)合式(19)有

    0≤G(z*)TG(z*)Δz*=-‖G(z*)‖2≤0,

    即G(z*)=0。證畢。

    4 數(shù)值算例

    運(yùn)用MATLAB R2014在Intel(R) core(TM) i5-5200 CPU 2.7 GHz 4.0 GiB內(nèi)存,Windows 7操作系統(tǒng)的計(jì)算機(jī)上編程。每個(gè)算例均以G(z)≤10-8為算法終止條件,且σ=0.05,μ0=0.01,δ=0.5,ξk=2-k。

    例1對(duì)于wCP式(1),令f(x)=Mx+q,即考慮如下線性非負(fù)象限權(quán)互補(bǔ)問題:

    其中M為P0矩陣,向量q∈Rn。

    隨機(jī)生成向量q∈Rn和矩陣N∈Rn×n,定義M=NTN,x*=5×rand(n,1),s*=Mx*+q,ω*=x*s*。選取初始點(diǎn)x0=rand(n,1),設(shè)s0=Mx0+q。問題規(guī)模n為100~600,取參數(shù)ηk=1/2k+1,且隨機(jī)生成10個(gè)問題進(jìn)行求解。算法1求解不同規(guī)模的線性wCP的數(shù)值結(jié)果如表1所示,其中AIT為平均迭代次數(shù),ACPU為平均CPU時(shí)間,AOBJ為算法終止時(shí)的平均值。

    表1 算法1求解不同規(guī)模的線性wCP的數(shù)值結(jié)果

    由表1可知,算法1可有效求解非負(fù)象限線性wCP,且所需的迭代次數(shù)較少,時(shí)間較短,因而算法性能高效穩(wěn)定。

    例2考慮非負(fù)象限非線性權(quán)互補(bǔ)問題:

    其中f∶R4→R4為連續(xù)可微單調(diào)函數(shù),定義

    實(shí)驗(yàn)所需數(shù)據(jù)按以下方式生成:生成向量x*=rand(n,1),令s*=f(x*)和ω*=x*s*。選取初始點(diǎn)x0=rand(n,1),s0=f(x0),令控制非單調(diào)搜索程度的參數(shù)ηk分別取1/2k+1,1/3k+1,1/4k+1,1/5k+1,數(shù)值結(jié)果如表2所示,其中AOBJ為算法終止時(shí)的值。

    表2 算法1求解不同ηk的非線性wCP的數(shù)值結(jié)果

    由表2可知,算法1能夠有效求解非負(fù)象限非線性wCP問題,收斂速度快,且迭代次數(shù)少。

    5 結(jié)束語

    針對(duì)非負(fù)象限權(quán)互補(bǔ)問題,提出一種免導(dǎo)數(shù)的非單調(diào)光滑牛頓法,并證明了算法的適定性及收斂性,數(shù)值算例表明了算法的可行性和有效性。如何證明本算法的局部收斂性和利用算法解決Fisher市場(chǎng)均衡問題等實(shí)際問題,可作為進(jìn)一步研究的內(nèi)容。

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