基于ACE法和模擬退火算法的土層等效參數(shù)反演*

曹凈 李豪

(昆明理工大學(xué)建筑工程學(xué)院 昆明 650500)

0 引言

位移量是一種描述物體在受力情況下變形形態(tài)的重要物理量，當(dāng)前已被用來作為反分析確定巖土參數(shù)的主要依據(jù)，利用現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)信息的反演方法成為獲取巖土體物理力學(xué)參數(shù)的一種新的可行途徑，并表現(xiàn)出了獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)[1-3]。在實(shí)際工程中，因?yàn)榛踊蜻吰碌闹ёo(hù)結(jié)構(gòu)位移是較為容易測(cè)得的，利用工程現(xiàn)場(chǎng)所測(cè)得的支護(hù)結(jié)構(gòu)實(shí)際位移值對(duì)巖土物理力學(xué)參數(shù)進(jìn)行反演分析的方法在實(shí)際工程應(yīng)用中較為普遍。

利用實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行巖土參數(shù)的反演，其目的就是將巖土參數(shù)的反演問題變?yōu)橄鄳?yīng)目標(biāo)函數(shù)的計(jì)算尋優(yōu)問題，但是由于巖土自身特性的復(fù)雜性，構(gòu)造出的目標(biāo)函數(shù)多為含有多峰的復(fù)雜非線性函數(shù)。對(duì)于傳統(tǒng)中利用多個(gè)約束條件對(duì)其目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行計(jì)算得出參數(shù)值的方法，所得結(jié)果在一定程度上依賴于對(duì)約束條件和初始值的選取，且容易使目標(biāo)函數(shù)陷入局部極值。許多學(xué)者也提出利用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和遺傳算法等智能算法對(duì)土層參數(shù)進(jìn)行反演，但是其計(jì)算量大，計(jì)算時(shí)間長(zhǎng)且收斂速度較慢[4-5]。因此，本文提出結(jié)合均勻試驗(yàn)和ACE法的方法來建立出一種土層參數(shù)與支護(hù)結(jié)構(gòu)位移之間的函數(shù)關(guān)系，構(gòu)建出高效響應(yīng)面，在此基礎(chǔ)上，運(yùn)用插值運(yùn)算得出土層參數(shù)的響應(yīng)值(支護(hù)結(jié)構(gòu)計(jì)算位移值)，最后結(jié)合模擬退火法對(duì)根據(jù)響應(yīng)值和實(shí)測(cè)位移值構(gòu)造出的反演目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行解(土層參數(shù))的尋優(yōu)，來獲得更為合理的土層等效物理力學(xué)參數(shù)。

1 構(gòu)建響應(yīng)面的基本理論

1.1 均勻試驗(yàn)

均勻設(shè)計(jì)試驗(yàn)法[6-7]最開始由方開泰和王元兩位學(xué)者在1978年提出，此種方法是基于試驗(yàn)點(diǎn)均勻散布在整個(gè)試驗(yàn)范圍內(nèi)的，且從均勻性的角度出發(fā)來提出的一種試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法。均勻試驗(yàn)方法相對(duì)于優(yōu)選法和正交試驗(yàn)法，其試驗(yàn)次數(shù)更少，效果更好。均勻試驗(yàn)的設(shè)計(jì)過程如下列步驟所示：

(1)依據(jù)所研究的對(duì)象，確定出設(shè)計(jì)因素(變量)的個(gè)數(shù)，在因素個(gè)數(shù)確定的情況下選擇具有合適水平數(shù)(m個(gè)水平)的均勻試驗(yàn)表。

(2)確定出各個(gè)因素的取值區(qū)間[Ximin,Ximax](i=1,2,…,n)，其中Ximin、Ximax分別為第i個(gè)因素的最小值和最大值，n為因素的個(gè)數(shù)。

(3)根據(jù)均勻試驗(yàn)表選擇出的水平數(shù)安排m次試驗(yàn)，并將每個(gè)因素劃分為m等分的情況：

(1)

式中，i=1,2,…,n，為因素序號(hào)；j=1,2,…,n，為每個(gè)因素水平序號(hào)；Xij則為第i個(gè)因素的第j個(gè)水平值。

(4)采用均勻試驗(yàn)表組配試驗(yàn)來實(shí)現(xiàn)均勻試驗(yàn)設(shè)計(jì)。

1.2 ACE非參數(shù)回歸技術(shù)

非參數(shù)回歸技術(shù)，其實(shí)質(zhì)就是在輸入與輸出數(shù)據(jù)確定的基礎(chǔ)上，來找出兩者之間的映射關(guān)系，也即響應(yīng)面函數(shù)。采用ACE[8](Alternating Conditional Expectations)非參數(shù)回歸技術(shù)，不需要一開始設(shè)定出響應(yīng)面函數(shù)的形式，而是尋找出輸入數(shù)據(jù)組X1，X2，…，Xm的映射值φ1(X1)，φ2(X2)，…，φm(Xm)和輸出數(shù)據(jù)y的映射值θ(y)，使其滿足：

θ(y)=φ1(X1)+φ2(X2)+…+φm(Xm)+ε

(2)

確定響應(yīng)面函數(shù)：

y=θ-1[φ1(X1)+φ2(X2)+…+φm(Xm)]+ε

(3)

式中θ-1[.]為θ[.]的逆函數(shù)，ε為擬合誤差。

如果確定了φ1(X1)，φ2(X2)，…，φm(Xm)和θ(y)，那么也就可以確定出響應(yīng)面函數(shù)關(guān)系，可以直接調(diào)用統(tǒng)計(jì)學(xué)軟件S-plus中提供的ACE數(shù)據(jù)包來獲得上述映射值。

1.3 插值計(jì)算

通過ACE回歸技術(shù)分析得到相應(yīng)數(shù)據(jù)的映射值之后，從而進(jìn)行擬合映射值來求解θ-1[.]，建立出響應(yīng)面關(guān)系來得出如式(3)的顯示響應(yīng)面函數(shù)。如果在變量較多時(shí)的試驗(yàn)數(shù)組，其擬合函數(shù)關(guān)系非常復(fù)雜，而且進(jìn)一步的擬合會(huì)產(chǎn)生出新的誤差。因此，通過采用簡(jiǎn)單的插值法來直接進(jìn)行輸入?yún)?shù)組的輸出值計(jì)算，來避免上述復(fù)雜擬合計(jì)算過程[9]。

由均勻試驗(yàn)得到的輸入因素X1，X2，…，Xm中，各個(gè)因素的區(qū)間內(nèi)均由n個(gè)計(jì)算點(diǎn)組成，并且計(jì)算點(diǎn)是均勻分布的，那么就能生成較密集的插值點(diǎn)。對(duì)于在各個(gè)計(jì)算區(qū)間內(nèi)的任意輸入?yún)?shù)xi，即可根據(jù)響應(yīng)面關(guān)系直接進(jìn)行插值運(yùn)算來得出相應(yīng)的輸出參數(shù)yi。

φi(Xi)=interp(Xi，φi(Xi)，xi)i=1,2,…,m

(4)

則

(5)

則輸出yi為

yi=interp(θ(Y)，Y，θ(yi))

(6)

式中，Xi=[Xi1,Xi2，…，XiN]是由均勻設(shè)計(jì)確定的變量xi的各個(gè)水平組成的試驗(yàn)向量，φi(Xi)是與該試驗(yàn)向量對(duì)應(yīng)的變換值且φi(Xi)=[φi(xi1，xi2，…，xiN)]，Y是試驗(yàn)輸出結(jié)果向量，θ(Y)是Y的映射值。通過MATLAB編寫相關(guān)程序語(yǔ)言實(shí)現(xiàn)從式(4)到式(6)的過程，即可完成Xi與Y之間的插值計(jì)算。

2 模擬退火算法基本原理

模擬退火算法[10](Simulated Annealing，SA)，它是一種基于Monte-Carlo迭代求解策略的隨機(jī)尋優(yōu)算法，其優(yōu)點(diǎn)在于對(duì)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行求解時(shí)可以避免陷入局部解。算法思想來源于工業(yè)中對(duì)固體進(jìn)行退火的原理，在對(duì)金屬固體進(jìn)行熱加工時(shí)，退火就是先將固體加熱到某一種高溫狀態(tài)下，而后徐徐進(jìn)行降溫的過程。在加溫時(shí)，固體內(nèi)部中的粒子隨著溫度的升高而成為一種無(wú)序狀態(tài)，并且內(nèi)能增大。在徐徐降溫的過程中粒子漸進(jìn)有序地在每個(gè)溫度下達(dá)到平衡狀態(tài)，最后在某一低溫下達(dá)到平衡。模擬退火算法就是在固體退火的機(jī)理上建立起的一種尋優(yōu)算法，其能夠在一定概率下搜索出目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)點(diǎn)。

2.1 模擬退火算法的模型要素

(1)解空間。該空間由在指定前提或者約束條件下的諸多可行解構(gòu)成。

(2)目標(biāo)函數(shù)。目標(biāo)函數(shù)一般為由已知條件給定的，需要進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算的函數(shù)，其最大(小)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)為所需的最優(yōu)解。

(3)可行解狀態(tài)改變規(guī)則。在一定的概率情況下，由一個(gè)可行解(xold)向另一個(gè)可行解(xnew)進(jìn)行轉(zhuǎn)換，判斷其xnew是否能被接受，最常用的接受準(zhǔn)則是Metropolis準(zhǔn)則。

(4)溫度Tk下降規(guī)律。指由一高溫狀態(tài)向一低溫狀態(tài)冷卻的降溫規(guī)則。為了計(jì)算簡(jiǎn)潔明了，在實(shí)際應(yīng)用中，常用式(7)來表示降溫規(guī)律：

Tk=αTk-1

(7)

式中，α為小于1 的數(shù)，根據(jù)不同實(shí)際情況，其取值區(qū)間常為0.5～0.99。

2.2 模擬退火法的思想步驟

(1)初始化：設(shè)定出初始解的狀態(tài)xold(算法迭代的起點(diǎn))，初始溫度T、終止溫度Tk以及每個(gè)溫度下的迭代次數(shù)L。

(2)在迭代L次數(shù)下，產(chǎn)生新的可行解(xnew)，并計(jì)算增量△=C(xnew)-C(xold)，其中C(xold)為評(píng)價(jià)函數(shù)。

(3)利用Metropolis準(zhǔn)則進(jìn)行當(dāng)前解的判斷：若△<0則接受xnew為當(dāng)前解，否則生成一個(gè)[0,1]區(qū)間上均勻分布的隨機(jī)數(shù)λ，若λ

(4)滿足終止條件后，輸出當(dāng)前解為最優(yōu)解，并結(jié)束在某一溫度下的程序計(jì)算。

(5)T根據(jù)降溫規(guī)律逐步減少，若T>Tk則返回第二步，直到達(dá)到終止溫度，程序計(jì)算結(jié)束。

3 基于ACE法和模擬退火算法的土層等效參數(shù)反演

進(jìn)行土層參數(shù)反演的實(shí)質(zhì)就是尋出一組待反演的參數(shù)，并且使與之相應(yīng)的支護(hù)結(jié)構(gòu)位移計(jì)算值與位移實(shí)測(cè)值不斷地逼近。其最終目標(biāo)函數(shù)可取為

F(xi)=|f(xi)-μ|

(8)

式中，xi為某一組的反演參數(shù)，f(xi)為反演計(jì)算位移值，μ為相應(yīng)位置點(diǎn)的實(shí)測(cè)位移值。

進(jìn)行土層參數(shù)反演的計(jì)算步驟為

(1)按照計(jì)算案例，合理確定出巖土參數(shù)的取值范圍，并根據(jù)均勻試驗(yàn)構(gòu)造出計(jì)算方案。

(2)根據(jù)均勻試驗(yàn)表所構(gòu)造出的樣本組，按照規(guī)范算出每個(gè)樣本組下的計(jì)算位移值。

(3)將均勻試驗(yàn)構(gòu)造出的樣本組作為輸入數(shù)據(jù)，對(duì)應(yīng)樣本組計(jì)算出的位移值作為輸出數(shù)據(jù)，利用ACE法進(jìn)行兩者之間的映射，構(gòu)建出響應(yīng)面。

(4)運(yùn)用響應(yīng)面關(guān)系進(jìn)行插值得出響應(yīng)值，并結(jié)合實(shí)測(cè)數(shù)值構(gòu)造出目標(biāo)函數(shù)，然后根據(jù)其函數(shù)增量的范圍選擇退火策略，設(shè)定出合理的初始溫度，并給出每個(gè)溫度下的迭代次數(shù)，相比于進(jìn)行大范圍的盲目計(jì)算，此方法有利于提高效率。

(5)給出退火算法的初始狀態(tài)(即土層參數(shù)的初始值)，將其作為當(dāng)前的最優(yōu)點(diǎn)，并代入響應(yīng)面進(jìn)行插值運(yùn)算，得出計(jì)算位移值和目標(biāo)函數(shù)值。

(6)對(duì)當(dāng)前最優(yōu)點(diǎn)在響應(yīng)面計(jì)算區(qū)間內(nèi)進(jìn)行隨機(jī)變動(dòng)，產(chǎn)生出新的最優(yōu)點(diǎn)，代入響應(yīng)面進(jìn)行插值運(yùn)算，得到計(jì)算位移值，最后計(jì)算得出新的目標(biāo)函數(shù)值以及目標(biāo)函數(shù)增量△。

(7)對(duì)增量△進(jìn)行判斷，若△<0，就接受新產(chǎn)生的最優(yōu)點(diǎn)為當(dāng)前計(jì)算中的最優(yōu)點(diǎn)；若△≥0，則生成一個(gè)[0,1]間均勻分布的隨機(jī)數(shù)λ，若λ

(8)如果沒有到達(dá)某一溫度下的迭代次數(shù)，就回到步驟4繼續(xù)迭代計(jì)算。

(9)如未達(dá)到冷卻終止溫度，則轉(zhuǎn)回步驟6；如達(dá)到終止溫度，就輸出當(dāng)前計(jì)算中的最優(yōu)點(diǎn)，結(jié)束計(jì)算。

4 應(yīng)用算例

算例為昆明市五華區(qū)某基坑工程，本文選取此基坑工程7-7剖面進(jìn)行反演分析?；?-7剖面采用樁錨支護(hù)系統(tǒng)，其開挖放坡坡高為3.0 m，取臺(tái)面為1.0 m，坡比1∶0.83。支護(hù)樁為旋挖樁，樁徑0.8 m，樁長(zhǎng)32 m，間距1.1 m。基坑從上至下一共設(shè)置了1排土釘和3排預(yù)應(yīng)力錨索，具體的支護(hù)情況見圖1。7-7剖面中坑底以上范圍共有4層土，各土層相應(yīng)的物理力學(xué)指標(biāo)見表1。

表1 土層物理力學(xué)指標(biāo)

圖1 基坑支護(hù)簡(jiǎn)圖(單位：mm)

基坑7-7剖面施工工況如下：①工況一：基坑開挖至3.8 m(含0.5 m超挖深度)；②工況二：在3.3 m深度處施加第1排錨索；③工況三：基坑開挖至5.8 m(含0.5 m超挖深度)；④工況四：在5.3 m深度處施加第2排錨索；⑤工況五：基坑開挖至8.3 m(含0.5 m超挖深度)；⑥工況六：在7.8 m深度處施加第3排錨索；⑦工況七：基坑開挖至9.7 m(到達(dá)坑底)。當(dāng)基坑開挖至基坑底后，基坑開挖工程基本完成，所測(cè)得的支護(hù)樁位移數(shù)據(jù)基本開始穩(wěn)定，故分別選取工況七中地面以下4 m深度處(測(cè)點(diǎn)一)、5 m深度處(測(cè)點(diǎn)二)和8 m深度處(測(cè)點(diǎn)三)的支護(hù)樁實(shí)測(cè)位移值來作為目標(biāo)函數(shù)(式8)中的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)。

在構(gòu)建響應(yīng)面之前，將每層土的物理力學(xué)指標(biāo)作為隨機(jī)參數(shù)，為了使響應(yīng)面涵蓋的范圍足夠大，考慮實(shí)際工程中可以接受的參數(shù)范圍，將參數(shù)的范圍盡可能地?cái)U(kuò)大，見表2。根據(jù)文獻(xiàn)[5]中均勻試驗(yàn)表的建立過程，構(gòu)建出一個(gè)8因素、30水平的均勻表，均勻表構(gòu)建采用方冪法，利用MATLAB編程得到均勻表U30(308)，將各個(gè)參數(shù)的取值范圍分為30個(gè)水平，代入建立的均勻表，即得出輸入樣本。根據(jù)《建筑基坑支護(hù)技術(shù)規(guī)程》(JGJ 120—2012)[11]的相關(guān)規(guī)定，依次計(jì)算出不同試驗(yàn)組下測(cè)點(diǎn)一、測(cè)點(diǎn)二和測(cè)點(diǎn)三的支護(hù)樁位移來作為輸出數(shù)據(jù)組。輸入和輸出數(shù)據(jù)見表3。

表2 土層物理力學(xué)指標(biāo)取值范圍

表3 均勻試驗(yàn)輸入及輸出數(shù)據(jù)組

獲得輸入和輸出數(shù)據(jù)之后，即可通過ACE非參數(shù)回歸的方法構(gòu)造出兩者之間的高效響應(yīng)面，此步驟直接調(diào)用統(tǒng)計(jì)學(xué)軟件S-plus中的ACE回歸的數(shù)據(jù)包，分別對(duì)測(cè)點(diǎn)一、測(cè)點(diǎn)二和測(cè)點(diǎn)三對(duì)應(yīng)的30組試驗(yàn)逐一進(jìn)行回歸，其回歸擬合系數(shù)均高達(dá)0.99，限于篇幅，只給出測(cè)點(diǎn)一的輸入與輸出數(shù)據(jù)的映射值，見表4。然后在所給的每個(gè)參數(shù)范圍內(nèi)進(jìn)行參數(shù)的隨機(jī)選取，根據(jù)已經(jīng)確定的響應(yīng)面進(jìn)行插值運(yùn)算，計(jì)算出每組參數(shù)對(duì)應(yīng)的支護(hù)樁計(jì)算位移值，并代入目標(biāo)函數(shù)(式8)中，最后利用模擬退火算法以目標(biāo)函數(shù)最小值為目標(biāo)來進(jìn)行解(土層參數(shù))的計(jì)算選取。

表4 測(cè)點(diǎn)一的輸入及輸出數(shù)據(jù)映射值

根據(jù)前文第2.2節(jié)中對(duì)模擬退火算法接受壞解概率的Metropolis準(zhǔn)則的描述：若△<0則接受xnew為當(dāng)前的解，否則生成一個(gè)[0,1]間均勻分布的隨機(jī)數(shù)λ，若λ

圖2 不考慮初始溫度的目標(biāo)函數(shù)值隨迭代次數(shù)變化

圖3 測(cè)點(diǎn)一的目標(biāo)函數(shù)值隨迭代次數(shù)變化

圖4 測(cè)點(diǎn)二的目標(biāo)函數(shù)值隨迭代次數(shù)變化

圖5 測(cè)點(diǎn)三的目標(biāo)函數(shù)值隨迭代次數(shù)變化

對(duì)表5中的反演結(jié)果與設(shè)計(jì)值進(jìn)行對(duì)比分析，發(fā)現(xiàn)基于ACE法和模擬退火算法反演得出的每個(gè)測(cè)點(diǎn)下的土層參數(shù)值與設(shè)計(jì)值稍有偏差，可能的原因是基坑開挖過程是一個(gè)卸載的過程，開挖的過程中的土層卸載會(huì)使土體實(shí)際抵抗變形的能力降低，對(duì)計(jì)算造成一定誤差。由于單個(gè)樣本組的反演結(jié)果可能具有一定的偶然性，應(yīng)結(jié)合實(shí)際對(duì)比分析多個(gè)樣本組的結(jié)果，由表5可以看出，3組反演計(jì)算結(jié)果的平均值與設(shè)計(jì)值較為接近，說明利用該方法進(jìn)行土層等效參數(shù)的反演具有一定的可行性。

表5 土層等效參數(shù)反演計(jì)算結(jié)果

5 結(jié)論

(1)響應(yīng)面法通常用來處理較復(fù)雜系統(tǒng)的輸入與輸出之間的映射關(guān)系問題，其計(jì)算量小并且適用于復(fù)雜的非線性問題。本文將均勻試驗(yàn)和ACE法融合在一起，利用ACE法的非線性映射能力，構(gòu)建出參數(shù)之間高效響應(yīng)面，極大地簡(jiǎn)化了計(jì)算過程，提高了反演的計(jì)算速度，再結(jié)合模擬退火算法對(duì)利用響應(yīng)值與實(shí)測(cè)值構(gòu)造的目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行參數(shù)解的尋優(yōu)，以一定的概率搜尋出最優(yōu)參數(shù)解。將這一算法模型對(duì)一工程實(shí)例進(jìn)行運(yùn)用，發(fā)現(xiàn)其在解決變量與目標(biāo)函數(shù)之間無(wú)明顯的數(shù)學(xué)表達(dá)式的工程問題時(shí)具有一定的可行性。

(2)模擬退火算法的運(yùn)用，極大地依賴對(duì)初始參數(shù)的選取，針對(duì)不同的計(jì)算案例，應(yīng)考慮需要求解數(shù)據(jù)的實(shí)際情況，分析目標(biāo)函數(shù)增量與退火溫度的比值對(duì)收斂性的影響，經(jīng)過調(diào)試選取出合理的初始

參數(shù)，再結(jié)合算例進(jìn)行不同數(shù)據(jù)組的計(jì)算，這樣有利于提高計(jì)算的效率。在計(jì)算的過程中可以發(fā)現(xiàn)，由于模擬退火算法有接受壞解的概率準(zhǔn)則，容易丟失計(jì)算過程中更好的解，如何將計(jì)算過程中所有解保存下來重新挖掘有效數(shù)據(jù)，進(jìn)而提高計(jì)算的精度是下一步需要深入研究的內(nèi)容。