基于耦合概率法的空間桿系結(jié)構(gòu)失效概率分析

劉國光， 楊躍敏， 武志瑋

(中國民航大學(xué)機場學(xué)院， 天津 300300)

空間桿系結(jié)構(gòu)的可靠度水平可根據(jù)構(gòu)件安全等級、失效模式和經(jīng)濟因素等綜合確定，而結(jié)構(gòu)失效分析是結(jié)構(gòu)可靠性計算的重要內(nèi)容[1]。通過量化評價不同失效模態(tài)對應(yīng)的結(jié)構(gòu)可靠性，可為結(jié)構(gòu)設(shè)計、安裝施工和結(jié)構(gòu)安全使用提供重要依據(jù)。

結(jié)構(gòu)可靠性研究的核心，是解決存在隨機性條件下結(jié)構(gòu)安全性的科學(xué)度量問題[2]。按照傳統(tǒng)計算理論，概率分析的中心問題是極限狀態(tài)的累積分布函數(shù)計算，不使用數(shù)值積分很難準(zhǔn)確估計故障概率[3]。經(jīng)典的一階可靠性方法(first order reliability method,FORM)[4]和二階可靠性方法(second order reliability method，SORM)[5]都是基于泰勒級數(shù)展開來建立極限狀態(tài)函數(shù)的低階近似方法[6]。近年來，蒙特卡羅法也作為一種經(jīng)典的辦法，常與其改進法進行對比[7]。李會軍[8]討論了空間網(wǎng)格結(jié)構(gòu)失效過程中的可靠度與敏感度的關(guān)系，提出了材料非線性和初始缺陷對結(jié)構(gòu)可靠度的影響。文獻[9]為量化預(yù)測結(jié)構(gòu)在不同失效模態(tài)下的失效概率區(qū)間，利用移除桿件法及結(jié)構(gòu)應(yīng)變能敏感度分析了空間桿系結(jié)構(gòu)桿件群的魯棒性。文獻[10]基于結(jié)構(gòu)剛度變化率對六角星型穹頂結(jié)構(gòu)在階躍荷載作用下的破壞過程進行了理論和實驗研究。

結(jié)構(gòu)失效具有一定的隨機性，但又存在一定的區(qū)間變量。在結(jié)構(gòu)可靠性界限理論中，二次二階矩可靠性指標(biāo)計算方法被普遍應(yīng)用，利用位移插值函數(shù)及級數(shù)展開，對網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)提出合理的缺陷幅值來分析結(jié)構(gòu)整體穩(wěn)定性[11]。在此基礎(chǔ)上，基于結(jié)構(gòu)極限狀態(tài)曲面的內(nèi)包絡(luò)面，進而通過計算包絡(luò)面的失效概率確定結(jié)構(gòu)的可靠性界限區(qū)間[12]。文獻[13]推導(dǎo)了基于聯(lián)合分布函數(shù)直接積分法的串聯(lián)系統(tǒng)聯(lián)合失效概率上限值計算公式，然而，目前國內(nèi)外研究大多針對單階和二階失效概率，而對高階耦合復(fù)雜空間桿件結(jié)構(gòu)研究較少，涉及高階失效時公式復(fù)雜，應(yīng)用性較低。

為進一步研究多種失效模式下桿系結(jié)構(gòu)的耦合失效概率來評價結(jié)構(gòu)可靠度，完善結(jié)構(gòu)失效的上、下界值，利用應(yīng)力變化率法和桿件移除法相結(jié)合來評價單元桿件失效模態(tài)的相關(guān)系數(shù)，現(xiàn)通過間接積分法建立一種計算空間桿系結(jié)構(gòu)耦合失效概率的新方法。并通過六角星型穹頂結(jié)構(gòu)的模型破壞實驗，結(jié)合泰勒展開法進行對比分析，總結(jié)耦合概率法在理論分析結(jié)果中的可靠性和先進性。

1 耦合概率法

三階耦合概率法是基于所有單階失效概率、所有二階共失效概率和所有三階共失效概率共同考慮，并在窮舉組合得到失效概率基礎(chǔ)上推導(dǎo)而來的。

1.1 桿件可靠性指標(biāo)

為體現(xiàn)單元桿件的可靠性對結(jié)構(gòu)整體可靠度的影響，引入β確定單元桿件可靠性指標(biāo)。結(jié)構(gòu)失效概率取決于其功能函數(shù)Z的分布形式，一般情況下，假定Z服從正態(tài)分布，即Z～N(μZ,σZ)。通過變換Y=(Z-μZ)/σZ,可將Z轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)的正態(tài)分布變量Y～N(0,1)。由數(shù)學(xué)概率密度函數(shù)和累積分布函數(shù)得

(1)

式(1)中：Pf為耦合失效概率函數(shù)；μZ為平均值；σZ為標(biāo)準(zhǔn)差。

由正態(tài)分布曲線可知，可以用σZ度量原點O到μZ的距離，因此將單元桿件的可靠性指標(biāo)定義為無量綱數(shù)β，即

(2)

因此，結(jié)構(gòu)失效概率可表示為

Pf=1-Φ(β)

(3)

1.2 桿件相關(guān)系數(shù)

當(dāng)結(jié)構(gòu)發(fā)生動力失穩(wěn)時，總應(yīng)變能發(fā)生突變，對應(yīng)單元桿件的應(yīng)變能會突然跳躍到一個相對較大值，而應(yīng)力向量σ是一個有界向量。因此，如式(4)所示，當(dāng)桿件應(yīng)力變化率dσ突然跳躍到一個相對較大值時，由此可判定桿件發(fā)生動力失穩(wěn)或多個桿件發(fā)生局部失穩(wěn)[14]。

(4)

式(4)中：σi為第i個荷載步下的應(yīng)力；σj為第j個荷載步下的應(yīng)力，且i=j+Δt；Δt為應(yīng)力采樣周期。

將其與桿件移除法相結(jié)合，在移除某單元桿件后，分析剩余單元桿件受力過程中的應(yīng)力變化率，再通過歸一化可最終確定各單元重要性系數(shù)λi[15]。該方法是用于計算單元桿件重要性系數(shù)指標(biāo)的高效、簡便方法。

定義ρ12=ρ[M1,M2]是正態(tài)分布M1、M2的相關(guān)系數(shù)；λi定義為對應(yīng)第i個失效模式的重要性系數(shù)，且ρij=λiλj，即耦合相關(guān)系數(shù)為

(5)

1.3 耦合失效概率

在復(fù)雜桿系結(jié)構(gòu)中往往存在獨立變量和相關(guān)變量，結(jié)構(gòu)的功能函數(shù)可表示為

(6)

由于結(jié)構(gòu)存在多子系統(tǒng)情況，失效極限狀態(tài)滿足正態(tài)空間分布后，原空間構(gòu)成的極限失效概率曲面不再是單一的曲面，而是由兩個邊界面Pmaxg(β,λ)=0 和Pming(β,λ)=0構(gòu)成的帶狀體，如圖1所示。

圖1 極限狀態(tài)曲面邊界Fig.1 Boundary of limit-state surfaces

直接求解空間混合子系統(tǒng)失效概率問題十分困難，近似地根據(jù)空間桿系結(jié)構(gòu)受力特點和失效模態(tài)特征，假設(shè)空間桿系結(jié)構(gòu)失效模態(tài)由n個失效模態(tài)(子系統(tǒng))組成，將則桿系結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的失效事件可以表示為

E=E1∪E2∪…∪En

(7)

而系統(tǒng)失效事件E能分解為若干互斥事件，可表示為

(8)

因為概率值為非負(fù)數(shù)，所以

(9)

成立，即系統(tǒng)耦合多階失效的概率區(qū)間下界值。

另一方面，可得到系統(tǒng)多階失效的概率區(qū)間上界值，計算式為

P(E)≤P(E1)+P(E2)-P(E1E2)+

(10)

用式(9)和式(10)即可獲得各類參數(shù)已知的結(jié)構(gòu)多階耦合失效概率，包括單階失效、二階失效和三階失效等。在假定結(jié)構(gòu)失效符合正態(tài)分布的前提下，涉及二階及以上失效計算時，都會出現(xiàn)二重、三重甚至更高階積分形式。因此，通過間接積分法可將二階失效概率和三階失效概率轉(zhuǎn)化為單次積分形式，表示為

(11)

式(11)中：φ(·)為關(guān)于β和λ的一階失效函數(shù)。

(12)

結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的三階耦合失效概率的上下界限可表示為

(13)

當(dāng)階數(shù)增加時，結(jié)構(gòu)失效的上下界閾值寬度會減小，從而能夠滿足不同的可靠度精度要求。在工程結(jié)構(gòu)可靠性分析中，點估計求解功能函數(shù)統(tǒng)計矩時建議求解至前三階矩，改進后的依然可以用到第四階矩，但是精度降低，然而，耦合概率在推廣至四階時，精度提高的同時會大大增加計算冗長，計算表明求解至三階失效已經(jīng)能夠較高精度地確定結(jié)構(gòu)的耦合失效概率。計算流程圖如圖2所示。

圖2 結(jié)構(gòu)失效概率計算流程圖Fig.2 Flow chart of structural failure probability calculation

而泰勒展開依據(jù)矩估計法計算至四階得到的四階矩法的表達(dá)式[16]為

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

1.4 算例分析

假定某桿系結(jié)構(gòu)由五種子系統(tǒng)組成，各子系統(tǒng)對應(yīng)的獨立變量(可靠性指標(biāo))和相關(guān)變量(重要性系數(shù))如表1所示。

表1 子系統(tǒng)基本變量Table 1 Subsystem basic variables

通過式(11)可得二階與一階失效的關(guān)系如圖3所示。

圖3 二階耦合失效概率對比Fig.3 Comparison of first-order and second-order coupling failure probability

通過式(12)可以計算得三階失效概率為P123=0.060 173，P124=0.049 819，P134=0.042 495，P234=0.037 903，P125=0.040 608，P135=0.034 781，P145=0.029 202，P235=0.031 154，P245=0.026 327，P345=0.023 082。

根據(jù)式(13)計算結(jié)構(gòu)耦合失效概率的上下界值為0.24≤Pf≤0.26。

結(jié)果表明，結(jié)構(gòu)耦合失效概率區(qū)間為[0.24, 0.26]，而泰勒四階展開失效概率區(qū)間為[0.228, 0.287]。從數(shù)值可以看出耦合失效概率下界值明顯大于結(jié)構(gòu)其他任何一階、二階、三階失效的概率值。從二階和三階失效概率值可以看出，尤其在一階失效概率較高的情況下，必須要考慮二階和三階的失效概率，如圖3(a)～圖3(c)所示。對比分析可以看出，泰勒展開法得出的結(jié)果對耦合概率法是包含關(guān)系，說明耦合概率法比泰勒展開精度更高。具體包含關(guān)系在下文實驗中得到較好的驗證。

2 結(jié)構(gòu)模型實驗

2.1 結(jié)構(gòu)參數(shù)

如圖4所示，模型實驗結(jié)構(gòu)為六角星型穹頂結(jié)構(gòu)跨度2.6 m，由24根桿件組成，網(wǎng)架由6根0.3 m高的鋼柱支撐，中心節(jié)點高為0.35 m，鋼桿件彈性模量為206 GPa，泊松比為0.3。桿件均采用Q235等截面角鋼∠25×3，截面面積為1.43 cm2，材料密度為7.58 g/cm3。如圖5所示，桿件分為A、B、C三類，其中：桿1～桿6稱為徑向桿(A類)，桿7～桿12稱為環(huán)向桿(B類)，桿13～桿24稱為支座桿(C類)，桿件編號如圖5所示。

圖4 六角星型穹頂結(jié)構(gòu)Fig.4 Hexagonal star dome structure

圖5 六角星型穹頂結(jié)構(gòu)平面圖Fig.5 Plansheet of the hexagonal star dome structure

2.2 實驗方法

基于六角星型穹頂結(jié)構(gòu)對稱性和各單元桿件受力特點，分別移除桿4(A類)、桿8(B類)和桿16(C類)。由于實驗過程中各桿件處于彈性狀態(tài)，可將應(yīng)力變化作為研究結(jié)構(gòu)整體可靠度的參考數(shù)值。因此，在桿1、桿2、桿9、桿11、桿20和桿21上貼應(yīng)變片，記錄實驗過程的桿件應(yīng)變變化。實驗開始后在中央節(jié)點作用一豎向分步集中荷載，從0 s開始每隔15 s加載50 N,實驗開始后連續(xù)加載至結(jié)構(gòu)出現(xiàn)局部失穩(wěn)或強度破壞為止，采樣頻率100 Hz。

3 實驗結(jié)果及分析

3.1 原始結(jié)構(gòu)的破壞模態(tài)分析

原始六角星型穹頂結(jié)構(gòu)在階躍荷載作用下的結(jié)構(gòu)破壞過程中，將所測得的各應(yīng)變片記錄應(yīng)變數(shù)值通過式(4)轉(zhuǎn)化為桿件的應(yīng)力變化率，所得曲線如圖6所示。

圖6 原始結(jié)構(gòu)應(yīng)力變化率Fig.6 Stress change rate of the original structure

在中心節(jié)點施加至675 N時，所有桿件均未出現(xiàn)應(yīng)力大波動。因此外力在[0,675]范圍內(nèi)可視為結(jié)構(gòu)處在線彈性范圍內(nèi)，桿件可靠性存在線性變化。為分析支座桿件可靠性指標(biāo)對結(jié)構(gòu)整體失效概率的影響，考慮在結(jié)構(gòu)未超過使用年限的情況下，假設(shè)支座桿件可靠性指標(biāo)從1.0取值至2.5，分別計算完整結(jié)構(gòu)三階耦合失效概率，如圖7所示。

圖7 原始結(jié)構(gòu)三階耦合失效曲線Fig.7 Third-order coupling failure curve of the original structure

當(dāng)中心節(jié)點處荷載施加至700 N時，所有桿件單元的應(yīng)力變化率均產(chǎn)生顯著變化，其中支座桿20應(yīng)力變化率最大，達(dá)到了1 520，徑向桿2的應(yīng)力變化率達(dá)到了723，此時結(jié)構(gòu)中心徑向桿發(fā)生跳躍失穩(wěn)，其破壞模態(tài)如圖8所示。

圖8 原始結(jié)構(gòu)破壞圖Fig.8 Failure of the original structure

支座桿件在結(jié)構(gòu)破壞瞬間承受了徑向桿件群局部失效所引起的內(nèi)力重分布，由于設(shè)計中支座桿件留有足夠安全度，使得桿件可靠性指標(biāo)較高，結(jié)構(gòu)未發(fā)生連續(xù)倒塌破壞，也未發(fā)生多模態(tài)耦合的整體失效。

可見，對于實驗所采用的六角星型穹頂結(jié)構(gòu)，隨著桿件可靠性指標(biāo)增加，結(jié)構(gòu)發(fā)生整體倒塌破壞的概率呈拋物線狀下降。當(dāng)支座桿件可靠性指標(biāo)達(dá)到2.5時，結(jié)構(gòu)整體失效概率低至1%，若按結(jié)構(gòu)安全性95%來控制結(jié)構(gòu)整體失效，將支座桿件可靠性指標(biāo)控制在1.8時，結(jié)構(gòu)經(jīng)濟性較好。

3.2 構(gòu)件移除后分析

移除徑向桿4后，在階躍荷載作用下，結(jié)構(gòu)破壞過程中各應(yīng)變片記錄的桿件應(yīng)力變化率曲線如圖9所示。

圖9 移除桿4后結(jié)構(gòu)應(yīng)力變化率曲線Fig.9 Curve of structural stress change rate after removing rod 4

當(dāng)中心節(jié)點處荷載施加至600 N時，各桿件單元的應(yīng)力變化率隨著下級荷載施加均產(chǎn)生顯著變化，其中環(huán)向桿11應(yīng)力變化率最大，達(dá)到了320，徑向桿20的應(yīng)力變化率達(dá)到了146。環(huán)向桿件在結(jié)構(gòu)破壞瞬間主要承受了徑向桿件群局部失效所引起的內(nèi)力重分布。移除結(jié)構(gòu)一根內(nèi)徑桿造成結(jié)構(gòu)破壞的極限荷載由710 N降低到了630 N，降低幅度達(dá)到11.2%，受力整體性削弱嚴(yán)重，發(fā)生跳躍失穩(wěn)，其破壞模態(tài)如圖10所示，說明保證結(jié)構(gòu)的完整性對結(jié)構(gòu)的安全性至關(guān)重要。

圖10 移除桿4后結(jié)構(gòu)破壞圖Fig.10 Structural damage after removing rod 4

但是，結(jié)構(gòu)仍具有較高的可靠性指標(biāo)，未發(fā)生整體破壞。但結(jié)構(gòu)發(fā)生整體破壞的可能性依然存在，其三階耦合概率法與泰勒展開法上下界限值隨荷載步的變化情況如圖11所示。

圖11 移除桿4后結(jié)構(gòu)三階耦合失效曲線Fig.11 Comparison of structural failure curves after removing rod 4

在階躍荷載下，兩種方法失效概率趨勢相同，相比之下，耦合概率法得出的失效概率閾值更小，耦合概率法完全置于泰勒展開法所求的失效帶中。由于實驗在分步荷載下進行，結(jié)構(gòu)的失效應(yīng)力變化出現(xiàn)跳躍現(xiàn)象，但是從失效概率趨勢圖中能夠在下級荷載造成的應(yīng)力突變前獲得失效概率激增，當(dāng)荷載施加至550 N時，失效概率均表現(xiàn)出激增態(tài)勢，因此，可實現(xiàn)在不破壞結(jié)構(gòu)形態(tài)的前提下，預(yù)測結(jié)構(gòu)的承載能力。

同理可得在結(jié)構(gòu)分別移除環(huán)向桿和支座桿件后的結(jié)構(gòu)應(yīng)力變化圖，如圖12、圖13所示。

圖12 移除桿8后結(jié)構(gòu)應(yīng)力變化率曲線Fig.12 Curve of structural stress change rate after removing rod 8

圖13 移除桿16后結(jié)構(gòu)應(yīng)力變化率曲線Fig.13 Curve of structural stress change rate after removing rod 16

從圖12可以看出，當(dāng)中心節(jié)點處荷載施加至540 N時，結(jié)構(gòu)各桿件發(fā)生劇烈應(yīng)力變化，其中環(huán)向桿11應(yīng)力變化率最大，達(dá)到了467，支座桿20的應(yīng)力變化率達(dá)到了422，計算可得，結(jié)構(gòu)整體可靠性下降20%，此時結(jié)構(gòu)中心徑向桿發(fā)生跳躍失穩(wěn)。從應(yīng)力變化圖中也可看出，部分環(huán)向桿發(fā)生了應(yīng)力拉壓變換，從而實現(xiàn)內(nèi)力的重分布，發(fā)生局部失穩(wěn)后，還能維持結(jié)構(gòu)整體穩(wěn)定性。

圖14 移除桿8、16后結(jié)構(gòu)三階耦合失效曲線Fig.14 The third-order coupling failure curve of the structure after removing the rods 8 and 16

對比前三次實驗的應(yīng)力變化率曲線，觀察圖13(b)(中心節(jié)點處荷載施加300～460 N)可知，各桿件單元的應(yīng)力變化率出現(xiàn)不穩(wěn)定變化。從實驗現(xiàn)象可知，隨荷載增加持續(xù)變大，在達(dá)到最大值后未發(fā)生結(jié)構(gòu)破壞，而是持續(xù)跳躍平衡。當(dāng)結(jié)構(gòu)進入階段2后，應(yīng)力出現(xiàn)劇烈變化，荷載接近550 N時，結(jié)構(gòu)耦合失效概率的上下界值區(qū)間為[0.26, 0.33]。如圖14所示，隨后失效概率激增，結(jié)構(gòu)發(fā)生整體倒塌。對比其他桿件移除后的結(jié)構(gòu)失效概率，表明支座桿對結(jié)構(gòu)耦合失效概率影響最大，結(jié)構(gòu)由單階失效模態(tài)控制(局部壓桿的跳躍失穩(wěn))轉(zhuǎn)變?yōu)槎嚯A失效模態(tài)控制(整體倒塌)，耦合失效概率的理論計算結(jié)果同結(jié)構(gòu)模型實驗現(xiàn)象一致。

4 結(jié)論

通過應(yīng)力變化率法和桿件移除法計算桿系結(jié)構(gòu)單元桿件失效模態(tài)的相關(guān)系數(shù)，初步建立了一種可計算桿系結(jié)構(gòu)失效概率、預(yù)測桿系結(jié)構(gòu)失效模態(tài)和量化評價結(jié)構(gòu)可靠度的耦合概率法。利用該方法，可獲得不同結(jié)構(gòu)失效模態(tài)對應(yīng)的失效概率區(qū)間，進而通過量化比較預(yù)測結(jié)構(gòu)可靠性及對應(yīng)的失效模態(tài)。

(1)利用單元桿件的應(yīng)力變化率，對結(jié)構(gòu)施加相應(yīng)的荷載步，在單元桿件應(yīng)力變化率發(fā)生突變的同時，結(jié)構(gòu)的三階耦合失效概率也發(fā)生了突變，驗證了耦合失效概率法的準(zhǔn)確性。

(2)六角星型穹頂結(jié)構(gòu)模型破壞性實驗現(xiàn)象表現(xiàn)為：移除徑向桿及環(huán)向桿后，結(jié)構(gòu)失效模態(tài)為跳躍失穩(wěn)；移除支座桿件后，結(jié)構(gòu)失效模態(tài)為整體失穩(wěn)。結(jié)果表明，支座桿件決定著結(jié)構(gòu)的整體穩(wěn)定性。當(dāng)降低支座桿件設(shè)計安全裕度時，結(jié)構(gòu)發(fā)生整體失效的概率顯著上升。此概率值可作為量化評價結(jié)構(gòu)安全性和結(jié)構(gòu)經(jīng)濟性的指標(biāo)。對本結(jié)構(gòu)模型，支座桿件可靠性指標(biāo)為1.8時，可達(dá)到可靠度95%的經(jīng)濟最優(yōu)化設(shè)計目標(biāo)。

(3)通過耦合概率法量化計算不同荷載步下結(jié)構(gòu)的三階耦合失效概率可知，結(jié)構(gòu)發(fā)生整體失效的概率隨荷載步增加不斷變大，在結(jié)構(gòu)破壞前失效概率會出現(xiàn)激增。該結(jié)論可為空間桿系結(jié)構(gòu)施工及使用階段的健康監(jiān)測提供新的技術(shù)方案。