特征標的π-誘導

常學武，李曉娜

（山西大學 數(shù)學科學學院，山西 太原 030006）

0 引言

本文只考慮有限群，特征標定義在復數(shù)域上。為敘述本文的研究問題和背景，我們需要先概述Gajendragadkar[1]引入的兩類重要特征標。

設G為π-可分群，π為素數(shù)集合，χ∈Irr(G)為G的一個不可約復特征標。如果χ(1)為π-數(shù)，并且對G的每個次正規(guī)子群S以及χS的不可約分量θ∈Irr(S)，均有θ的行列式階o(θ)為π-數(shù)，則稱χ為π-特殊的特征標，簡稱為Xπ-特征標，全體記為Xπ(G)。因為G同時也是π'-可分群，故可類似定義π'-特殊的 特征標 ，亦稱 為 Xπ′-特征標，全 體記為Xπ′(G)。

下述乘積定理也許是π-特殊的特征標最為基本而重要的性質，亦可見Isaacs最新教材[2]中定理2.2。

Gajendragadkar乘積定理設G為π-可分群，如果α，α'∈ Xπ(G)，而β，β'∈ Xπ′(G)，則αβ∈Irr(G)，進而，如果還有αβ=α'β'，則α=α'，β=β'。

一般地，如果χ∈Irr(G)存在分解χ=αβ，其中α∈Xπ(G)而β∈Xπ′(G)，則稱χ為G的一個π-可分解的特征標，簡稱為Fπ-特征標。G的所有Fπ-特征標的集合記為Fπ(G)。根據(jù)上述乘積定理，如果χ∈Fπ(G)，則其因子α和β均由χ唯一決定，分別稱之為χ的π-特殊因子和π'-特殊因子。在本文中我們依次記為χπ和χπ'。

目前人們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)和證明了很多關于Xπ-特征標和Fπ-特征標的重要性質和定理，并且獲得了廣泛應用，特別是Isaacs據(jù)此創(chuàng)建了π-特征標的理論。仍設G為π-可分群，其中π為某些素數(shù)的集合，記為G0的G所有π-元素的集合，稱G0上的復值類函數(shù)φ為G的一個π-部分特征標，如果存在G的特征標χ∈char(G)使得φ=χ0為χ在G0上的限制。如果一個π-部分特征標不能寫成兩個π-部分特征標的和，則稱為不可約π-部分特征標，簡稱為Iπ-特征標，全體記為Iπ(G)。根據(jù)著名的FongSwan定理，當π=p'時，則Iπ(G)恰為 IBrp(G)，即不可約的π-部分特征標等同于關于素數(shù)p的Brauer特征標。此類研究可以參考相關文獻[3-8]。

進而，對每個χ∈Irr(G)，Lewis[9]和 Isaacs[10-11]分別構造了共軛唯一的特征標對(W，γ)，滿足γ∈Xπ(W)且γG=χ，稱之為χ的原核。特別地，當γ∈Xπ(W)時，則稱χ為G的一個Bπ-特征標，全體記為Bπ(G)。這是一類非常重要的不可約特征標，不僅可從Xπ-特征標誘導，而且給出了Iπ-特征標的一個典范提升，即特征標的π-限制χ?χ0給出了一個雙射：Bπ(G)→Iπ(G)，據(jù)此可將π-部分特征標的研究提升到復特征標情形。值得指出的是，當2?π時，Dade也定義了一類所謂的Dπ-特征標，并證明了這些特征標也給出了Iπ-特征標的一個典范提升[12]，相關概念見本文第1節(jié)。

注意到Bπ-特征標的構造雖然很困難，但總可以從 Xπ-特征標誘導。1997年 Navarro[13]首先研究了這一類特征標，既χ∈Irr(G)滿足性質χ=γG，其中γ∈Xπ(W)且W≤G，在奇數(shù)階群中發(fā)現(xiàn)了關于Xπ-特征標不可約誘導的新現(xiàn)象，證明了下述三個定理。

Navarro定理A設G為奇數(shù)階群，H是G的子群，并且α∈Xπ(H)使得αG不可約。如果β∈Xπ'(H)，則(αβ)G也是不可約的。

Navarro在該定理的證明中使用了Iπ-特征標的性質，關鍵是建立了下述重要結果。

Navarro定理B設G為奇數(shù)階群，H≤G，α∈Xπ(H)使得αG不可約。如果J≤G且 |H：H∩J|為一個π'-數(shù)，則(αH∩J)G∈Irr(G)。

為了深入探討Navarro定理A中給出的映射是否為單射Xπ′(H)→Irr(G)，β?(αβ)G，Navarro考慮了Bπ-特征標，并在此情形下給出了肯定的解答。

Navarro 定理C設G為π-可分群，χ∈Bπ(G)。如果(H，α)是χ的一個原核且β∈Xπ′(H)，則(αβ)G不可約。進而，如果γ∈Xπ′(H)使得(αβ)G=(αγ)G，則β=γ。

本文的主要目標是分別推廣Navarro上述三個定理，減弱其奇數(shù)階群的條件，在π-可分群中獲得相應的結論。因為Navarro舉例說明上述定理均在π-可分群中未必成立，我們將使用特征標的π-誘導（相關定義和性質見本文第1節(jié)）代替通常的誘導，同樣得到新的不可約誘導現(xiàn)象。本文主要結果如下：

定理A設G為π-可分群且2?π，H是G的子群且α∈Xπ(H)。如果απG是不可約的，任取βXπ′(H)，則(αβ)πG也是不可約的。

類似地，下述定理是證明定理A的關鍵，但其本身也是重要的。

定理B設G為π-可分群，2?π，H≤G，并且α∈Xπ(H)使得απG是不可約的。如果J≤G且|H：H∩J|為一個π'-數(shù)，則(αH∩J)πG∈Irr(G)。

最后，為了研究我們定理A中的映射是否為單射，本文在第1節(jié)引入了Dπ-特征標的Dπ-原核概念，據(jù)此獲得了和Navarro定理C相類似的結果。

定理C設G為可分群且2?π，(W，γ)是χ∈Dπ(G)的一個原核。如果δ1，δ2∈ Xπ′(W)使得

本文使用的群論和特征標理論的術語和符號，可分別參考文獻[14-15]。

1 Dπ-特征標及其原核

設G為π-可分群，如果2?π，則對任意子群H≤G，Isaacs均定義了的一個符號特征標δ(G，H)，即取值為±1的特征標，稱為H在G中的π-標準符號特征標。鑒于其定義的復雜性，讀者可參考相關文獻[2]或[12]。

借助標準符號特征標，我們可給出π-誘導的概念。

定義1設G為π-可分群且2?π，如果H≤G，且θ∈Irr(H)為H的一個復特征標，記

稱之為θ到G的π-誘導。

本文采用一個簡化記號。設(H，θ)和(K，ψ)均為G的特征標對且H≤G，如果ψ為θπK的一個不可約分量，我們記(H，θ)≤π(K，ψ)。使用特征標對的偏序關系，則等價于

下述是π-誘導特征標的基本性質，本文將多次引用但不加說明。

引理1G設為π-可分群且2?π，H≤G，θ∈Irr(H)且χ∈Irr(G)，則下述成立：

1）傳遞性：如果H≤K≤G，則(θπK)πG=θπG。

2）吸收性：θπGχ=(θχH)πG。

3）Mackey公式：如果K≤G使得G=HK，記D=H∩K，則(θπG)K=(θD)πK。

4）同一性：如果H??G，則δ(G，H)=1H，從而θπG=θG，此時

5）中介性：如果(H，θ)≤π(G，χ)，則對任意H≤K≤G，均存在ψ∈Irr(K)使得

證明根據(jù)π-標準符號特征標的性質，可直接驗證?；騾⒖糩16]中相關定理及證明。

下面是π-誘導的Clifford對應，本文將多次用到。

定理1設G為π-可分群且2?π。如果N?G且θ∈Irr(N)，則特征標的π-誘導ξ?ξπG定義了一個雙射：Irr(Gθ|θ)→ Irr(G|θ)。

一般地，我們可將上述Clifford對應中的正規(guī)子群N替換為所謂的極大Fπ-對應，并證明其仍為誘導源（定義見[17]），本文稱之為關于π-誘導的極大Fπ-對應。

定理2設G為π-可分群且2?π，如果(S，η)、為G的一個極大次正規(guī)Fπ-對，令T=Gη，則特征標的π-誘導定義了一個雙射

證明根據(jù)[2]中定理4.9，可知(S，η)為G的一個誘導源，即特征標的誘導

為雙射。因為S?G，從π-標準符號特征標的性質（見[2]中引理 2.33（b））可得S＜Kerδ(K，T)。由此表明ξ?δ(G，T)ξ給出了集合 Irr(T|η)到自身的一個雙射，再與上述誘導雙射合成，即得所證結論。

現(xiàn)在可給出Dπ-特征標的概念，具體背景和結論可見[18]。

定義2設G為π-可分群且2?π，如果χ∈Irr(G)可從某個子群H的某個π-特殊特征標π-誘導，即存在H≤G及θ∈Xπ(H)使得χ=θπG，則稱χ為G的一個Dπ-特征標。G的所有Dπ-特征標的集合記為Dπ(G)。

事實上，Dπ-特征標的概念是Dade在給Isaacs的一封信中首次提到的，作為Isaacs的Iπ-特征標的又一個典范提升，并證明了下述極為深刻的Dade定理，即[18]中的定理E。

定理3設G為π-可分群且2?π，H≤G。如果θ∈Irr(H)滿足θπG=χ∈Irr(G)，則χ∈Dπ(G)當且僅當θ∈Dπ(H)。

我們還需要Dπ-特征標的若干性質。

引理2設G為π-可分群且2?π，則下述成立。

1）Xπ(G)=Dπ(G)∩ Fπ(G)。

2）Xπ(G)={χ∈Dπ(G)|χ(1)為π-數(shù) }。

3）設χ∈Dπ(G)，H≤G，使得χH=θ∈Irr(H)，則θ∈Dπ(H)。進而，如果還有χ∈Xπ(G)，則θ∈Xπ(H)。

有了上述準備，現(xiàn)在給出Dπ-特征標的Dπ-原核概念。設χ∈Dπ(G)，其中G為π-可分群且2?π。任取G的一個極大次正規(guī)的 Fπ-對(S，η)在(G，χ)的下方，令T=Gη，根據(jù)上述極大 Fπ-對應（即定理 2），存在唯一ξ∈Irr(T|η)的使得χ=ξπG，我們稱(T，ξ)為(G，χ)的一個標準π-誘導對。根據(jù) Fπ-特征標的性質（見[2]中4A），則(G，χ)的所有標準π-誘導對彼此共軛，即共軛唯一，并且(G，χ)=(T，ξ)當且僅當χ為 Fπ-特征標。

重復上述選取標準π-誘導對的過程：即任取(G，χ)的一個極大 Fπ-對(S1，η1)，得到第一個標準π-誘導對：

再任取(T1，ξ1)的一個極大 Fπ-對，又得到第二個標準π-誘導對：(S2，η2)≤π(T2，ξ2)≤π(T1，ξ1)。值得注意的是，雖然(S1，η1)是T1的一個 Fπ-對，但卻未必是T1的極大Fπ-對，因為T1一般來說僅僅是G的子群，故T1的次正規(guī)子群在G中未必正規(guī)?，F(xiàn)在(S2，η2)是T1的一個極大 Fπ-對，故(S1，η1)包含在(S2，η2)的某個T1-共軛中。不斷重復上述過程，直到某個標準π-誘導對中出現(xiàn)Fπ-特征標，此時該過程自動結束。據(jù)此我們就得到了(G，χ)的一個標準π-誘導對序列：(G，χ)=(T0，ξ0)＞ (T1，ξ1)＞…＞ (Tk，ξk)，其中每一項均是前一項的一個標準π-誘導對，并且只有最后一項的ξk才是 Fπ-特征標。不難看出(G，χ)的標準π-誘導對序列也是共軛唯一的，我們稱(Tk，ξk)為χ的一個Dπ-原核，簡稱為原核。

以下是Dπ-原核的簡單性質。

引理3設G為π-可分群且2?π，如果(W，γ)為χ∈Dπ(G)的一個原核，則下述成立。

1）γ∈ Xπ(W)且γπG=χ。

2）(W，γ)是共軛唯一的。

3）χ∈Fπ(G)當且僅當(W，γ)=(G，χ)。

4）如果(S，η)≤(G，χ)為的一個極大 Fπ-對，則(S，η)做適當?shù)墓曹椞鎿Q后，可設(S，η)≤(W，γ)。

5）如果(T，ξ)為χ的一個π-標準誘導對，則ξ的每個原核均與(W，γ)在G中共軛。

2 主要結果及證明

我們先證明本文的定理B，方便起見，重述如下。

定理4設G為π-可分群，2?π，并且α∈Xπ(H)使得απG。如果J≤G，且 |H：H∩J|為一個π'-數(shù)，則(αH∩J)πG∈ Irr(G)。

證明因為α∈Xπ(H)也是Dπ-特征標，并且απG不可約，從定理 2 可知απG也是Dπ-特征標，從而φ=(απG)0∈Iπ(G)，并且φ=(α0)G。注意到α0∈Iπ(H)具 有π-次 數(shù)α(1)，根 據(jù)[13]中 定 理 3.1，則（(α0)H∩J)J∈Iπ(J)。不難看出

故(αH∩J)πJ必然是不可約的。

借助定理B，我們可證下述本文的定理A。

定理5設G為π-可分群且2?π，H是G的子群 且α∈Xπ(H)。 如 果απG是 不 可 約 的 ，任 取β∈ Xπ′(H)，則(αβ)πG也是不可約的。

證明我們將使用歸納法進行證明，首先對|G|歸納，再對|G：H|進行歸納。因為H=G時結論顯然成立，故不妨設H＜G。

設L=CoreG(H)，選 取v∈Irr(L)在α下 方 ，θ∈Irr(L)在β下方，則v是π-特殊的，而θ是π'-特殊的。再設Gν為ν在G中的穩(wěn)定子，而Gθ為θ在中G的穩(wěn)定子，由π-誘導的Clifford對應，則存在ξ∈Irr(Hv|v)和τ∈Irr(Hθ|θ)使得ξπH=α且τπH=β。由于α(1)為π-數(shù)，β(1)為π'-數(shù)，故|H：Hv|為π-數(shù)，而|H：Hθ|為π'-數(shù) ，據(jù) 此 可 知H=HvHθ。 再 令D=Hv∩Hθ，相關子群和特征標如圖1所示。

圖1 子群和特征標Fig.1 Subgroups and characters

因為G為π-可分群，2?π，根據(jù)[2]中推論2.38，從α是π-特殊的，可知ξ也是π-特殊的。又因為2∈π'，故π-標準符號特征標δ(H，Hθ)總是π'-特殊的，現(xiàn)在τπH=β，即（δ(H，Hθ)τ）H=β，仍從[2]中推論2.38可知δ(H，Hθ)τ也是π'-特殊的，迫使τ也是π'-特殊的。在使用Gajendragadkar限制定理（即[2]中定理2.10），從|Hv：D|=|H：Hθ|為π'-數(shù)，且|Hθ：D|=|H：Hv|為π-數(shù)，可知ξD∈ Xπ(D)且τD∈ Xπ′(D)。我們有

注意到ξπG=(ξπH)πG=απG，按假設不可約，故ξπGυ也不可約。簡單計，令J=G(v，θ)=Gv∩Gθ，我們有Hv∩J=Hv∩ (Gv∩Gθ)=D，故 |Hv：Hv∩J|=|Hv：D|為π-數(shù)，即圖2特征標圖表恰為定理B的環(huán)境：所以(ξD)πJ不可約。

圖2 特征標Fig.2 Characters

如果J＜G，即|J|＜|G|，由于τD∈Xπ'(D)，故由歸納假設，則 (ξDτD)πJ不可約。根據(jù) Gajendragakar乘積定理（見[2]中定理2.2），可知J=Gv∩Gθ=Gvθ恰為正規(guī)子群L的不可約特征標vθ在G中的穩(wěn)定子，而ξDτD顯然在vθ上方，從而(ξDτD)πJ也在vθ上方，再使 用π-誘導的Clifford 對應 ，則 ((ξDτD)πJ)πG=(ξDτD)πG也不可約，等價于(αβ)πG也是不可約的，故所證結論成立。因此，我們以下可假設J=G，即v和θ都是G-不變的。

因為L?G且l≤H＜G，故存在G的一個主因子K/L。記U=KH且V=K∩H。由于G為π-可分群，故主因子K/L或者為π-群，或者為π'-群。以下分兩種情形討論。

先假設K/L為π'-群，因為α∈Xπ(H)，并且從已知條件απG不可約，推出απU也不可約，再從 Dade定理得到απU∈Xπ(U)。任取η∈Irr(K)在απU的下方，則η∈Dπ(K)。由于v∈Xπ(L)在α∈Irr(H)的下方，并且v為G-不變的，故v也在η的下方。進而，從K/L為π'-群，可知v在K上存在典范擴張，根據(jù)Gallagher對應，則η=σ，其中σ∈Irr(KL)=Xπ′(K/L)，表明η為Fπ-特征標，故η∈Dπ(K)∩Fπ(K)=Xπ(K)。此時，再使用Gajendragadkar限制定理，則ηL=v，并且η和v相互唯一確定，導致η也是G-不變的。但ηV也不可約，我們有限制對應：Irr(U|η)→ Irr(H|ηV)。顯然α也在ηV的上方，故α也可擴張到U上，與απU不可約矛盾，表明該情形不能發(fā)生。

再假設K/L為π-群，類似上段證明，因為θ∈Xπ′(L)且為G-不變的，故存在典范擴張∈ Xπ′(K)。仍從θ的G-不變性，推出也是G-不變的。又因為V?H，則V必然是H-不變的，可令βV=eδ，其中δ∈Xπ′(V)必然也在θ的上方，迫使β也只能

圖3 限制對應Fig.3 Restriction Correspondence

既然β∈Xπ′(H)可擴張到U上，必然存在一個擴張β∈ Xπ′(H)。此時β'在的上方，故β'在K上的某個不可約分量θ'（自動是 Xπ′-特征標）也在的上方，根據(jù) Gajendragadkar限制定理，迫使，從而。

也不可約，至此完成證明。

最后我們將證明比本文定理C稍加一般化的結論。

定理6設G為π-可分群且2?π，(Wi，γi)是χi∈Dπ(G)的一個原核，并且δi∈Xπ'(Wi)，其中i=1，2。 如果(γ1δ1)πG=(γ2δ2)πG，則存在x∈G使得(W1，γ1δ1)x=(W2，γ2δ2)。特別地，有χ1=χ2。

證明根據(jù)原核的構造定義，可取G的一個極大 Fπ-對 (Si，θi)≤(Wi，γi)，使得(Wi，γi)為的 一 個原核，其中Ii=Gθi，并且，此時

再任取βi∈Irr(Si) 使得(Si，βi)≤(Wi，δi)，令χ=(γ1δ1)πG=(γ2δ2)πG，則(Si，θiβi)均為χ下方的極大 Fπ-對，故存在x∈G使得

即θ1x=θ1，β1x=β1，以及S1x=S2。如果I2=G，則S2=G=S1，此時W1=W2=G，結論自然成立，以下不妨設I2＜G。

根據(jù)π-標準符號特征標的定義

上述已證θ1x=θ1且S1x=S2，按定義有

所以

并且(W1x，γ1x)也是的一個原核。又因為

令T=G(θ2β2)=Gθ2∩Gβ2，則S2?T?I2顯然成立，故存在v1∈Irr(T)使得

再由極大Fπ-對應定理可知viπG均不可約，故，從而

仍從極大Fπ-對應可知v1=v2，于是(γ1xδ1x)πI2=(γ2δ2)πI2。注意到|I2|＜|G|，我們對 |G|作歸納法，使用歸納假設即知存在某個元素y∈I2，使得，亦即

特別地，我們有

至此完成所證。作為應用，可直接得到下述本文定理C。

推論 1設G為π-可分群且2?π，(W，γ)是χ∈Dπ(G)的一個原核。如果δ1，δ2∈Xπ'(W)使得(γδ1)πG=(γδ2)πG，則δ1=δ2。

證明根據(jù)上述定理，存在x∈G使得(W，γδ1)x=(W，γδ2)。 所以x∈NG(W)且γx=γ以 及δ1x=δ2。按定義γπG=χ不可約。從而也不可約，但x固定γ不變，只有x∈W。由此即得δ1=δ1x=δ2。