隨機(jī)振動疲勞試驗的小裂紋擴(kuò)展分析方法

張允濤，宋少偉，王 珺

(液體火箭發(fā)動機(jī)技術(shù)重點實驗室，陜西 西安 710100)

0 引言

振動環(huán)境下的疲勞失效是液體火箭發(fā)動機(jī)推進(jìn)劑管路等結(jié)構(gòu)的一種典型失效模式，其主要特征是共振疲勞及累積疲勞損傷。目前，工程領(lǐng)域處理振動疲勞問題以疲勞分析方法為主，鮮有采用斷裂力學(xué)方法進(jìn)行分析的完整范例。基于斷裂力學(xué)的裂紋擴(kuò)展分析方法是結(jié)構(gòu)疲勞耐久性分析的另一種途徑，在飛機(jī)結(jié)構(gòu)的壽命評估和損傷評定方面取得了顯著成效，為液體火箭發(fā)動機(jī)管路等結(jié)構(gòu)的振動疲勞分析提供了很好的借鑒。

工程結(jié)構(gòu)的裂紋擴(kuò)展分析以線彈性斷裂力學(xué)應(yīng)用最為廣泛，該方法以裂紋頂端的應(yīng)力強(qiáng)度因子(stress intensity factor，SIF)

K

為主要表征參量，適用于小范圍屈服條件下的宏觀長裂紋問題。根據(jù)實驗室經(jīng)驗，液體火箭發(fā)動機(jī)管路等結(jié)構(gòu)的振動疲勞總壽命受裂紋萌生階段的小裂紋(也稱為短裂紋)主導(dǎo)。小裂紋通常指長度小于1～2 mm的裂紋，眾多研究表明，裂紋長度在10 μm～1 mm的小裂紋階段的擴(kuò)展行為與同種材料的長裂紋擴(kuò)展行為存在明顯的差異。在相同的名義應(yīng)力強(qiáng)度因子范圍Δ

K

的作用下，小裂紋的擴(kuò)展速率高于長裂紋，并且在低于長裂紋擴(kuò)展門檻值Δ

K

的情況下小裂紋仍能擴(kuò)展，即所謂的“小裂紋效應(yīng)”。因此，使用長裂紋試驗得出的裂紋擴(kuò)展數(shù)據(jù)對小裂紋階段的壽命作預(yù)測會導(dǎo)致偏危險的結(jié)果。Newman和吳學(xué)仁等的研究發(fā)現(xiàn)，裂紋閉合現(xiàn)象是導(dǎo)致長裂紋與小裂紋擴(kuò)展行為差異的主要原因。采用Newman塑性致閉模型，通過考慮裂紋尖端后方尾跡區(qū)的殘留塑性變形，并引入裂紋尖端前緣的三維約束效應(yīng)，用等效應(yīng)力強(qiáng)度因子Δ

K

對長裂紋d

a

/d

N

-Δ

K

進(jìn)行修正后可拓展應(yīng)用到自然萌生的小裂紋擴(kuò)展階段。

本文對某型液體火箭發(fā)動機(jī)管路接頭模擬件的隨機(jī)振動疲勞試驗進(jìn)行研究，基于小裂紋理論進(jìn)行了疲勞裂紋擴(kuò)展分析，開展了小裂紋三維有限元應(yīng)力強(qiáng)度因子計算、疲勞應(yīng)力譜、裂紋擴(kuò)展速率曲線修正以及裂紋擴(kuò)展計算程序等內(nèi)容研究，初步形成了隨機(jī)振動疲勞的小裂紋擴(kuò)展分析方法和流程。

1 試驗簡介

某型發(fā)動機(jī)降溫器燃料出口管路接頭隨機(jī)振動疲勞試驗的試驗件形式見圖1和圖2所示，考核部位在管路外壁

R

區(qū)，倒角半徑15 mm，倒角前后管路壁厚分別為1.25 mm和1.75 mm，管路材料為1Cr18Ni9Ti，試驗件一階固有頻率約375 Hz，隨機(jī)振動試驗的頻率范圍320～430 Hz，激勵譜型為白譜，控制響應(yīng)譜的RMS(均方根值)見表1。試驗件底部與連接底板焊接而成，底板通過螺栓與振動臺固定連接。試驗時，在

R

區(qū)附近沿軸向黏貼了應(yīng)變片，并在試驗件頂部布置加速度傳感器。根據(jù)加速度傳感器的響應(yīng)確定隨機(jī)振動輸入量級，試驗中監(jiān)測傳感器的響應(yīng)變化，當(dāng)加速度RMS出現(xiàn)明顯下降時，停止試驗。試驗結(jié)束后，在

R

區(qū)進(jìn)行著色，通過目視檢查可觀察到沿管路周向擴(kuò)展的裂紋，如圖3所示。表1給出了本次試驗的主要結(jié)果。

圖1 試驗件結(jié)構(gòu)形式Fig.1 Geometric structure of test specimen

圖2 疲勞試驗考核部位Fig.2 Assessment site in fatigue test

圖3 試驗件典型開裂模式Fig.3 Typical cracking mode of test specimen

表1 試驗結(jié)果

2 裂紋擴(kuò)展分析

2.1 應(yīng)力強(qiáng)度因子

小裂紋擴(kuò)展分析的首要條件是高精度的應(yīng)力強(qiáng)度因子求解。應(yīng)力強(qiáng)度因子

(1)

式中:

β

為無量綱因子，與結(jié)構(gòu)形式、載荷類型以及裂紋的幾何形狀有關(guān)；

σ

為遠(yuǎn)場應(yīng)力，文中根據(jù)試驗測量結(jié)果得到，詳見下節(jié)；

a

為裂紋長度。小裂紋沿深度和長度方向均處于明顯的三維應(yīng)力狀態(tài)，需要進(jìn)行三維應(yīng)力強(qiáng)度因子求解。采用常規(guī)的有限元方法計算時，裂紋尖端的網(wǎng)格細(xì)化程度要求很高，單元尺寸從結(jié)構(gòu)整體網(wǎng)格向裂紋尖端局部網(wǎng)格過渡時變化劇烈，為了保證計算精度，劃分網(wǎng)格時需要剖切細(xì)化區(qū)域或者減小整體網(wǎng)格尺寸大小，網(wǎng)格劃分難度較大。本文使用FRANC3D三維斷裂力學(xué)分析軟件(試用版)進(jìn)行應(yīng)力強(qiáng)度因子計算，該軟件可以模擬任意類型的裂紋和載荷形式，采用了

M

積分等高精度后處理計算方法，適用于小裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子計算。FRANC3D采用整體模型與局部模型結(jié)合的方法劃分單元網(wǎng)格，能夠有效控制整體網(wǎng)格大小，使裂尖局部網(wǎng)格尺寸滿足計算精度要求。根據(jù)本文試驗結(jié)果，假設(shè)裂紋萌生于

R

區(qū)與管路外表面相切處，初始裂紋形式為半圓形表面裂紋，裂紋長度

a

和深度

c

均為0.01 mm。為簡化計算，假設(shè)裂紋擴(kuò)展長度和深度方向尺寸比值

a

/

c

=1保持不變。裂紋幾何模型如圖4所示，圖4中

φ

為給定裂紋長度和深度時裂紋面上第

i

個計算點到管路外表面的角度，

θ

為裂紋面總的展開角度。裂紋穿透管路壁厚以后變?yōu)榇┩感土鸭y。圖5給出了裂紋長度為1 mm時的有限元模型，在裂紋擴(kuò)展區(qū)域有限元網(wǎng)格明顯細(xì)化，裂紋面為半圓形，裂紋前緣劃分了51個計算點，假定遠(yuǎn)場名義應(yīng)力為100 MPa進(jìn)行計算，得到了裂紋前緣各計算點的應(yīng)力強(qiáng)度因子隨裂紋長度

a

的變化結(jié)果，如圖6所示。可以看出，靠近管壁表面的應(yīng)力強(qiáng)度因子比管壁內(nèi)部的應(yīng)力強(qiáng)度因子要大，同時，隨著裂紋長度的增加，裂紋越深，應(yīng)力強(qiáng)度因子沿前緣各點的這種規(guī)律越明顯。

圖4 裂紋幾何模型Fig.4 Geometric model of crack

圖5 有限元模型Fig.5 Finite element model

圖6 表面裂紋前緣的應(yīng)力強(qiáng)度因子Fig.6 Stress intensity factor at the front edge of surface crack

試驗中各試件的裂紋擴(kuò)展最終長度約30 mm，因此，給定裂紋擴(kuò)展范圍從0.01 mm到15 mm計算應(yīng)力強(qiáng)度因子。圖7給出了裂紋面最外層計算點(

φ

=0)的應(yīng)力強(qiáng)度因子隨裂紋長度

a

的變化曲線，該點的應(yīng)力強(qiáng)度因子參與最終計算。試驗應(yīng)力強(qiáng)度因子的具體實現(xiàn)過程是將有限元計算的應(yīng)力強(qiáng)度因子

K

和計算中施加的遠(yuǎn)場名義應(yīng)力

σ

代入式(1)，得到各裂紋長度下的無量綱因子

β

，該無量綱因子與試驗測量的循環(huán)應(yīng)力再次代入式(1)得到試驗應(yīng)力強(qiáng)度因子。

2.2 疲勞應(yīng)力譜

試驗應(yīng)力強(qiáng)度因子計算的另一關(guān)鍵環(huán)節(jié)是疲勞應(yīng)力譜，也就是應(yīng)力循環(huán)的確定。選取試驗的實測應(yīng)變數(shù)據(jù)，對時域應(yīng)變數(shù)據(jù)進(jìn)行雨流計數(shù)(rain-flow cycle counting method)得到疲勞應(yīng)變循環(huán)，將應(yīng)變循環(huán)轉(zhuǎn)換為應(yīng)力循環(huán)后進(jìn)行應(yīng)力強(qiáng)度因子和裂紋擴(kuò)展壽命計算。本試驗的應(yīng)變采樣頻率為4 096 Hz，對每個試驗件，截取10 s的采樣數(shù)據(jù)作為原始應(yīng)變譜，共40 960個數(shù)據(jù)點，雨流后得到應(yīng)變循環(huán)形成一個載荷譜塊。假設(shè)考核部位的場應(yīng)力為單向應(yīng)力狀態(tài)，忽略剪應(yīng)力和彎曲應(yīng)力的影響，則考核部位應(yīng)力

σ

=

Eε

式中：

E

為材料彈性模量；

ε

為實測軸向應(yīng)變，即得到疲勞應(yīng)力譜塊。

圖7 應(yīng)力強(qiáng)度因子隨裂紋長度的變化曲線Fig.7 Stress intensity factor with crack length

圖8給出了疲勞應(yīng)變循環(huán)均值

ε

=(

ε

+

ε

)/2及幅值

ε

=(

ε

-

ε

)/2的分布圖，色譜代表出現(xiàn)次數(shù)。整體來看，各試件的疲勞應(yīng)變循環(huán)集中在零均值附近，非對稱循環(huán)的出現(xiàn)次數(shù)較少。圖9和圖10分別給出了各級疲勞應(yīng)變循環(huán)的峰值和幅值的發(fā)生頻次，可看作應(yīng)變峰值和幅值的概率密度，由圖可見，對于本試驗的窄帶隨機(jī)激勵，應(yīng)變循環(huán)的峰值呈現(xiàn)為倒鐘形的正態(tài)分布，而應(yīng)變循環(huán)的幅值則近似服從瑞利分布。疲勞損傷主要取決于疲勞循環(huán)載荷的幅值，結(jié)構(gòu)在隨機(jī)激勵下的應(yīng)力或應(yīng)變響應(yīng)的幅值概率分布必然與外激勵、結(jié)構(gòu)動特性等有關(guān)，因此，不能簡單地假設(shè)某一種概率分布作為結(jié)構(gòu)隨機(jī)振動疲勞分析的通用模型。

試驗中各試件疲勞試驗時間(即疲勞裂紋擴(kuò)展壽命)相對于10 s采樣數(shù)據(jù)足夠長，且認(rèn)為10 s采樣數(shù)據(jù)能夠較充分地描述整個裂紋擴(kuò)展壽命內(nèi)的疲勞應(yīng)力的隨機(jī)特征，因此，本文將10 s采樣數(shù)據(jù)經(jīng)雨流后的疲勞應(yīng)力循環(huán)作為一個平均譜塊施加在整個裂紋擴(kuò)展范圍內(nèi)進(jìn)行計算，不再考慮譜塊內(nèi)各級應(yīng)力循環(huán)的先后次序?qū)α鸭y擴(kuò)展壽命影響。

圖8 應(yīng)變循環(huán)均值與幅值分布圖Fig.8 Mean value and amplitude distribution of strain cycle

圖9 應(yīng)變循環(huán)峰值發(fā)生頻次Fig.9 Occurrence number of strain cycle peak

圖10 應(yīng)變循環(huán)幅值發(fā)生頻次Fig.10 Occurrence number of strain cycle amplitude

2.3 da/dN-ΔK裂紋擴(kuò)展速率曲線

使用應(yīng)力強(qiáng)度因子進(jìn)行小裂紋擴(kuò)展壽命計算時，必須選擇合適的裂紋擴(kuò)展速率曲線，并對裂紋擴(kuò)展速率曲線進(jìn)行參數(shù)修正以適用于小裂紋擴(kuò)展計算。金屬材料裂紋擴(kuò)展速率曲線d

a

/d

N

-Δ

K

的典型形式如圖11所示，通常將曲線劃分為三個區(qū)域：近門檻區(qū)、穩(wěn)態(tài)擴(kuò)展區(qū)和失穩(wěn)擴(kuò)展區(qū)。在長裂紋擴(kuò)展的近門檻值區(qū)，小裂紋的擴(kuò)展速率會比長裂紋的相應(yīng)速率高很多，因此，使用長裂紋d

a

/d

N

-Δ

K

進(jìn)行小裂紋裂紋擴(kuò)展分析時，必須對近門檻值擴(kuò)展曲線進(jìn)行修正，以避免非保守的計算結(jié)果。本文采用NASGRO裂紋擴(kuò)展速率公式進(jìn)行計算，其表達(dá)式為

(2)

式中：

C

、

n

、

p

、

q

為材料常數(shù)；

f

為裂紋張開函數(shù)；

R

為應(yīng)力比；Δ

K

=

K

—

K

為應(yīng)力強(qiáng)度因子變程；Δ

K

為應(yīng)力強(qiáng)度因子門檻值；

K

為材料斷裂韌度。

f

函數(shù)由Newman裂紋閉合理論給出，具體公式見文獻(xiàn)[18]。

圖11 小裂紋及長裂紋擴(kuò)展行為[19]Fig.11 Growth behavior of small crack and long crack[19]

對疲勞小裂紋，在NASGRO裂紋擴(kuò)展速率公式中通過修正應(yīng)力強(qiáng)度因子門檻值Δ

K

予以考慮。對不同的應(yīng)力比，Δ

K

的表達(dá)式為

(3)

(4)

其中

根據(jù)文獻(xiàn)[20]數(shù)據(jù)，并通過參數(shù)修正，本文使用的材料裂紋擴(kuò)展參數(shù)如表2所示。

表2 裂紋擴(kuò)展速率參數(shù)

2.4 裂紋擴(kuò)展計算程序

從d

a

/d

N

-Δ

K

的表達(dá)式可見，裂紋擴(kuò)展壽命計算是一個積分過程。實際計算中，將裂紋擴(kuò)展增量設(shè)置為一個步長小量Δ

a

，在每個步長內(nèi)計算裂紋擴(kuò)展壽命Δ

N

，對從初始裂紋到臨界裂紋的整個擴(kuò)展長度內(nèi)的Δ

N

進(jìn)行累加就得到總的裂紋擴(kuò)展壽命，通常按循環(huán)接循環(huán)的方法進(jìn)行計算。本文使用一種快速裂紋擴(kuò)展計算方法，具體流程如圖12所示，在Excel中輸入計算公式即可實現(xiàn)。

圖12 裂紋擴(kuò)展計算流程Fig.12 Calculation process of crack growth

首先，將給定的裂紋擴(kuò)展長度范圍

a

到

a

分成

n

個區(qū)間，對每一個裂紋長度

a

，依次計算應(yīng)力譜塊(共有

m

個循環(huán)應(yīng)力)中第

j

個循環(huán)應(yīng)力對應(yīng)的裂紋擴(kuò)展速率d

a

/d

N

,，得到

m

×

n

個裂紋擴(kuò)展速率值；然后，將每一個裂紋長度下

m

個裂紋擴(kuò)展速率相加，得到裂紋長度

a

對整個應(yīng)力譜塊的裂紋擴(kuò)展速率d

a

/d

N

，并計算每一個裂紋擴(kuò)展增量區(qū)間[

a

-1,

a

]對整個應(yīng)力譜塊的平均循環(huán)次數(shù)

N

；最后，將

a

到

a

的

n

個裂紋擴(kuò)展區(qū)間的平均循環(huán)次數(shù)相加，得到總的循環(huán)次數(shù)

N

，即為最終總的裂紋擴(kuò)展壽命。本文計算中，一個應(yīng)力譜塊代表10 s時間，應(yīng)力譜塊共循環(huán)了

N

次，則裂紋擴(kuò)展壽命按時間表示為10

N

s。對本次試驗6個有效斷裂試驗件按上述方法進(jìn)行計算，裂紋擴(kuò)展壽命結(jié)果見表3，可以看出，試驗件的應(yīng)變響應(yīng)(以RMS為表征)越大，裂紋擴(kuò)展壽命越短，這與經(jīng)典的Miner疲勞損傷累積理論是一致的，即結(jié)構(gòu)承受的疲勞應(yīng)力水平越高，其疲勞損傷越嚴(yán)重，因而壽命越短。不同的是，在疲勞計算的Miner方程中，壽命

N

直接根據(jù)損傷計算得到，而在裂紋擴(kuò)展計算中，壽命

N

由裂紋循環(huán)擴(kuò)展并累加得到。

表3 裂紋擴(kuò)展壽命計算結(jié)果

圖13給出了裂紋擴(kuò)展長度隨裂紋擴(kuò)展壽命(時間)的變化曲線，顯然，裂紋擴(kuò)展壽命的絕大部分時間為小于1 mm的小裂紋擴(kuò)展階段，長裂紋階段的穩(wěn)定擴(kuò)展壽命很短，因此，對該類管路結(jié)構(gòu)進(jìn)行疲勞和損傷容限設(shè)計時，重點考慮使用疲勞極限強(qiáng)度較高、裂紋擴(kuò)展速率較低的材料，使結(jié)構(gòu)在小裂紋階段有足夠長的緩慢擴(kuò)展壽命，從而保證結(jié)構(gòu)在隨機(jī)振動環(huán)境下的疲勞強(qiáng)度更好地滿足設(shè)計使用要求。

圖13 裂紋擴(kuò)展長度隨時間的變化Fig.13 Crack growth length with time

3 結(jié)論

通過對某型發(fā)動機(jī)管路接頭的隨機(jī)振動疲勞試驗開展基于小裂紋的裂紋擴(kuò)展分析，主要結(jié)論如下：

1)采用FRANC3D(試用版)可實現(xiàn)小裂紋的有限元網(wǎng)格劃分和三維應(yīng)力強(qiáng)度因子的精確計算。

2)使用NASGRO裂紋擴(kuò)展公式計算壽命時，通過對長裂紋的d

a

/d

N

-Δ

K

曲線的門檻值進(jìn)行修正，可用于小裂紋的裂紋擴(kuò)展分析。

3)本試驗窄帶隨機(jī)激勵下的應(yīng)變和應(yīng)力響應(yīng)視為零均值過程，疲勞應(yīng)變循環(huán)的雨流峰值和雨流幅值分別近似服從正態(tài)分布和瑞利分布。

4)使用一種疲勞應(yīng)力譜塊平均施加方法進(jìn)行了裂紋擴(kuò)展壽命的快速計算，計算結(jié)果與試驗值吻合較好。本文方法可作為液體火箭發(fā)動機(jī)管路等結(jié)構(gòu)振動疲勞分析的工程參考。