高中“解三角形”教學(xué)難點(diǎn)與對(duì)策

顏亞新

【關(guān)鍵詞】解三角形;高中數(shù)學(xué);教學(xué)難點(diǎn)

【中圖分類號(hào)】G633.6? 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A? 【文章編號(hào)】1005-6009（2021）11-0068-02

就高中數(shù)學(xué)的教與學(xué)而言，“解三角形”就是在充分理解正余弦定理的基礎(chǔ)上，運(yùn)用相關(guān)定理和方法去解決與三角形有關(guān)的問題的思維過程，它包括求解三角形的邊長(zhǎng)、角度、周長(zhǎng)和面積以及與三角形相關(guān)的幾何問題，還有與之相關(guān)的實(shí)際應(yīng)用問題。在高中階段，“解三角形”問題往往形式多樣，變化豐富，問題設(shè)置巧妙，知識(shí)交匯較多，這也就必然提升了題目難度，從而使得解決問題的思維方式多變，破解方法也多種多樣。

結(jié)合自身的教學(xué)實(shí)踐和學(xué)生的訪談?wù){(diào)查，除了學(xué)生自身內(nèi)在動(dòng)機(jī)和自我效能感之外，筆者歸納了學(xué)生在學(xué)習(xí)“解三角形”時(shí)常遇到的幾種困難。這里對(duì)相應(yīng)的教學(xué)策略進(jìn)行初步探討，以期拋磚引玉。

1.“角化邊”還是“邊化角”的選擇困難和漏解問題。

筆者根據(jù)學(xué)生作業(yè)的完成情況以及與學(xué)生的訪談，發(fā)現(xiàn)學(xué)生不僅容易出現(xiàn)“角化邊”與“邊化角”的選擇困難，還常出現(xiàn)漏解的問題。例如，已知△ABC內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊是a， b， c，若（a2+b2）sin（A-B）=（a2-b2）sin（A+B），則該三角形的形狀為? 。學(xué)生在解類似題的過程中，會(huì)出現(xiàn)“角化邊”還是“邊化角”的選擇困難，此外還會(huì)出現(xiàn)兩種漏解情況：一是在運(yùn)用“角化邊”時(shí)算得c2（b2-a2）=（b2+a2）（b2-a2），卻誤將關(guān)系式中的（b2-a2）簡(jiǎn)單約去，忽略了a=b的情況;二是在運(yùn)用“邊化角”時(shí)算得sin2B=sin2A，卻只得到2A=2B，漏了A+B=[π2]的情況。

針對(duì)此種情況，要指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行正、余弦定理的推導(dǎo)，幫助學(xué)生真正從數(shù)學(xué)的視角去理解定理，而不是僅僅依靠對(duì)定理公式及其變式的機(jī)械記憶。在證明余弦定理時(shí)，我們除了可以采用向量法，還可以考慮坐標(biāo)法、作高法、正弦定理證明等方法。此外，根據(jù)學(xué)生的解題錯(cuò)誤，要結(jié)合典型例題和變式，及時(shí)強(qiáng)調(diào)這兩種方法中容易出現(xiàn)的漏解問題，幫助學(xué)生厘清可能出錯(cuò)的原因，也給學(xué)生自主感悟和思考的空間。當(dāng)然，教學(xué)中不應(yīng)只是簡(jiǎn)單的口頭強(qiáng)調(diào)，必須要在適當(dāng)?shù)牧?xí)題訓(xùn)練量中予以強(qiáng)化。

2.三角函數(shù)的恒等變換與綜合應(yīng)用問題。

高中的“解三角形”問題一般是有一定綜合性的，不僅是正、余弦定理的應(yīng)用，還會(huì)牽涉三角函數(shù)、三角恒等變換以及平面向量等相關(guān)知識(shí)。例如，已知在銳角△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊是a， b， c，若[ba] + [ab] = 6cosC，則[tanCtanA] + [tanCtanB] 的值是? ?。解決此類問題的關(guān)鍵是切化弦、兩角和的正弦公式及誘導(dǎo)公式。因此，教學(xué)中要選擇并借助典型例題，將相關(guān)知識(shí)進(jìn)行適當(dāng)?shù)摹⒈匾撵柟毯蛻?yīng)用性聯(lián)系，促使學(xué)生形成完整的知識(shí)儲(chǔ)備，引領(lǐng)學(xué)生在解三角形中形成知識(shí)鏈接的意識(shí)和能力。當(dāng)然，需要提醒的是，學(xué)生在三角函數(shù)的化簡(jiǎn)運(yùn)算中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤，我們就要在教學(xué)訓(xùn)練中引起足夠的重視，要盡量避免學(xué)生在解題中“會(huì)而不對(duì)、對(duì)而不全”的現(xiàn)象。

3.正余弦定理的理解與三角形面積范圍問題。

這類問題的共同特征就是已知三角形的一邊及其對(duì)角，求另外兩邊的和、積、平方和的取值范圍（或最值）問題。已知條件相同，求解的問題不同，但解決的方法可以是相同或相似的，而且問題之間是可以相互轉(zhuǎn)化的。這類題型主要是考查“解三角形”中的正弦定理、余弦定理、三角函數(shù)、均值不等式和函數(shù)的值域等內(nèi)容，知識(shí)覆蓋面廣，解法也多樣，能比較全面地考查學(xué)生的數(shù)學(xué)基本素養(yǎng)。在這類問題的解法教學(xué)中，可以引導(dǎo)學(xué)生從多個(gè)角度去進(jìn)行解法的探究，如利用正弦定理，可以化邊為角，從而轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的值域問題;利用余弦定理，建立其某些變量之間的等量關(guān)系，再利用基本不等式去求解;充分利用數(shù)形結(jié)合思想，通過三角形的面積進(jìn)行適當(dāng)轉(zhuǎn)化;結(jié)合余弦定理，轉(zhuǎn)化為利用三角形的中線去求解;利用向量數(shù)量積（基底思想）進(jìn)行解三角形問題的解答;等等。

4.“解三角形”的數(shù)學(xué)建模與實(shí)際應(yīng)用問題。

在這類實(shí)際應(yīng)用問題的解答中，學(xué)生往往在讀題審題、數(shù)學(xué)運(yùn)算方面存在問題，但更深層次的原因是數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模意識(shí)和能力的欠缺。《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》指出，高中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析六個(gè)方面。其中數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)是指對(duì)現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題，用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型并解決問題。數(shù)學(xué)建模是運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)去解決社會(huì)生產(chǎn)和生活實(shí)際問題的基本手段，是促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)理解的有效路徑，也是推動(dòng)數(shù)學(xué)科學(xué)發(fā)展的不竭動(dòng)力。就高中“解三角形”問題而言，教師需要選擇一些較易理解和較易進(jìn)行數(shù)學(xué)建模的問題，引導(dǎo)學(xué)生在真實(shí)的情境中從三角形的視角去抽象認(rèn)知、提出問題，運(yùn)用數(shù)學(xué)思維去分析實(shí)際問題、建構(gòu)認(rèn)知模型，使用“解三角形”的代數(shù)和幾何知識(shí)的視角去尋找條件差異、確定解題方法，進(jìn)行邏輯縝密、計(jì)算嚴(yán)謹(jǐn)?shù)那蠼膺^程，運(yùn)用合理的數(shù)學(xué)方法去檢驗(yàn)自己的解題結(jié)果，以此再嘗試去改進(jìn)和優(yōu)化已有思維模型，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培育。

（作者單位：江蘇省吳江中學(xué)）