基于光柵投影三維測(cè)量的相位展開(kāi)方法研究

張容卓 劉 柯 宋金城 郭天茂 孫增玉 高 越 吳 桐 潘兆義 羅小濤

（1.北京航天計(jì)量測(cè)試技術(shù)研究所，北京100076；2.西安航天發(fā)動(dòng)機(jī)有限公司，西安710061）

1 引言

隨著現(xiàn)代工業(yè)的迅速發(fā)展，生產(chǎn)制造的水平不斷提高，工業(yè)產(chǎn)品在研制中對(duì)于零部件的加工質(zhì)量要求也越來(lái)越高，高精度的設(shè)計(jì)要求對(duì)外形輪廓的精密測(cè)量提出了更高的挑戰(zhàn)。光柵投影三維測(cè)量技術(shù)作為一種新興的快速測(cè)量方法，為數(shù)字化三維設(shè)計(jì)領(lǐng)域帶來(lái)了新的技術(shù)途徑。

光柵條紋的相位展開(kāi)是光柵投影三維測(cè)量的關(guān)鍵技術(shù)，一直受到國(guó)內(nèi)外眾多研究人員的關(guān)注。相位展開(kāi)按照展開(kāi)角度的不同，大致分成兩種：空域角度的相位展開(kāi)方法與時(shí)域角度的相位展開(kāi)方法。空域相位展開(kāi)法是通過(guò)相位空間具有連續(xù)性，分析相鄰空間元素的相位關(guān)系，求解光柵的絕對(duì)相位。這種方法只需要投射一幅圖即可，且對(duì)投影測(cè)量設(shè)備的要求不高，可以減小硬件的誤差影響，但是對(duì)待測(cè)物體有嚴(yán)格要求，若測(cè)量物體表面跳變大、輪廓復(fù)雜、信噪比不是足夠高時(shí)，容易出現(xiàn)“丟包”“拉線”等問(wèn)題。

時(shí)域相位展開(kāi)法是按照一定的時(shí)間序列生成一套（多幅）條紋圖，將其投射到物體表面，最后根據(jù)時(shí)域關(guān)系進(jìn)行解相位。典型的時(shí)域相位展開(kāi)法包括格雷碼展開(kāi)法、多頻外差法。此類方法雖然增加了投射圖片的數(shù)量，但每點(diǎn)的相位都是單獨(dú)計(jì)算的，從原理上解決了誤差的傳播，不再因被測(cè)物表面不規(guī)則受影響，對(duì)于表面不連續(xù)的物體也可精準(zhǔn)測(cè)量。但格雷碼展開(kāi)法所需投射的圖片較多，且存在周期錯(cuò)位的現(xiàn)象。多頻外差可以有效解決周期錯(cuò)位的影響。

針對(duì)上述問(wèn)題，本文利用多頻外差相移法進(jìn)行相位展開(kāi)，且對(duì)此算法進(jìn)行優(yōu)化。根據(jù)頻率的主次，采用不同步數(shù)的相移法，在不降低精度的情況下，減少投射的條紋圖，加快測(cè)量速度。

2 原理方法

相位求解一般分為兩部分：相位主值求解與相位解包裹。相位主值的求解是對(duì)光柵相位的大致求解，解的范圍在0 至2π 或-π 至π 之間，這個(gè)值在一個(gè)相位周期是唯一的，但一幅完整的光柵條紋圖包括很多個(gè)相位周期，像素之間的實(shí)際相位差可能還包含多個(gè)完整的周期。相位解包裹就是將整幅光柵圖中的多個(gè)相位周期轉(zhuǎn)換為一個(gè)連續(xù)的、完整的相位周期，使求解的每個(gè)相位值在整個(gè)光柵相位中具有唯一性。相位的完整表達(dá)式為：

式中：

φ

——每點(diǎn)相位主值；

k

——通過(guò)相位解包裹計(jì)算得出的條紋極次。相位展開(kāi)圖如圖1所示。

圖1 相位展開(kāi)示意圖Fig.1 Phase expansion schematic diagram

2.1 相位主值求解

相位主值的求解將采取相移法進(jìn)行。相移法是通過(guò)投射多幅具有一定相位差的圖像，計(jì)算含有物體表面輪廓三維信息的相位初值。目前已經(jīng)有多種相移法被提出，對(duì)于不同的相移法，誤差響應(yīng)與穩(wěn)定性也存在差異。為了在保證精度的前提下減少投射光柵圖的數(shù)量，本文的主頻次采用四步相移法確保精度不變，其他頻次采用三步相移法。

在相移法中，投射的圖片是光強(qiáng)為正弦分布的光柵條紋圖，光強(qiáng)分布的函數(shù)表達(dá)式為：

式中：

I

——圖像各點(diǎn)的光強(qiáng)；

a

——圖像的平均灰度；

b

——圖像的灰度調(diào)制；

f

——光柵圖像的頻率。當(dāng)光柵投影到待測(cè)物體表面后，光柵投影的條紋發(fā)生形變，其圖像函數(shù)表達(dá)式為：

式中：

I

——相位為0 的光強(qiáng)；

I

——相位為π/2 的光強(qiáng)；

I

——相位為π 的光強(qiáng)；

I

——相位為3π/2 的光強(qiáng)。通過(guò)上式進(jìn)行計(jì)算，相位主值的表達(dá)式為：

為了減少投射條紋圖的數(shù)量，剩余頻率的光柵條紋采用三步相移法進(jìn)行相位主值的計(jì)算。取

N

＝3，每次相位移動(dòng)的間隔為2π/3，光柵投影的相移依次為0，2π/3，4π/3，三幀光柵投影的光強(qiáng)為：

三步相移的相位主值表達(dá)式為：

通過(guò)上述公式可以得到三個(gè)頻率的相位主值，每幅相位主值圖都包含多個(gè)相位周期，需要通過(guò)相位解包裹，將多個(gè)周期相位展開(kāi)為一個(gè)連續(xù)的周期的相位，使每點(diǎn)相位值具有唯一性。

2.2 相位解包裹

采用三頻外差方法進(jìn)行相位解包裹。其原理是通過(guò)疊加兩列相近頻率的波合并為一種更低頻率的波，再經(jīng)過(guò)計(jì)算得出條紋級(jí)數(shù)

k

。頻率的外差數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

式中：

f

、

f

——分別為疊加前兩列波的頻率；

f

——疊加后的頻率。當(dāng)采用三頻外差時(shí)，假設(shè)

f

＞

f

＞

f

，它們分別為三列波的不同頻率，疊加后的頻率

f

為

一般情況下，在光柵投影中將一列波的波長(zhǎng)與周期等同。假設(shè)頻率為

f

、

f

、

f

的三列波對(duì)應(yīng)的波長(zhǎng)為

λ

、

λ

、

λ

。每列波的包裹相位為

φ

（

x

，

y

）、

φ

（

x

，

y

）、

φ

（

x

，

y

），與之對(duì)應(yīng)的絕對(duì)相位為

Φ

（

x

，

y

）、

Φ

（

x

，

y

）、

Φ

（

x

，

y

）。絕對(duì)相位值與周期滿足的關(guān)系式為：

利用外差原理疊加后的波長(zhǎng)和相位發(fā)生改變：

式中：

λ

——頻率為

f

、

f

的兩列波疊加的波長(zhǎng)；

λ

——頻率為

f

、

f

的兩列波疊加的波長(zhǎng)；

λ

——

λ

與

λ

疊加的波長(zhǎng)。

式中：

φ

——

φ

、

φ

疊加后的相位；

φ

——

φ

、

φ

疊加后的相位；

φ

——

φ

、

φ

疊加后的相位。相位解包裹的主要目的是相位主值內(nèi)包含的周期個(gè)數(shù)。由于頻次越高的波，信噪比越高，所以，將頻率為

f

的波設(shè)置為主頻次波，通過(guò)四步相移進(jìn)行相位主值的計(jì)算，其他兩列利用三步相移進(jìn)行主值計(jì)算。在進(jìn)行相位解包裹時(shí)，也將圍繞主頻次波進(jìn)行相位展開(kāi)，聯(lián)立式（1）、（8）、（9）、（10）可推導(dǎo)出：

通過(guò)上式可以得到每點(diǎn)的條紋級(jí)數(shù)

k

（

x

，

y

），再結(jié)合相位主值的結(jié)果就可以得到該點(diǎn)的絕對(duì)相位。整個(gè)相位展開(kāi)的實(shí)體圖，如圖2所示。

圖2 實(shí)際相位展開(kāi)圖Fig.2 Actual phase expansion diagram

3 試驗(yàn)結(jié)果

為了驗(yàn)證算法的有效性與實(shí)用性，本文利用實(shí)驗(yàn)室現(xiàn)有設(shè)備，進(jìn)行測(cè)量試驗(yàn)。試驗(yàn)中采用的硬件包括：投影儀（型號(hào)為DLP-4500）進(jìn)行光柵圖的投射，定焦工業(yè)相機(jī)（型號(hào)為MER-500，焦距為30cm，分辨率為2448 ×2048）采集經(jīng)物體表面調(diào)制的光柵圖，工控機(jī)將采集的光柵圖進(jìn)行相位解算，測(cè)量試驗(yàn)實(shí)物如圖3所示。

圖3 測(cè)量試驗(yàn)實(shí)物圖Fig.3 Measuring experimental objects

試驗(yàn)以常規(guī)的三頻四步相移法為基準(zhǔn)，驗(yàn)證三頻異步相移法的有效與優(yōu)越性。通過(guò)上位機(jī)制作三頻四步與三頻異步的光柵圖：三頻四步的光柵圖共計(jì)12 幅，如圖4所示；三頻異步的光柵圖共計(jì)10幅，如圖5所示。本文試驗(yàn)選取一個(gè)圓形盒子為被測(cè)物，將制作好的光柵分別投射到物體表面，如圖6所示。再通過(guò)CCD 采集經(jīng)物體表面調(diào)制后的光柵圖。

圖4 三頻四步光柵圖Fig.4 Three-frequency four-step grating

圖5 三頻異步光柵圖Fig.5 Three-frequency asynchronous grating

圖6 經(jīng)被測(cè)物調(diào)制的光柵圖Fig.6 Modulated grating

通過(guò)CCD 采集經(jīng)物體表面調(diào)制后的光柵圖，采用本文算法與三頻四步相移法進(jìn)行相位展開(kāi)。由于相機(jī)拍攝的視角比較廣，周圍會(huì)出現(xiàn)無(wú)效區(qū)域，所以選取中間區(qū)域進(jìn)行試驗(yàn)分析。為了避免其他誤差的引入，本試驗(yàn)只進(jìn)行相位的比較，選取（500，450）～（500，650）作為比較區(qū)域，將兩種方法相位展開(kāi)后的絕對(duì)相位進(jìn)行比較，如圖7所示。

圖7 相位差值Fig.7 Phase difference value

4 討論分析

對(duì)于光柵相位展開(kāi)技術(shù)，很多專家學(xué)者通過(guò)試驗(yàn)論證了基于時(shí)間序列展開(kāi)法的優(yōu)越性，且三頻四步相移法比格雷碼方法更有優(yōu)勢(shì)。所以本文提出的算法只進(jìn)行了與三頻四步相移法的比較。從圖7可以看出本文提出的三頻異步算法與三頻四步相移法的插值在4.188 附近浮動(dòng)，這說(shuō)明優(yōu)化算法的相位展開(kāi)精度與三頻四步相移法很相近，只是存在一個(gè)固定的差值。由于優(yōu)化算法需要將四步相移法與三步相移法進(jìn)行結(jié)合，兩種方法的位移量存在偏差，為了使四步相移的相位主值更好的與三步相移的相位主值融合，需要將四步相移的整體相位頻移2/3 個(gè)周期，這就導(dǎo)致最后進(jìn)行相位展開(kāi)以后，整體絕對(duì)相位會(huì)比三頻四步相移法展開(kāi)的絕對(duì)相位大2π/3。為了更直觀地反映優(yōu)化后算法的有效性，本文又將光柵直接投射到平面上，進(jìn)行相位展開(kāi)，同樣取第500 行對(duì)比絕對(duì)相位，如圖8所示。

由圖8 可以更明顯地看出，三頻異步相移法展開(kāi)的相位與三頻四步相移法展開(kāi)的效果相同，只有初始的相位有些偏移且優(yōu)化后的初始相位為零點(diǎn)，但三頻異步相移法相比于三頻四步等所需的投射光柵圖更少，證實(shí)了優(yōu)化后算法的有效性與優(yōu)越性。

圖8 第500 行絕對(duì)相位分布圖Fig.8 Line 500 absolute phase

5 結(jié)束語(yǔ)

本文對(duì)三頻四步相移法進(jìn)行分析，為了減少投射光柵圖的數(shù)量，在不降低精度的情況下加快測(cè)量速度，優(yōu)化算法后得到三頻異步相移法。對(duì)圓形盒子進(jìn)行表面測(cè)量試驗(yàn)，將不同的光柵條紋投射到圓盒表面，采用三頻四步相移法以及優(yōu)化后的三頻異步法進(jìn)行相位展開(kāi)，最終得出三頻異步相移法的可行性與優(yōu)越性。本文在沒(méi)有降低精度的前提下減少了投影光柵圖的數(shù)量，雖然沒(méi)有提高光柵投影三維測(cè)量的精度，但加快了測(cè)量速度，未來(lái)提高測(cè)量、解算速度提出了新的研究方向。