單縫衍射測量不同直徑細(xì)絲的誤差分析研究

王麗光，朱長明，孔文婕

(廣西師范大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，廣西 桂林 541004)

1 引言

1.1 單縫衍射

光具有沿直線傳播、折射、反射、波動(dòng)等多種特性，而衍射是光波動(dòng)性的重要體現(xiàn)，也是光波在傳播過程中的重要屬性之一。現(xiàn)階段，光的衍射在我們學(xué)習(xí)生活和科學(xué)發(fā)展中得以廣泛應(yīng)用，例如：根據(jù)DNA 分子衍射圖樣得出DNA 結(jié)構(gòu)是雙螺旋結(jié)構(gòu)。在1962 年沃森、克里克和威爾金斯三人因此研究成果獲得了共同獲得了諾貝爾生理學(xué)或醫(yī)學(xué)獎(jiǎng)。我們無可否認(rèn)衍射現(xiàn)象對生物學(xué)界的重要貢獻(xiàn)，在科學(xué)研究中有著舉足輕重的地位。大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中，當(dāng)遇到不可直接測量的微小變化量時(shí)，可以利用單縫衍射法測量微小量，例如測量單縫寬度、細(xì)絲直徑亦或是激光波長。

單縫衍射是指光在傳播過程中遇到障礙物時(shí)會(huì)繞過障礙物繼續(xù)傳播到障礙物的幾何陰影區(qū)域，并在觀察屏呈現(xiàn)出光強(qiáng)分布不均勻的衍射圖樣[1]。單縫衍射通常分為兩類：夫瑯禾費(fèi)衍射、菲涅爾衍射。本文對夫瑯禾費(fèi)衍射測量不同金屬細(xì)絲直徑進(jìn)行簡要介紹，并對實(shí)驗(yàn)結(jié)果及誤差進(jìn)行分析。

1.2 實(shí)驗(yàn)誤差

實(shí)驗(yàn)過程中導(dǎo)致誤差出現(xiàn)的因素有很多，性質(zhì)上分為系統(tǒng)誤差、隨機(jī)誤差及過失誤差。容易理解的是過失誤差是指由于操作不當(dāng)、外界因數(shù)干擾等原因而造成實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)結(jié)果明顯失真，這是可以避免的一類誤差。

系統(tǒng)誤差是指在相同實(shí)驗(yàn)條件下測量相同物理量時(shí)，保持恒定或以可預(yù)知方式變化的測量誤差分量，又稱規(guī)律誤差。通常來源于儀器誤差、理論誤差、個(gè)人誤差。系統(tǒng)誤差不可避免，但產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的主要原因可以從實(shí)驗(yàn)條件等方面得出，并設(shè)計(jì)出新的改進(jìn)方案來降低系統(tǒng)誤差[2]。

隨機(jī)誤差，俗稱偶然誤差，它是指測量結(jié)果與同一待測量的多次測量的平均結(jié)果之差。隨機(jī)誤差的產(chǎn)生因素錯(cuò)綜復(fù)雜，任何外界或內(nèi)部的影響都可能導(dǎo)致隨機(jī)誤差的產(chǎn)生。大多測量結(jié)果其數(shù)值都會(huì)服從正態(tài)分布規(guī)律，從中可獲取絕對誤差δ和標(biāo)準(zhǔn)誤差ζ，并運(yùn)用貝塞爾法對標(biāo)準(zhǔn)誤差ζ進(jìn)行估算，得出近似標(biāo)準(zhǔn)偏差取而代之，而算數(shù)平均值也隨實(shí)驗(yàn)次數(shù)增多而具有離散性，定義用表示其標(biāo)準(zhǔn)偏差。與系統(tǒng)誤差相同的是隨機(jī)誤差也只可降低不可避免。

1.3 不確定度

不確定度是測量過程中產(chǎn)生的各種誤差使得測量結(jié)果而不被肯定的程度。它含有多個(gè)分量，按統(tǒng)計(jì)性質(zhì)劃分，可以分為A 類不確定度分量和B 類不確定度分量[3]。A 類不確定度來源于隨機(jī)誤差，它可以用統(tǒng)計(jì)規(guī)律來計(jì)算，即

它與算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差一致；而B 類不確定度與系統(tǒng)誤差有關(guān)聯(lián)，它不符合統(tǒng)計(jì)規(guī)律，通常用儀器的標(biāo)準(zhǔn)誤差來衡量，即uB=，最后最后得出合成不確定度為u=。

2 實(shí)驗(yàn)原理及測量方法

2.1 單縫衍射實(shí)驗(yàn)原理

夫瑯禾費(fèi)單縫衍射要滿足從光源到狹縫的入射光為平行光，從狹縫傳播到接收屏的出射光也是平行光，可利用兩個(gè)透鏡來觀察衍射現(xiàn)象，一個(gè)透鏡置于光源與狹縫之間，另一個(gè)透鏡則置于狹縫與接收屏之間。如圖1 所示，在透鏡L1的焦平面上置一波長為λ的單色光源S，經(jīng)透鏡L1射出垂直于寬度為d的狹縫的平行光，若d很小，根據(jù)惠更斯-菲涅耳原理，同一波面任一面元均可視為一新的次波源，再由這些次波在空間傳播并于某位置相遇而產(chǎn)生相互干涉疊加，從透鏡L2出射后，可以在處于透鏡L2焦平面的接收屏上看到一組平行于狹縫且明暗相間的衍射條紋，其特點(diǎn)為中央明條紋最亮最寬，在其兩側(cè)分布的則是較弱的明暗相間的條紋[4-5]。

圖1 單縫衍射

根據(jù)菲涅爾半波帶法得出在Ik點(diǎn)出現(xiàn)亮條紋的條件是

在Ik點(diǎn)出現(xiàn)暗條紋的條件是

假設(shè)透鏡L2距離觀察屏為?時(shí)，第k級亮條紋與衍射圖樣中心的距離為Rk，則，由于φ是極小角，存在 sinφ≈tanφ，根據(jù)式（2-1）可得：

根據(jù)巴比涅定理，同為互補(bǔ)障礙物的細(xì)絲與狹縫產(chǎn)生相同衍射圖樣，即可用縫寬的測量方法測量細(xì)絲直徑[6]。如圖2 所示，產(chǎn)生暗條紋的條件是

圖2 細(xì)絲產(chǎn)生的衍射

同理，θ角極小，sinφ≈tanφ，根據(jù)式（2-4）可得細(xì)絲直徑

式中L為細(xì)絲到測微目鏡的距離，為暗紋間距。

2.2 單縫衍射測量細(xì)絲直徑的實(shí)驗(yàn)裝置及測量方法

為了得到更為準(zhǔn)確的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，這里采用了激光光源，相比其他普通光源，它的高亮度可以使圖像更清晰，有利于觀察。在激光器后加一個(gè)擴(kuò)束鏡來減小發(fā)散角，使激光光束變?yōu)槠叫泄馐?。將狹縫1 調(diào)節(jié)至一定寬度就可獲得一條線光源，用于產(chǎn)生一級衍射；若在測微目鏡中觀察到的衍射圖樣暗淡模糊，無法較為準(zhǔn)確地辨別出明暗條紋交界線，就可以調(diào)節(jié)狹縫1 的寬度獲得適當(dāng)?shù)墓鈴?qiáng)；用狹縫2 遮住狹縫1 衍射光一側(cè)一級以上的衍射條紋，使最亮的零級光照在細(xì)絲上；遮光條用于擋住細(xì)絲產(chǎn)生的衍射條紋中的零級條紋，避免測量時(shí)受零級強(qiáng)光的影響；測量衍射暗紋間距S由測微目鏡讀取獲得；米尺用于讀出細(xì)絲到測微目鏡的距離L。實(shí)驗(yàn)中激光束須平行光學(xué)平臺(tái)上的水平米尺，并在光學(xué)元件等高共軸后才能進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，并利用式（2-5）計(jì)算細(xì)絲直徑d。

圖3 單縫衍射測量細(xì)絲直徑的實(shí)驗(yàn)裝置

圖4 實(shí)驗(yàn)裝置實(shí)物圖

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果的誤差及不確定度分析

利用單縫衍射對6 根不同直徑細(xì)絲進(jìn)行多次測量求平均，得出相關(guān)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如表1～表6。

表1 細(xì)絲1 的直徑測量 mm

表2 細(xì)絲2 的直徑測量 mm

表3 細(xì)絲3 的直徑測量 mm

表4 細(xì)絲4 的直徑測量 mm

表5 細(xì)絲5 的直徑測量 mm

表6 細(xì)絲6 的直徑測量 mm

3.1 系統(tǒng)誤差

在此實(shí)驗(yàn)中，系統(tǒng)誤差導(dǎo)致實(shí)驗(yàn)結(jié)果不精確是不可避免的。在理論因素上有實(shí)驗(yàn)方法的不完善所導(dǎo)致的誤差；在儀器設(shè)備上有來源于儀器本身的缺陷或精度不高而導(dǎo)致的誤差，例如利用讀數(shù)顯微鏡獲取數(shù)據(jù)信息存在著不精確性；在環(huán)境因素上，由于這是一個(gè)光學(xué)實(shí)驗(yàn)，對外界環(huán)境的遮光有著極高的要求，不絕對遮光也會(huì)影響實(shí)驗(yàn)結(jié)果，從而產(chǎn)生誤差。

3.2 隨機(jī)誤差

本實(shí)驗(yàn)中各種微小變動(dòng)都會(huì)引起隨機(jī)誤差，比如，改變光學(xué)元器件間距時(shí)引起的變動(dòng)，外界環(huán)境的變動(dòng)，在肉眼讀取讀數(shù)顯微鏡中刻度尺上數(shù)據(jù)的變動(dòng)等，這些因素最終導(dǎo)致測量值在平均值上下變動(dòng)，而與之對應(yīng)的差值即為測量的隨機(jī)誤差。根據(jù)算術(shù)平均值公式，可以進(jìn)一步求出用單縫衍射測量細(xì)絲直徑的精度，如表7 所示。

表7 單縫衍射測量不同細(xì)絲直徑精度

3.3 不確定度

表8 測量不同細(xì)絲直徑的不確定度

4 結(jié)論

利用單縫衍射測量細(xì)絲直徑能獲得更高精度，相比于傳統(tǒng)的螺旋測微器法測量，前者可精確到0.0001mm，后者精確到0.001mm。通過誤差分析研究表明，在利用單縫衍射測量細(xì)絲直徑實(shí)驗(yàn)中，實(shí)驗(yàn)結(jié)果的不確定度與細(xì)絲直徑密切相關(guān)。細(xì)絲直徑更細(xì)的情況下，測量值的不確定度更小，測量結(jié)果更準(zhǔn)確；反之在細(xì)絲直徑較粗的實(shí)驗(yàn)中，測量值的不確定度更大，實(shí)驗(yàn)結(jié)果更加偏離真值。