數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是感悟和再創(chuàng)造的過程

游利瑛 游文潔

馮振業(yè)博士長(zhǎng)期從事香港數(shù)學(xué)教師培訓(xùn)工作，現(xiàn)就職于香港教育大學(xué)數(shù)學(xué)與資訊科技學(xué)系。歷任香港數(shù)學(xué)教育學(xué)會(huì)副會(huì)長(zhǎng)、會(huì)長(zhǎng)，《數(shù)學(xué)教育》編委會(huì)主席，香港小學(xué)教材《新紀(jì)元小學(xué)數(shù)學(xué)》主編。他提出“數(shù)學(xué)化教學(xué)”的主張，在香港組建了小學(xué)數(shù)學(xué)教師專業(yè)社群，持續(xù)地進(jìn)行教育教學(xué)發(fā)展工作，旨在通過教學(xué)設(shè)計(jì)，吸引教師重新學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。他與內(nèi)地赴港交流教師進(jìn)行了多次交流活動(dòng)。

一、知識(shí)演進(jìn)活動(dòng)：不要將數(shù)學(xué)化與生活化截然分開

交流教師：您能談?wù)勱P(guān)于教學(xué)數(shù)學(xué)化與生活化的問題嗎？

馮博士：“數(shù)學(xué)化教學(xué)”是一個(gè)改善小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的計(jì)劃，基于荷蘭數(shù)學(xué)教育泰斗弗賴登塔爾提出的“數(shù)學(xué)化”觀點(diǎn)。簡(jiǎn)而言之，“數(shù)學(xué)化”就是數(shù)學(xué)認(rèn)知的產(chǎn)生和演進(jìn)過程。這過程讓數(shù)學(xué)觀念形成和改進(jìn)，由門外漢的認(rèn)識(shí)過渡到具有數(shù)學(xué)特質(zhì)的認(rèn)識(shí)，或是由簡(jiǎn)陋的認(rèn)識(shí)進(jìn)化到精密的認(rèn)識(shí)。數(shù)學(xué)教育對(duì)一般人的意義，主要在于掌握數(shù)學(xué)化過程，而非數(shù)學(xué)產(chǎn)物。

在香港課堂上見到的，多數(shù)是教師把數(shù)學(xué)產(chǎn)物介紹給學(xué)生，而不是與學(xué)生一起經(jīng)歷一次數(shù)學(xué)知識(shí)形成或改進(jìn)的過程。課本的材料，礙于各種限制，也不太重視把數(shù)學(xué)知識(shí)的演進(jìn)過程說得一清二楚。

數(shù)學(xué)課堂要組織好學(xué)習(xí)活動(dòng)，透過學(xué)習(xí)的活動(dòng)，把數(shù)學(xué)變成精準(zhǔn)的、有效的學(xué)習(xí)形態(tài)，這個(gè)過程就是數(shù)學(xué)化的過程。但是透過這個(gè)過程去建立數(shù)學(xué)知識(shí)，不等于說沒有生活元素，因?yàn)橹R(shí)的形成不是憑空的。我們很多的數(shù)學(xué)知識(shí)都是從已有經(jīng)驗(yàn)總結(jié)而來。已有的經(jīng)驗(yàn)包括課堂的經(jīng)驗(yàn)，也包括課外的經(jīng)驗(yàn)。所以課堂上的教學(xué)有時(shí)可以從生活的角度去引入，有時(shí)可以從展開一個(gè)課堂的活動(dòng)去理解。這個(gè)課堂的活動(dòng)可以是教師提供的特定表達(dá)出來的一種經(jīng)驗(yàn)，雖然這個(gè)經(jīng)驗(yàn)也許與學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)有出入。

我們?cè)诮虜?shù)學(xué)的時(shí)候，有些情況是從學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，有些時(shí)候是立足于學(xué)生在課堂中的數(shù)學(xué)理解，這兩個(gè)都是必要的。我們要看的是從哪一個(gè)點(diǎn)切入比較有效。我們不可以刻意地把這個(gè)生活化與數(shù)學(xué)化分開來講。不過，如果數(shù)學(xué)教學(xué)過多地講生活化，就會(huì)有問題。因?yàn)閿?shù)學(xué)當(dāng)中有一部分內(nèi)容在生活中不容易接觸，如分?jǐn)?shù)，在生活中就很少見到。但不可以說生活中沒有的，我們就不學(xué)。

因此，學(xué)生要接觸的數(shù)學(xué)如果不方便從生活的角度去介入，就不可太勉強(qiáng)。學(xué)數(shù)學(xué)就是要將這個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行改良，這就是數(shù)學(xué)化的角度，什么時(shí)候是生活的情境，什么時(shí)候是純數(shù)學(xué)化的情境，這要看數(shù)學(xué)內(nèi)容本身，也要看學(xué)生的知識(shí)背景。

二、教材探微活動(dòng)：培養(yǎng)思考力比糾纏某些“對(duì)錯(cuò)”更重要

交流教師：香港教材中“分母是100的分?jǐn)?shù)是百分?jǐn)?shù)”，這個(gè)定義是對(duì)還是錯(cuò)？

馮博士：香港的教師用書不也說明了“表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾的數(shù)叫百分?jǐn)?shù)”嗎？教材中“分母是100的分?jǐn)?shù)是百分?jǐn)?shù)”那是為了學(xué)生能順利理解。其實(shí)一個(gè)定義是對(duì)還是錯(cuò)，各家有各家的理解，不同階段有不同階段的理解，培養(yǎng)學(xué)生的思考力比判定這樣的對(duì)錯(cuò)更重要。有很多事情這樣講可以，那樣講也沒錯(cuò)，你倒不如把它看成是一種約定。

舉一個(gè)例子，什么叫梯形？有兩種不同的定義，一個(gè)是“只有一組對(duì)邊平行的四邊形是梯形”，另一個(gè)是“有一組對(duì)邊平行的四邊形是梯形”。兩個(gè)定義都在應(yīng)用。如果是第一種定義，那么平行四邊形就不是梯形的一種，如果是第二種定義，那么平行四邊形就是梯形的一種特例。不要太在意對(duì)與錯(cuò)，要多在意學(xué)生的理解是對(duì)與錯(cuò)。香港的汽車方向盤在右，靠左道行駛，內(nèi)地就正好相反，哪個(gè)對(duì)哪個(gè)錯(cuò)呢，沒有。那些在內(nèi)地和香港往返的司機(jī)，兩邊道都會(huì)開，也不會(huì)出問題的。

交流教師：對(duì)內(nèi)地小學(xué)數(shù)學(xué)教材您怎么看？

馮博士：香港每個(gè)年級(jí)的學(xué)生都有四本數(shù)學(xué)書，上學(xué)期兩本，下學(xué)期兩本，還是16開的。內(nèi)地教材編得太統(tǒng)，教材不太厚，頁數(shù)是有控制的，這樣就會(huì)有一些問題。因?yàn)橛行┲R(shí)內(nèi)容不是簡(jiǎn)單就可以交待清楚的，必須要有一定的篇幅去表達(dá)。而不能交待很清楚的內(nèi)容，教師是不好理解知識(shí)全過程的。這個(gè)不是編者的問題，是政策的問題，是成本的問題。

教材簡(jiǎn)單，可以說留給教師的空間大，也可以說這個(gè)教材不能很全面地去幫助教師。所以，我編的教材就是把全部的過程都表達(dá)出來，每一個(gè)單元一冊(cè)，叫單元冊(cè)。這是比較大膽的嘗試，一學(xué)年有十來冊(cè)。

三、課堂評(píng)判活動(dòng)：好的數(shù)學(xué)課堂應(yīng)有較多思考問題的元素

交流教師：怎樣才是一堂好的數(shù)學(xué)課？

馮博士：“數(shù)學(xué)化教學(xué)”我認(rèn)為是最棒的。數(shù)學(xué)化教學(xué)做的人很多。我希望的數(shù)學(xué)課堂就是數(shù)學(xué)的思考方式、思維過程可以展現(xiàn)出來。自主探究、互相學(xué)習(xí)、合作交流這種課堂教學(xué)模式是比較理想的。我們不需要太抓緊什么內(nèi)容，最重要的是學(xué)生有思考數(shù)學(xué)的方式與行為習(xí)慣，這些要在課堂體現(xiàn)出來。知識(shí)是學(xué)不完的，數(shù)學(xué)教育的目標(biāo)不只是訓(xùn)練、培養(yǎng)一些數(shù)學(xué)家，重要的是讓學(xué)生懂得怎樣去思考數(shù)學(xué)，怎樣去改良和創(chuàng)造數(shù)學(xué)。課堂里有沒有這種元素？有多少呢？如果課堂都是教師講，學(xué)生聽，教師說，學(xué)生做，那這樣的元素就不多了。這種元素是存在于學(xué)生與學(xué)生、學(xué)生與教師的互動(dòng)中，存在于提出問題、探究問題和解決問題的過程中。這與學(xué)習(xí)什么內(nèi)容關(guān)系不大，一至六年級(jí)的內(nèi)容都可以，簡(jiǎn)單的內(nèi)容可以去思考、去討論，復(fù)雜的內(nèi)容也可以共同切磋。同時(shí)，教學(xué)是伴隨感情同時(shí)存在的，教師要關(guān)注成績(jī)也要關(guān)注心靈。

在觀課時(shí)，如果心里老是惦記著要填評(píng)課表，這個(gè)課就不會(huì)很好，如果進(jìn)入課堂后，慢慢忘記要填這個(gè)評(píng)課表，自己投入到課里了，跟學(xué)生一起想問題，這樣的課才會(huì)是好課。好的課堂是容易讓你投入到互動(dòng)的過程，去進(jìn)行相互切磋，去關(guān)注這種思考狀態(tài)，這就是研討數(shù)學(xué)的情境。在這種氛圍里，學(xué)生樂于探究學(xué)習(xí)，樂于思考問題，享受學(xué)習(xí)過程的快樂。如果教師用專家的身份進(jìn)行教學(xué)，我認(rèn)為不好。好的數(shù)學(xué)課，教師不當(dāng)專家，學(xué)生可以挑戰(zhàn)學(xué)生，學(xué)生也可以挑戰(zhàn)教師，要讓學(xué)生亮出自己的觀點(diǎn)，然后大家覺得被說服了，明白了，這樣的課很有價(jià)值，有這樣元素的課是好的數(shù)學(xué)課。

四、解難教學(xué)活動(dòng)：要在創(chuàng)新與實(shí)踐中培養(yǎng)孩子數(shù)學(xué)反應(yīng)的觸覺

交流教師：在數(shù)學(xué)教學(xué)中如何進(jìn)行探究與活動(dòng)呢？

馮博士：數(shù)學(xué)科學(xué)有它本身的特點(diǎn)，教師在課堂教學(xué)中要充分、高效互動(dòng)，要關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)，要善于透過教學(xué)活動(dòng)，去引導(dǎo)學(xué)生思考問題，培養(yǎng)數(shù)學(xué)反應(yīng)的觸覺。舉幾個(gè)例子。

1. 關(guān)于時(shí)間“秒”的教學(xué)。時(shí)間是可以量度的，不過量度時(shí)間比較復(fù)雜。秒是時(shí)間單位，教學(xué)時(shí)可以從音樂老師那里借來節(jié)拍器，調(diào)到一分鐘拍打60下，學(xué)生既可以聽也可以看。我有一個(gè)設(shè)計(jì)是這樣做的，用沙漏來測(cè)量時(shí)間。讓孩子操作一個(gè)沙漏，沙掉到一個(gè)地方就做一個(gè)記號(hào)，這個(gè)時(shí)間大概是幾秒鐘，然后他們拿這個(gè)東西就可以量時(shí)間，沙漏就是量時(shí)間的工具。我們可以先放一個(gè)小影片，讓他們感覺一下影片時(shí)間有多長(zhǎng)，然后用沙漏量一量，看看跟原先的感覺有多少差別。初時(shí)，學(xué)生對(duì)“一秒有多長(zhǎng)”是不好感知的，但是通過這個(gè)活動(dòng)，他就大概掌握一秒鐘時(shí)間的長(zhǎng)短，而且誤差會(huì)比較小。

2. 關(guān)于“平均分”的教學(xué)。平均分物一課，教師要引導(dǎo)學(xué)生理解平均分的意義，懂得一粒一粒分物的方法，為日后學(xué)習(xí)通過乘法表計(jì)算除法提供經(jīng)驗(yàn)。教學(xué)時(shí)，教師講解了平均分物的要求后，可以進(jìn)行這樣的活動(dòng)，就是拿一個(gè)裝有很多“數(shù)?！钡拇?，讓學(xué)生將這些“數(shù)?！逼骄纸o4個(gè)同學(xué)。

學(xué)生有一粒一粒分的，也有先幾粒幾粒分，再將剩下的“數(shù)?！币涣Ｒ涣７?。這些做法都沒有錯(cuò)，因?yàn)槎甲龅搅恕捌骄纸o4個(gè)同學(xué)”的要求。但是，如果將透明的袋子換成不透明的袋子給學(xué)生分物，那么更多的學(xué)生會(huì)進(jìn)行“一次每人一粒”的分法，雖然速度慢些，但卻最能詮釋“平均分”的分物方式。

3. 關(guān)于分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的教學(xué)。內(nèi)地高年級(jí)的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題教學(xué)，會(huì)講“標(biāo)準(zhǔn)量”“整體1”“單位1”，香港沒有。那是不是就不行呢，我看未必。“標(biāo)準(zhǔn)量”“整體1”“單位1”本身就非常的抽象。我的教材要求每個(gè)分?jǐn)?shù)后面都帶上一個(gè)單位。如果沒有單位就要把它補(bǔ)出來。如“一個(gè)班的學(xué)生，戴眼鏡的占了2/3”。就是說“戴眼鏡的占了2/3班”“沒戴眼鏡的占了1/3班?！薄鞍唷本褪菃挝?。如果問“一個(gè)班里有多少人戴眼鏡”，當(dāng)你告訴了一個(gè)班假定是36人時(shí)，可以求出戴眼鏡的是（36×2/3）=24人，“班”變成“人”，換了單位而已。又如“18枚郵票的1/3是多少枚？”我們就問，1/3的單位是什么？如果18枚是一堆，1/3的單位就是“堆”。1/3堆是多少枚？列式是：18×1/3。我們要讓學(xué)生知道分?jǐn)?shù)是針對(duì)什么樣的量，他有這個(gè)意識(shí)后，解決問題就簡(jiǎn)單了。

（作者單位：福建省福州教育研究院 香港福建中學(xué) 責(zé)任編輯：王振輝）