基于數(shù)學(xué)史的“拋物線”教學(xué)

【摘 要】針對拋物線教學(xué)中的實際問題，從數(shù)學(xué)史實中尋找教學(xué)啟示，給出使焦點、準(zhǔn)線自然地出現(xiàn)的教學(xué)策略，在計算演繹的過程中推理證明二次函數(shù)的圖象與標(biāo)準(zhǔn)方程下的拋物線同質(zhì)，促進(jìn)了學(xué)生理性思維的發(fā)展。

【關(guān)鍵詞】拋物線的數(shù)學(xué)史;二次函數(shù)圖象;拋物線教學(xué)

【中圖分類號】G633.6? 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A? 【文章編號】1005-6009（2021）11-0013-04

【作者簡介】李昌，南京師范大學(xué)灌云附屬中學(xué)（江蘇灌云，222200）教師，高級教師。

拋物線是中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容，其教學(xué)安排在初高中兩個學(xué)段，高中學(xué)段的教學(xué)又分布于函數(shù)、幾何與代數(shù)兩條主線中，這種分散性使得一些學(xué)生認(rèn)為作為二次函數(shù)圖象的拋物線與解析幾何標(biāo)準(zhǔn)方程的拋物線，二者名字雖相同但并非是相同的曲線。那么，高中階段如何教學(xué)才能避免這種錯誤的認(rèn)識？如何讓拋物線解析定義中的焦點、準(zhǔn)線自然呈現(xiàn)并與二次函數(shù)相關(guān)聯(lián)？教學(xué)取向的數(shù)學(xué)史研究表明，教學(xué)中的這些問題都可以從數(shù)學(xué)史中找到答案或者啟示。因此，教師要了解相關(guān)數(shù)學(xué)史料，選擇合適方式融入教學(xué);合理創(chuàng)設(shè)問題情境，通過計算演繹來推理證明二次函數(shù)圖象是拋物線，促進(jìn)學(xué)生形成正確的認(rèn)知。以下是筆者的做法和思考，同大家交流。

一、拋物線數(shù)學(xué)史實簡述

拋物線起源于圓錐截線，歷史上的名稱為“直角圓錐截線”“齊曲線”。柏拉圖學(xué)派的梅奈克繆斯（Menaechmus）按圓錐頂角的大小將圓錐分為銳角、直角和鈍角三類，用垂直于母線的平面截這些圓錐就得到“梅氏三線”，拋物線是其中的“直角圓錐截線”。阿波羅尼奧斯（Apollonius）發(fā)現(xiàn)在同一圓錐面中通過改變截面位置也能得到“梅氏三線”，其巨著《圓錐曲線論》代表了古希臘演繹幾何的最高成就。他還將希臘幾何學(xué)中的“應(yīng)用”和歐幾里得（Euclid）的“比例”相結(jié)合，通過推理得出橢圓、雙曲線和拋物線的方程。

拋物線的焦點源于其光學(xué)性質(zhì)，拋物面反射鏡能將平行于軸的光線聚集到一點，“焦點”的概念由數(shù)學(xué)家狄俄克利斯（Diocles）在《取火鏡》中提出，拋物線的幾何性質(zhì)以及軌跡定義是由古希臘幾何學(xué)家喜帕普斯（Hipparchus）在《數(shù)學(xué)匯編》中給出。17世紀(jì)解析幾何誕生，數(shù)學(xué)家用代數(shù)的方法重新研究圓錐曲線，法國數(shù)學(xué)家洛必達(dá)（lH?pital）推導(dǎo)了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。

數(shù)學(xué)家對拋物體運(yùn)動軌跡的研究充滿數(shù)學(xué)思維理性，經(jīng)歷了觀察猜想、實驗驗證和理論推理的過程。14世紀(jì)，因?qū)鹋谏涑痰呐袛嗪涂刂菩枰芯啃睊佭\(yùn)動的軌跡，起初人們認(rèn)為軌跡由斜向上的直線段、圓弧、豎直向下的直線段組成。直到17世紀(jì)中期，伽利略（ Galilei）用實驗的方法確定了平拋運(yùn)動的軌跡不是直線而是類似于拋物線或雙曲線抑或是懸鏈線，而后通過實際測量得出：在相等的時間間隔內(nèi)，水平位移相等，而豎直位移與時間的平方成正比。從而通過實驗得出平拋運(yùn)動的軌跡就是阿波羅尼奧斯的齊曲線，理論上的證明則由數(shù)學(xué)家卡瓦列里（Cavalieri）完成。

依據(jù)認(rèn)知發(fā)展的“歷史相似性原理”可以預(yù)見，從拋物線的截線定義到解析定義是學(xué)生認(rèn)知的難點;可以斷定，初中教學(xué)時僅憑模糊的視覺認(rèn)知來確認(rèn)二次函數(shù)的圖象是拋物線的做法符合認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，但不能滿足高中階段學(xué)生的思維發(fā)展需要，不能作為推理的起點。因此，高中階段的教學(xué)應(yīng)該思考如何揭示拋物線的焦點性質(zhì)，如何才能使焦點準(zhǔn)線自然呈現(xiàn)，怎樣融合兩種背景下拋物線數(shù)學(xué)本質(zhì)的一致性，使學(xué)生形成正確的認(rèn)知等問題，筆者的教學(xué)實踐如下。

二、關(guān)于焦點、準(zhǔn)線的教學(xué)

教科書和許多教師在建構(gòu)拋物線解析定義時，采用了開門見山直接了當(dāng)?shù)淖龇?，用信息技術(shù)畫出平面上到定點與到定直線距離相等的點的軌跡，然后建立標(biāo)準(zhǔn)方程，這種辦法雖能使學(xué)生印象深刻，但焦點、準(zhǔn)線空降式地出現(xiàn)顯得突兀，不能與拋物線的截線定義融合。

筆者曾設(shè)想在丹德林（Dandelin）模型中進(jìn)行幾何論證。在丹德林模型中，拋物線的焦點是圓錐截面與球的切點，準(zhǔn)線是母線在球面上的切點形成的平面與圓錐截面的交線。這種做法雖能實現(xiàn)從截線定義到解析定義的自然過渡，也切合知識的邏輯順序，但沒兼顧到知識發(fā)展的歷史順序，而且對教師運(yùn)用信息技術(shù)（幾何畫板、Geogebra）能力、對學(xué)生空間想象能力和推理能力的要求都很高，實踐中有一定難度。

實際教學(xué)時，筆者利用了拋物線的光學(xué)性質(zhì)來揭示焦點準(zhǔn)線和建構(gòu)解析定義。因為光學(xué)性質(zhì)的運(yùn)用如太陽灶、汽車車燈等是學(xué)生熟悉的生活情境，光的反射定律也為學(xué)生熟知。教學(xué)中，先讓學(xué)生思考拋物線型太陽灶的工作原理：把平行于對稱軸的太陽光經(jīng)反射后匯聚于一點，此點即為拋物線的焦點。由光路可逆性，在焦點F處放置點光源，其發(fā)出的光線經(jīng)反射后成為平行光，此為汽車車燈的工作原理。如下頁圖1，現(xiàn)設(shè)想一條光線射到拋物線鏡上的點P1，經(jīng)反射后進(jìn)入人眼，那么“看到”的發(fā)光點在F1處，根據(jù)反射定律可知F1是F的虛像，它們關(guān)于反射面對稱，反射點P1到F和F1的距離相等。若眼睛向下移動，如下頁圖2，人眼通過另一條反射光線“看到”F2處的虛像，這樣，眼睛在移動過程中看到的虛像就排列在一條直線l上，該直線就是拋物線的準(zhǔn)線。若把眼睛的上下移動與入射點P的運(yùn)動對應(yīng)，則動點P到定點F的距離與到定直線l的距離相等，其中F ? l。拋物線解析定義就在對自身視覺的抽象中得以建構(gòu)，焦點準(zhǔn)線和拋物線也自然融為一體，而且還兼顧了知識的歷史順序和學(xué)生的學(xué)習(xí)心理。

三、關(guān)于二次函數(shù)圖象與拋物線統(tǒng)一性的教學(xué)

在初中教授二次函數(shù)時，教師以生活實例如拱橋、噴泉等外形特征來描繪圖象形狀，這是必要的也與學(xué)生認(rèn)知契合。但若以此作為推理的起點則是不妥的，因為學(xué)生并未明白二次函數(shù)圖象是拋物線的理論依據(jù)，獲得的結(jié)論也沒有建立在邏輯推理基礎(chǔ)之上。所以，在高中教授拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程時，有必要創(chuàng)設(shè)問題情境來激發(fā)探究實現(xiàn)演繹證明，筆者的教學(xué)過程如下。

片段1：“拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程”的問題情境。

教師要求學(xué)生寫出一個二次函數(shù)的解析式、畫出圖象、說明形狀。學(xué)生展示后師生對話：“如何知道圖象形狀是拋物線的？”“之前老師告知的?！薄澳軓亩魏瘮?shù)呈現(xiàn)的信息（比如解析式和圖象）找出其滿足拋物線定義嗎？”學(xué)生思索后表示不能，教師追問“如果知道了拋物線哪方面的特征，就能判斷二次函數(shù)的圖象是拋物線呢？”學(xué)生討論后得出“需要知道拋物線焦點和準(zhǔn)線間的代數(shù)關(guān)系，才能驗證二次函數(shù)滿足這種代數(shù)關(guān)系”。教師提出課題：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程——焦點與準(zhǔn)線的代數(shù)關(guān)系。

【設(shè)計意圖】以學(xué)生寫、畫、說等動作喚醒其關(guān)于二次函數(shù)的記憶;通過師生對話引發(fā)認(rèn)知沖突，明確建立拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的現(xiàn)實意義。從圓錐曲線的單元教學(xué)上看，建立拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程雖為教學(xué)重點但不是認(rèn)知難點，因為可以借鑒和參考建立橢圓和雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的過程和方法。所以，從知識體系發(fā)現(xiàn)問題并用解析幾何思想方法解決問題、發(fā)展和完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)才是拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的教學(xué)價值。

片段2：問題探究：證明二次函數(shù)y =? [14]? x2 的圖象是拋物線。

學(xué)生將二次函數(shù)的解析式變形為拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程x2? =? 4y，進(jìn)而求出焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，再依據(jù)定義驗證。教師肯定其合理性，并指出這種從形式到形式的變形掩藏了推理過程中的邏輯鏈接，因此要求學(xué)生“在代數(shù)變形的過程中顯示拋物線的焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程”。

學(xué)生無從下手，教師引導(dǎo)：根據(jù)拋物線定義，說明函數(shù)解析式中隱含了解析定義中的兩個“距離”。因此，代數(shù)變形的方向應(yīng)該與距離公式[（x-m）2+（y-n）2]靠近，注意到與之接近的是（x-m）2+（y-n）2這種形式（記為*），函數(shù)解析式中有這樣的結(jié)構(gòu)嗎？如何變形為這種結(jié)構(gòu)？

生1：由y =? [14]? x2 變形為4y =? x2，出現(xiàn)（x-0）2的形式，是（*）的局部，接下來設(shè)法將4y變成平方的形式，下面的變形還沒有想好。

生2：將4y變形為（y+2）2-（y-2）2，得到（y+2）2-（y-2）2 =? x2，移項即得（y+2）2 = x2 + （y-2）2，再開平方即為[x2+（y-2）2] =│y+2│，滿足定義。

師：很好！將二次項系數(shù)一般化，函數(shù)y =? ax2的（a≠0）圖象是拋物線嗎？

生3：由y =? ax2變形為x2 =? [1a]? ?y =? [4y4a] =（ y +? [14a] ）2 -（ y -? [14a]? ）2，即有[x2+（y-14a）2] =│y+[14a]│，焦點為（0，[14a]），準(zhǔn)線方程為 y =-? [14a]? 。

師：很好！一般形式y(tǒng) =? ax2 +bx+c的拋物線，能找出焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程嗎？

學(xué)生4用配方的方法，但兩分鐘仍未得出結(jié)果，筆者示意觀察配方得出的y -? [4ac-b24a]? = a（ x +? [b2a] ）2 與y =? ax2 形式上的差異性，他豁然明白“整體代換”，令x'= x +? [b2a] ，y '= y -? [4ac-b24a] 即有y' =? ax'2 ，所以焦點為（-? [b2a] ，? [4ac-b2+14a] ），準(zhǔn)線為y =? [4ac-b2-14a]。

【設(shè)計意圖】學(xué)生先將解析式轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程得出焦點和準(zhǔn)線再驗證，這是代數(shù)形式的等價變形，在邏輯上成立，但在思維上有“投機(jī)取巧”之嫌。布爾巴基學(xué)派早就指出，每個數(shù)學(xué)工作者都知道，單是驗證了一個數(shù)學(xué)證明的逐步邏輯推導(dǎo)，卻沒有試圖洞察獲取這一連串推導(dǎo)的背后意念，并不算理解了那個數(shù)學(xué)證明。所以，教學(xué)中有必要要求學(xué)生在代數(shù)變形的過程中顯示拋物線的焦點與準(zhǔn)線，這實際上指出了變形的路徑：尋找符合幾何關(guān)系的代數(shù)結(jié)構(gòu)，是一種深層次的數(shù)形結(jié)合。

需要特別指出，探究活動的順利進(jìn)行與課堂上推導(dǎo)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程時沿用了法國數(shù)學(xué)家洛必達(dá)《圓錐曲線分析》中“和差術(shù)”的示范鋪墊密切相關(guān)。有研究者對比古今中外21套教材，發(fā)現(xiàn)其中10套采用“和差術(shù)”，其步驟如下：

建立如圖3所示的坐標(biāo)系 ，設(shè)動點P（x，y）到定點F（[P2]，0）與定直線l∶x =-? [P2]的距離相等（其中P是大于0的常數(shù)），過點P分別向x軸、定直線l作垂線，垂足分別為R，Q，直線l與x軸的垂足為S。由拋物線定義得PQ=PF，在Rt△PRF中有PF2=PR2 +RF2，所以有PQ2=PR2 +RF2，由PR=y，RF=x -? [P2]，PQ=x +? [P2]得（x +? [P2]）2=? y2 +（x -? [P2]）2，化簡即得 y2 =2px。

筆者以為，洛必達(dá)的“和差術(shù)”是數(shù)形結(jié)合的典范，將線段PF視為Rt△PRF的斜邊，雖然喪失了動點的完備性，但卻直觀地表達(dá)了距離的數(shù)學(xué)本質(zhì);線段PR和PQ長度的對偶表示，賦予了代數(shù)結(jié)構(gòu)的對稱美，對提升學(xué)生興趣、改變“解析幾何就是死算”的偏見具有積極意義。

四、總結(jié)

數(shù)學(xué)知識往往以學(xué)術(shù)形態(tài)呈現(xiàn)在教材中，教學(xué)時需將其轉(zhuǎn)化為教育形態(tài)才能激發(fā)學(xué)生火熱的思考，而將數(shù)學(xué)史融入教學(xué)是實現(xiàn)轉(zhuǎn)化的重要途徑。筆者通過梳理“拋物線”的研究脈絡(luò)，結(jié)合學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和認(rèn)知特點，將數(shù)學(xué)史資源剪接整合，融入問題情境，以提升學(xué)生興趣和促進(jìn)學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)的發(fā)展。當(dāng)然，如何理解和證明拋物線圖形的相似性，如何引入距離的運(yùn)算促進(jìn)圓錐曲線統(tǒng)一定義的形成，如何在拋物線教學(xué)中深化變量幾何的思想方法等問題，還有待于進(jìn)一步的研究與實踐。

【參考文獻(xiàn)】

[1]李大永.基于數(shù)學(xué)思想方法的理解，整體設(shè)計解析幾何的教學(xué)[J].數(shù)學(xué)通報，2016（11）：13-18.

[2]史寧中.數(shù)形結(jié)合與數(shù)學(xué)模型[M].北京：高等教育出版社，2018.

[3]徐章韜，陳林.數(shù)學(xué)命題的認(rèn)識及其課堂教學(xué)設(shè)計[J].課程·教材·教法，2014，34（11）：81-85.

[4]汪曉勤，沈中宇.數(shù)學(xué)史與高中數(shù)學(xué)教學(xué)——理論、實踐與案例[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2020.

[5]陸琳琰.拋物線的發(fā)生教學(xué)研究[D].上海：華東師范大學(xué)，2013.

[6]阿波羅尼奧斯.圓錐曲線論：卷I-IV[M].朱恩寬，等，譯.西安：陜西科技出版社，2007.

（注：本文系第32屆江蘇省“教海探航”征文獲獎文章，有刪改）